Centrale Maths 1 PC 2010

- version du 10 mars 2010 10h45

MATHÉMATIQUES I

n

k =0

 ak x k

a) Montrer que les fonctions Fn sont définies sur un même domaine D à préciser.
b) Calculer F1 ( x ), F2 ( x ) et F3 ( x ) pour tout x  D.

I.A.1)

I.A - Pour tout entier n  N, on pose Fn ( x ) = cos(n arccos x ).

Partie I - Polynômes de Tchebychev

Filière

Calculer Fn+1 ( x ) + Fn-1 ( x ) pour tout n  N  et tout x  D.

PC

 x  R, n  N  , Tn+2 ( x ) = axTn+1 ( x ) + bTn ( x ).

Déterminer deux réels a et b tels que

I.B.3)

(1 - x2 ) Tn ( x ) - xTn ( x ) + n2 Tn ( x ) = 0.

Montrer que, pour tout n  N  et tout x réel, on a la relation suivante :

b) En déduire le calcul de Fn (1) et de Fn (-1).

I.B.1) Soit n  N.
a) Montrer que la fonction Fn est de classe C  sur R.
b) Pour x ] - 1, 1[, donner une expression simple de Fn ( x ). On justifiera 
soigneusement le calcul.
I.B.2) Soit n  N  .
q
a) Montrer que arccos( x )  2(1 - x ) quand x  1.

I.B -

I.A.5)

Dans toute la suite de ce problème, on posera T0 ( x ) = 1. Pour n  N  , on 
notera
Tn la fonction polynomiale vérifiant Tn ( x ) = 21-n Fn ( x ) pour tout x  R.

I.A.4) Écrire une fonction tchebychev qui prend en argument un nombre entier n
et qui renvoie l'affichage de l'expression Fn ( x ). On utilisera le langage de 
programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé.

I.A.3) Déduire de ce qui précède que Fn se prolonge à R en une fonction 
polynomiale unique, dont on précisera le degré ainsi que le coefficient 
dominant.
Dans la suite, on notera toujours Fn la fonction prolongée.

I.A.2)

d) Préciser les propriétés de parité de Fn en fonction de n.

c) Calculer Fn (1), Fn (0) et Fn (-1) pour tout n  N.

Page 1/4

où a0 , . . . , an-1 sont des nombres réels et an un nombre réel non nul, nommé 
«coefficient dominant de f ».

f : x 7 f ( x ) =

On rappelle qu'une fonction polynomiale non nulle, de degré n, est une fonction
définie sur un intervalle de R de la forme

porte quelle puissance de 1/n.
L'approche proposée consiste à se ramener à des résultats connus sur 
l'approximation des fonctions périodiques par leurs séries de Fourier, au moyen 
des polynômes
de Tchebychev, dont on étudiera les principales propriétés dans la partie I.
La partie II établit certaines inégalités dues à Markov et à Bernstein, 
permettant de
majorer la norme infinie de la dérivée d'une fonction polynomiale sur un segment
à l'aide de la norme infinie de la fonction polynomiale sur le même segment.
La partie III établit le résultat annoncé concernant l'approximation à l'aide, 
en particulier, des inégalités de Markov et de Bernstein.

-1 x 1

Le but de ce problème est de faire établir le résultat suivant d'approximation 
polynomiale.
Une fonction f continue sur le segment [-1, 1] y est de classe C  si et 
seulement
si il existe une suite ( pn )nN de fonctions polynomiales, où pn est de degré n,
telle que sup | f ( x ) - pn ( x )| tende vers 0 pour n  + plus vite que n'im-

Les calculatrices sont autorisées.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 10 mars 2010 10h45

MATHÉMATIQUES I

n

k =0

 ak x k

a) Montrer que les fonctions Fn sont définies sur un même domaine D à préciser.
b) Calculer F1 ( x ), F2 ( x ) et F3 ( x ) pour tout x  D.

I.A.1)

I.A - Pour tout entier n  N, on pose Fn ( x ) = cos(n arccos x ).

Partie I - Polynômes de Tchebychev

Filière

Calculer Fn+1 ( x ) + Fn-1 ( x ) pour tout n  N  et tout x  D.

PC

 x  R, n  N  , Tn+2 ( x ) = axTn+1 ( x ) + bTn ( x ).

