Centrale Maths 1 PC 2009

Concours Centrale - Supélec 2009

Épreuve :

MATHÉMATIQUES I

Filière

PC

Les calculatrices sont autorisées.
Le problème porte sur l'étude des séries factorielles, séries de fonctions de la
forme
n!
2 a"x(x+ 1)(x+2)...(x+n)°

nzO

Les parties I et Il traitent d'un exemple. Les parties III, IV et V, 
indépendantes
des deux premières, ont pour objet l'étude de propriétés de la somme d'une série
factorielle convergente sur l'intervalle ]O, +oo[ '.

Partie I - Préliminaires
I.A - Pour tout entier p naturel non nul, on pose :

l

VnE]N*,u(n'p)=m

I.A.1) Montrer que la série 2 u(n, p) est convergente.
I.A.2) On pose : " 21

+00

o(p) = 2 u(n, p)

n = 1
Calculer 0(1) .
I.A.3) Pour p a 2 , et pour n quelconque dans IN* ,
exprimer u(n, p -- 1) -- u(n + 1, p -- 1) en fonction de p et u(n, p) .

I.A.4) En déduire la valeurde o( p) en fonction de p , pour p 2 2 .

I.B - Soient q un entier 2 2 et N un entier naturel a 1 .
Donner une majoration du reste

...

1

R(N,q) = 2 --q
n=N+ln

en le comparant à une intégrale.

Partie II - Un exemple d'accélération de la convergence

II.A -

II. A. 1) Montrer par récurrence l'existence de trois suites (ap ), (bp ) et 
(cp )
d'entiers naturels définies pour p 2 2 telles que, pour tout réel x strictement
positif et pour tout entier p on ait:

p b
13 _ 2 __IÎk__Î+_ä___filcp__
_x k=2x(x+ _)---(x+ ) x(x+l)(x+2)...(x+p)
II.A.2) Exprimer ap+1, bp+1 et cp+1 àl'aide dep, b_p et cp.

_II.A.3) Montrer que : Vp ; 2, bp ch z 0.
II.A.4) Calculer ap , bpc , p pour p-- _ 2, 3 et 4.

II.B - On_ désire calculer une valeur décimale approchée de

+00

c<3>= }j--%

n : ln
avec une erreur inférieure ou égale à 8 = 5 - 10"5
II.B.1) En utilisant LB, déterminer un entier naturel N suffisant pour que

Î -% soit inférieur à e.
n = N + ln
II.B.2) Donner un majorant simple de :
+°° b 4n + c4
n =%+1n3(n +1)...(n +4)
et montrer, à l'aide de tout ce qui précède, comment calculer Ç(3) pour la même

valeur de e avec une valeur de N moins grande que celle trouvée à la
question II. B. 1. '

II.B.3) Donner une valeur décimale approchée a a près (par défaut) de Ç(3) en
utilisant ce qui précède.

Partie III - Séries factorielles

III.A -
III.A.1) Pour tout entier naturel n et pour tout réel x strictement positif, on
pose :

n! 1

_ _ _ u,.(x)
un(x) -- m , Un(x) -- (n+1)x , wn(x) -- vn(x) -

Montrer que la série de terme général

ln( wn(x)

' ) , définie pour n 2 1 , est convergente.
wn -- 1 (x) '

III.A.2) En déduire qu'il existe l(x) (dépendant de x et strictement positif) 
tel
que :
un(x)

n1--1->n}-oe Un(x) : l(x) .

III.B - Soit (an)

n 2 0 une suite de complexes et x un réel strictement positif.

. Montrer que la série 2 anun(x) est absolument convergente (en abrégé AC) si
n 2 0

et seulement si la série 2 anvn(x) est AC.
' n 2 0 /

III.C - On désigne désormais par % l'ensemble des suites (an)n 2 0 indexées par}

_]N telles que la série 2 anun(x) soit AC pour tout réel x strictement positif.
n 2 0

Soit a : (aé)n 2 0 un élément de % , montrer que :
III.C.1) la fonction fa définie par: '

x+-->fa(x) : 2 anun(x)
n=O ...

est continue sur l'intervalle ]O, +oo[ .
III.C.2) la fonction fa tend vers 0 en +oe.