Déterminer deux réels a et b tels que

I.B.3)

(1 - x2 ) Tn ( x ) - xTn ( x ) + n2 Tn ( x ) = 0.

Montrer que, pour tout n  N  et tout x réel, on a la relation suivante :

b) En déduire le calcul de Fn (1) et de Fn (-1).

I.B.1) Soit n  N.
a) Montrer que la fonction Fn est de classe C  sur R.
b) Pour x ] - 1, 1[, donner une expression simple de Fn ( x ). On justifiera 
soigneusement le calcul.
I.B.2) Soit n  N  .
q
a) Montrer que arccos( x )  2(1 - x ) quand x  1.

I.B -

I.A.5)

Dans toute la suite de ce problème, on posera T0 ( x ) = 1. Pour n  N  , on 
notera
Tn la fonction polynomiale vérifiant Tn ( x ) = 21-n Fn ( x ) pour tout x  R.

I.A.4) Écrire une fonction tchebychev qui prend en argument un nombre entier n
et qui renvoie l'affichage de l'expression Fn ( x ). On utilisera le langage de 
programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé.

I.A.3) Déduire de ce qui précède que Fn se prolonge à R en une fonction 
polynomiale unique, dont on précisera le degré ainsi que le coefficient 
dominant.
Dans la suite, on notera toujours Fn la fonction prolongée.

I.A.2)

d) Préciser les propriétés de parité de Fn en fonction de n.

c) Calculer Fn (1), Fn (0) et Fn (-1) pour tout n  N.

Page 1/4

où a0 , . . . , an-1 sont des nombres réels et an un nombre réel non nul, nommé 
«coefficient dominant de f ».

f : x 7 f ( x ) =

On rappelle qu'une fonction polynomiale non nulle, de degré n, est une fonction
définie sur un intervalle de R de la forme

porte quelle puissance de 1/n.
L'approche proposée consiste à se ramener à des résultats connus sur 
l'approximation des fonctions périodiques par leurs séries de Fourier, au moyen 
des polynômes
de Tchebychev, dont on étudiera les principales propriétés dans la partie I.
La partie II établit certaines inégalités dues à Markov et à Bernstein, 
permettant de
majorer la norme infinie de la dérivée d'une fonction polynomiale sur un segment
à l'aide de la norme infinie de la fonction polynomiale sur le même segment.
La partie III établit le résultat annoncé concernant l'approximation à l'aide, 
en particulier, des inégalités de Markov et de Bernstein.

-1 x 1

Le but de ce problème est de faire établir le résultat suivant d'approximation 
polynomiale.
Une fonction f continue sur le segment [-1, 1] y est de classe C  si et 
seulement
si il existe une suite ( pn )nN de fonctions polynomiales, où pn est de degré n,
telle que sup | f ( x ) - pn ( x )| tende vers 0 pour n  + plus vite que n'im-

Les calculatrices sont autorisées.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 10 mars 2010 10h45

MATHÉMATIQUES I

n

k =0

 ak x k

a) Montrer que les fonctions Fn sont définies sur un même domaine D à préciser.
b) Calculer F1 ( x ), F2 ( x ) et F3 ( x ) pour tout x  D.

I.A.1)

I.A - Pour tout entier n  N, on pose Fn ( x ) = cos(n arccos x ).

Partie I - Polynômes de Tchebychev

Filière

Calculer Fn+1 ( x ) + Fn-1 ( x ) pour tout n  N  et tout x  D.

PC

 x  R, n  N  , Tn+2 ( x ) = axTn+1 ( x ) + bTn ( x ).

Déterminer deux réels a et b tels que

I.B.3)

(1 - x2 ) Tn ( x ) - xTn ( x ) + n2 Tn ( x ) = 0.

Montrer que, pour tout n  N  et tout x réel, on a la relation suivante :

b) En déduire le calcul de Fn (1) et de Fn (-1).

I.B.1) Soit n  N.
a) Montrer que la fonction Fn est de classe C  sur R.
b) Pour x ] - 1, 1[, donner une expression simple de Fn ( x ). On justifiera 
soigneusement le calcul.
I.B.2) Soit n  N  .
q
a) Montrer que arccos( x )  2(1 - x ) quand x  1.

I.B -

I.A.5)

Dans toute la suite de ce problème, on posera T0 ( x ) = 1. Pour n  N  , on 
notera
Tn la fonction polynomiale vérifiant Tn ( x ) = 21-n Fn ( x ) pour tout x  R.

I.A.4) Écrire une fonction tchebychev qui prend en argument un nombre entier n
et qui renvoie l'affichage de l'expression Fn ( x ). On utilisera le langage de 
programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé.

I.A.3) Déduire de ce qui précède que Fn se prolonge à R en une fonction 
polynomiale unique, dont on précisera le degré ainsi que le coefficient 
dominant.
Dans la suite, on notera toujours Fn la fonction prolongée.

I.A.2)

d) Préciser les propriétés de parité de Fn en fonction de n.

c) Calculer Fn (1), Fn (0) et Fn (-1) pour tout n  N.

Page 1/4

où a0 , . . . , an-1 sont des nombres réels et an un nombre réel non nul, nommé 
«coefficient dominant de f ».

f : x 7 f ( x ) =

On rappelle qu'une fonction polynomiale non nulle, de degré n, est une fonction
définie sur un intervalle de R de la forme

porte quelle puissance de 1/n.
L'approche proposée consiste à se ramener à des résultats connus sur 
l'approximation des fonctions périodiques par leurs séries de Fourier, au moyen 
des polynômes
de Tchebychev, dont on étudiera les principales propriétés dans la partie I.
La partie II établit certaines inégalités dues à Markov et à Bernstein, 
permettant de
majorer la norme infinie de la dérivée d'une fonction polynomiale sur un segment
à l'aide de la norme infinie de la fonction polynomiale sur le même segment.
La partie III établit le résultat annoncé concernant l'approximation à l'aide, 
en particulier, des inégalités de Markov et de Bernstein.

-1 x 1

Le but de ce problème est de faire établir le résultat suivant d'approximation 
polynomiale.
Une fonction f continue sur le segment [-1, 1] y est de classe C  si et 
seulement
si il existe une suite ( pn )nN de fonctions polynomiales, où pn est de degré n,
telle que sup | f ( x ) - pn ( x )| tende vers 0 pour n  + plus vite que n'im-

Les calculatrices sont autorisées.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

x 7 f ( x ) g( x ) 

:

 ( f , g) 7

-1

Z 1

 E×E  R

1

Partie II - Inégalités de Bernstein et de Markov

Calculer ( Tm | Tn ) pour tout (m, n)  N × N. Que peut-on en déduire ?

x [-1,1]

sup | Tn ( x )| = 21-n n2 .

Filière PC

1

j =1

 x - xn,j .

n

2n -1
n

j =1

q

n

2 P( x )
1 - xn,j
n,j

P( xn,j ) Tn ( x )

 (-1)n- j

n

j =1

n

 T  (xn,j ) x - xn,j

p

1 - x2 

1
.
n

II.B - Inégalité de Bernstein
II.B.1) Montrer que, pour tout x  [ xn,1 , xn,n ], on a

P( x ) =

b) En déduire que

P( x ) =

Tn ( x )
.
x - xn,j

Soient n  N  , x  R \ { xn,j , 1 6 j 6 n} et P  En-1 .

Tn ( x )
=
Tn ( x )

Soit n  N  et x  R \ { xn,j , 1 6 j 6 n}. Montrer que :

a) Montrer que :

II.A.5)

II.A.4)

Cette borne supérieure est-elle atteinte ? Dans l'affirmative, préciser pour 
quelles
valeurs de x.
II.A.3) Soit n  N  . Montrer que la fonction polynomiale Tn admet exactement
n zéros deux à deux distincts et appartenant à ] - 1, 1[. Pour j  {1, 2, . . . 
, n}, on
notera xn,j le j-ième zéro de Tn dans l'ordre croissant. Donner la valeur de 
xn,j .

II.A.2)

, ], 1 6 nsin( ).
2n 2

] a-t-on | sin(n )| = n sin( ) ?
2
Montrer que pour tout n  N  ,

  [
e) Pour quelles valeurs de   [0,

d) Conclure.

c) En déduire que :

On cherche à montrer que l'inégalité | sin(n )| 6 n sin( ) est satisfaite

pour tout n  N  et tout   [0, ].
2

a) Montrer que sin(n ) 6 n sin( ) pour tout n  N  et tout   [0, ].
2n

2
b) Montrer que, pour tout   [0, ], on a sin( ) > .
2

Page 2/4

II.A II.A.1)

I.C.4)

b) Montrer qu'il existe une unique famille ( Qn )nN de fonctions polynomiales 
vérifiant les conditions suivantes :
i) la famille ( Qn )nN est orthogonale pour le produit scalaire (·|·) ;
ii) pour tout n  N, Qn est de degré n et de coefficient dominant 1.