III.D -

III.D.1) Donner un exempled'un élément a de % avec an non nul pour tout
entier n .

III.D.2) Donner un exemple d'une suite (an)n 2 0 qui ne soit pas un élément de

.Q/.

III.E - Soit a un élément de % .
III.E.1) Montrer que, pour tout entier n la fonction x l--> un(x) est de classe 
C1
sur l'intervalle ]0, +00[ et que :

Vx > 0 ,. |u'n(x)| s un(x)(l + ln(1 + E))

x x

III.E.2) En déduire que la fonction f a est de classe C1 sur l'intervalle ]0, 
+oo[ .

N.B. On dira alors que la fonction f a est développable en série factorielle 
(sous-
entendu ici sur ]0, +oo[ et en abrégé DSFA) et on admettra qu'un tel développe-
ment est unique. '

Partie IV - Représentation intégrale
IV.A -
IV.A.1) Soit n un entier naturel. On pose :

= n
Vk=0...n,Pk= H (X+i).
. i = 0, i : k
Montrer que les polynômes Pk forment une base de l'espace vectoriel ]Rn[X ] des
polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n .

IV.A.2) En déduire qu'il existe des rationnels indépendants de x notés
a0,a1, ...an tels que:

n
n' 0'k

' x(x+ 1)(x+ê)...(x+n) : k=0ka°

Vx>0

Exprimer ak en fonction de k et n .

IV.B - Montrer, pour x > 0 et k entier naturel, l'existence de l'intégrale :

1 _ k
f0(l--y)x " dy

: et calculer sa valeur en fonction de k et x.
IV.C - Montrer que :

Vx>O VnEURlN f1(1--y)x'1yndy=_L_.
' ' 0 x(x+l)...(x+n)

En déduire que, pour tout élément a de % , on a : '

+00
1 _
Vx>0,fa_(x) = 2anfo(1--y)x lyndy.
n=O _

IV.D- Soit a un élément de %.

IV.D.1) Montrer que la série entière 2 an y a un rayon de convergence supé-
rieur ou égal a 1. n 2 0

On note % la fonction définie sur [O, 1[ par :

IV.D2) Montrer que la fonction x +-->fà(l --y)x" 1q>a(y)dy est définie sur ]0, 
+oo[ ,

DSFA sur ce même intervalle et égale à fa .

Partie V - Dérivabilité d'une série factorielle
V.A - On reprend les notations des parties III et IV.

V.A.1) Montrer que la fonction x 1--9 fa(x) est dérivable sur l'intervalle ]O, 
+oo[
et que :

Vx>O. f'a(x) = fà<1--y>x'lq>a(y)m(1--y)dy.

V.A.2) Montrer que la fonction 1% : y +--> q)a(y)ln(l -- y) est développable en 
série
entière sur l'intervalle ]--1, 1[.

V.A.3) ' On pose :

wâ"'(0) '
nl '

'\7'nEIN,bn :

Vérifier que bo : O et que :

n--1 a
VnEUR]N*,bn=--En_p .
p=0 p

V.B - Soient x > 0 et N a 1 . Montrer:
N

N 1
1
2(nl+n1)xspîoI,ÎIOEpl(Épxlæ(k+p+l))

n=1 k=l

V.C - Montrer que, pour tout entier p tel que 0 s p 5 N -- 1 , on a :
N -- p

1 1 +°° dt
2 xS x+f x"
k=1k(k+P+l) (p+1) lt(1«'+10+1)

V.D - Montrer que ':
N -- p

2 1 S+ln(p+l) (1+ ) 1
k=lk(k+p+l)x (p+l)x (p+l)x

V.E- En déduire que la série de terme général est AC pour x > 0 .

(n + nxl)
V.F - Montrer enfin que la fonction f 'a est DSFA sur l'intervalle ']O, +oo[ et 
que :

+oo

Vx>0, f'a(x) : E bnun(x).

V.G - Exemple
1

Montrer que la fonction x r--> f(x) = ; est DSFA sur ]0, +oo[ et calculer les 
coeffi--

cients notés a'n et a"n pour les fonctions f ' et f" pour n = O, 1, 2, 3, 4.

Vérifier qu'on retrouve ainsi les calculs faits en seconde partie.

le. FIN o...