Dans la suite, on suppose que l'espace E est muni de ce produit scalaire, que 
l'on
note (.|.).
I.C.3)
a) Montrer qu'il existe une suite de fonctions polynomiales ( pn )nN telle que, 
pour
tout n  N, pn soit de degré n et de coefficient dominant 1, et que, pour tout n 
N  , pn soit orthogonale à tous les éléments de En-1 .

f ( x ) g( x )dx

La question précédente montre que l'application  suivante est bien défi-

1 - x2
Montrer que  définit un produit scalaire sur E.

I.C.2)
nie :

1 - x2

1

Montrer que, pour tout couple ( f , g) de E × E, la fonction :

est intégrable sur l'intervalle ] - 1, 1[.

I.C.1)

I.C - On note E l'espace vectoriel des fonctions polynomiales sur R et, pour 
tout
n  N, on note En le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynomiales
de degré au plus n.

MATHÉMATIQUES I

x 7 f ( x ) g( x ) 

:

 ( f , g) 7

-1

Z 1

 E×E  R

1

Partie II - Inégalités de Bernstein et de Markov

Calculer ( Tm | Tn ) pour tout (m, n)  N × N. Que peut-on en déduire ?

x [-1,1]

sup | Tn ( x )| = 21-n n2 .

Filière PC

1

j =1

 x - xn,j .

n

2n -1
n

j =1

q

n

2 P( x )
1 - xn,j
n,j

P( xn,j ) Tn ( x )

 (-1)n- j

n

j =1

n

 T  (xn,j ) x - xn,j

p

1 - x2 

1
.
n

II.B - Inégalité de Bernstein
II.B.1) Montrer que, pour tout x  [ xn,1 , xn,n ], on a

P( x ) =

b) En déduire que

P( x ) =

Tn ( x )
.
x - xn,j

Soient n  N  , x  R \ { xn,j , 1 6 j 6 n} et P  En-1 .

Tn ( x )
=
Tn ( x )

Soit n  N  et x  R \ { xn,j , 1 6 j 6 n}. Montrer que :

a) Montrer que :

II.A.5)

II.A.4)

Cette borne supérieure est-elle atteinte ? Dans l'affirmative, préciser pour 
quelles
valeurs de x.
II.A.3) Soit n  N  . Montrer que la fonction polynomiale Tn admet exactement
n zéros deux à deux distincts et appartenant à ] - 1, 1[. Pour j  {1, 2, . . . 
, n}, on
notera xn,j le j-ième zéro de Tn dans l'ordre croissant. Donner la valeur de 
xn,j .

II.A.2)

, ], 1 6 nsin( ).
2n 2

] a-t-on | sin(n )| = n sin( ) ?
2
Montrer que pour tout n  N  ,

  [
e) Pour quelles valeurs de   [0,

d) Conclure.

c) En déduire que :

On cherche à montrer que l'inégalité | sin(n )| 6 n sin( ) est satisfaite

pour tout n  N  et tout   [0, ].
2

a) Montrer que sin(n ) 6 n sin( ) pour tout n  N  et tout   [0, ].
2n

2
b) Montrer que, pour tout   [0, ], on a sin( ) > .
2

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II.A II.A.1)

I.C.4)

b) Montrer qu'il existe une unique famille ( Qn )nN de fonctions polynomiales 
vérifiant les conditions suivantes :
i) la famille ( Qn )nN est orthogonale pour le produit scalaire (·|·) ;
ii) pour tout n  N, Qn est de degré n et de coefficient dominant 1.

Dans la suite, on suppose que l'espace E est muni de ce produit scalaire, que 
l'on
note (.|.).
I.C.3)
a) Montrer qu'il existe une suite de fonctions polynomiales ( pn )nN telle que, 
pour
tout n  N, pn soit de degré n et de coefficient dominant 1, et que, pour tout n 
N  , pn soit orthogonale à tous les éléments de En-1 .

f ( x ) g( x )dx

La question précédente montre que l'application  suivante est bien défi-

1 - x2
Montrer que  définit un produit scalaire sur E.

I.C.2)
nie :

1 - x2

1

Montrer que, pour tout couple ( f , g) de E × E, la fonction :

est intégrable sur l'intervalle ] - 1, 1[.

I.C.1)

I.C - On note E l'espace vectoriel des fonctions polynomiales sur R et, pour 
tout
n  N, on note En le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynomiales
de degré au plus n.

MATHÉMATIQUES I

1 - x2 | P( x )|  1.

x [-1,1]

sup | P( x )|  n.

p

T (  ) = a0 +

k =1

 [ak cos(k ) + bk sin(k )]

n

Soit T un polynôme trigonométrique de la forme

x [-1,1]

 R

 R

sup | T  ( )|  n sup | T ( )|.

 R

sup | P( x )| 6 n sup | T ( )|.

x [-1,1]

x [-1,1]

(On pourra faire intervenir le polynôme trigonométrique T ( ) = P(cos( ))).

x [-1,1]

II.C - Inégalité de Markov
Soit P  En .
Montrer que :
sup | P ( x )|  n2 sup | P( x )|.

d) Montrer que :

c) En déduire que :

Partie III - Approximation polynomiale

Filière PC

pj  p.

n j n est convergente.

Montrer que la suite ( Rn ( j))nN est à décroissance rapide.

p = n +1

+

n N

 x  [-1, 1],

f (x) =

n =0

 n Fn (x).

+

Dans la suite de cette question III.B, on définit la fonction f sur le segment 
[-1, 1]
par :

est convergente.

n >0

 n Fn (x)

III.B - Soit (n )nN une suite de S .
III.B.1) Montrer que, pour tout x  [-1, 1], la série

III.A.2)

Rn ( j) =

Montrer que la série numérique

On pose, pour n  N,

III.A.1)

III.A - Soit (n )nN une suite de S et j  N.

On dit qu'une suite (n )nN de nombres réels est à décroissance rapide si pour
tout entier k  N, la suite (nk n )nN est bornée. On note S l'ensemble des suites
de nombres réels à décroissance rapide.

pVn

d( f , Vn ) = inf k f - pk .

Pour toute fonction f  C ([-1, 1]), on pose

Pour tout entier n  N, Vn désigne l'ensemble des restrictions à [-1, 1] des 
éléments
de En .

On note C  ([-1, 1]) le sous-espace de C ([-1, 1]) constitué des fonctions de 
classe
C  sur [-1, 1].

x [-1,1]

 f  C ([-1, 1]), k f k = sup | f ( x )| .

Dans toute cette partie, on note C ([-1, 1]) l'espace vectoriel des fonctions 
continues
sur [-1, 1] à valeurs réelles.
On le munit de la norme infinie :

Page 3/4

b) Soit 0  R.
Montrer qu'il existe une fonction polynomiale P  En-1 tel que, pour tout   R,
on ait :
T (0 +  ) - T (0 -  ) = 2P(cos  ) sin .

où a0 , a1 , b1 , . . . , an , bn  R.
a) Soit k  N  . Montrer qu'il existe une fonction polynomiale Bk de degré (k - 
1)
tels que :
  R, sin(k ) = Bk (cos( )) sin( ).

II.B.3)

x [-1,1]

(On distinguera trois cas selon que x appartient à l'un des intervalles [-1, 
xn,1 [,
[ xn,1 , xn,n ] ou ] xn,n , 1]).
b) En déduire que pour tout n  N  et pour tout P  En-1 , on a :
p
1 - x2 | P( x )|.
sup | P( x )| 6 n sup

Montrer que

x [-1,1]

a) Soient n  N et P  En-1 tel que sup

II.B.2)

MATHÉMATIQUES I

1 - x2 | P( x )|  1.

x [-1,1]

sup | P( x )|  n.

p

T (  ) = a0 +

k =1

 [ak cos(k ) + bk sin(k )]

n

Soit T un polynôme trigonométrique de la forme

x [-1,1]

 R

 R

sup | T  ( )|  n sup | T ( )|.

 R

sup | P( x )| 6 n sup | T ( )|.

x [-1,1]

x [-1,1]

(On pourra faire intervenir le polynôme trigonométrique T ( ) = P(cos( ))).

x [-1,1]

II.C - Inégalité de Markov
Soit P  En .
Montrer que :
sup | P ( x )|  n2 sup | P( x )|.

d) Montrer que :

c) En déduire que :

Partie III - Approximation polynomiale

Filière PC

pj  p.

n j n est convergente.

Montrer que la suite ( Rn ( j))nN est à décroissance rapide.

p = n +1

+

n N

 x  [-1, 1],

f (x) =

n =0

 n Fn (x).

+

Dans la suite de cette question III.B, on définit la fonction f sur le segment 
[-1, 1]
par :

est convergente.

n >0

 n Fn (x)

III.B - Soit (n )nN une suite de S .
III.B.1) Montrer que, pour tout x  [-1, 1], la série

III.A.2)

Rn ( j) =

Montrer que la série numérique

On pose, pour n  N,

III.A.1)

III.A - Soit (n )nN une suite de S et j  N.

On dit qu'une suite (n )nN de nombres réels est à décroissance rapide si pour
tout entier k  N, la suite (nk n )nN est bornée. On note S l'ensemble des suites
de nombres réels à décroissance rapide.

pVn

d( f , Vn ) = inf k f - pk .

Pour toute fonction f  C ([-1, 1]), on pose

Pour tout entier n  N, Vn désigne l'ensemble des restrictions à [-1, 1] des 
éléments
de En .

On note C  ([-1, 1]) le sous-espace de C ([-1, 1]) constitué des fonctions de 
classe
C  sur [-1, 1].

x [-1,1]

 f  C ([-1, 1]), k f k = sup | f ( x )| .

Dans toute cette partie, on note C ([-1, 1]) l'espace vectoriel des fonctions 
continues
sur [-1, 1] à valeurs réelles.
On le munit de la norme infinie :

Page 3/4

b) Soit 0  R.
Montrer qu'il existe une fonction polynomiale P  En-1 tel que, pour tout   R,
on ait :
T (0 +  ) - T (0 -  ) = 2P(cos  ) sin .

où a0 , a1 , b1 , . . . , an , bn  R.
a) Soit k  N  . Montrer qu'il existe une fonction polynomiale Bk de degré (k - 
1)
tels que :
  R, sin(k ) = Bk (cos( )) sin( ).

II.B.3)

x [-1,1]

(On distinguera trois cas selon que x appartient à l'un des intervalles [-1, 
xn,1 [,
[ xn,1 , xn,n ] ou ] xn,n , 1]).
b) En déduire que pour tout n  N  et pour tout P  En-1 , on a :
p
1 - x2 | P( x )|.
sup | P( x )| 6 n sup

Montrer que

x [-1,1]

a) Soient n  N et P  En-1 tel que sup

II.B.2)

MATHÉMATIQUES I

RR
 7 h(cos( ))

e
h(t)dt,

e
h(t) sin(nt)dt.

e
h(t) cos(nt)dt,

-

Z 

f (x) =

n =0

 n ( f ) Fn (x) ,

+

Montrer qu'il existe une suite (n ( f ))nN à décroissance rapide telle que

Montrer que la suite ( an ( fe))nN est à décroissance rapide. Que vaut bn ( fe) 
?
Montrer que la série de Fourier de fe converge normalement vers fe.

-

-
Z 

Z 

1
2

Page 4/4

III.D - Soit f  C ([-1, 1]).
On suppose que la suite (d( f , Vn ))nN est à décroissance rapide.
III.D.1) Montrer qu'on peut construire une suite ( pn )nN de fonctions 
polynomiales telle que :
·
pour tout entier n, deg( pn ) 6 n
·
(k f - pn k )nN est à décroissance rapide.

pour tout x  [-1, 1]. Donner une expression de n ( f ) en fonction de f et de n.

III.C.2)
III.C.3)

III.C.1)

III.C - Soit f  C  ([-1, 1]).

1
bn (e
h) =

1
h) =
an (e

h) =
a0 (e

On rappelle que les coefficients de Fourier de e
h sont donnés par les formules suivantes, pour tout entier n  N  :

e
h:

Les notations suivantes seront valables jusqu'à la fin du sujet.
Pour une fonction h  C ([-1, 1]), on note e
h la fonction 2-périodique suivante :

· · · FIN · · ·

a) Soit k  N  . Montrer que, pour P  Ek-1 , ak ( fe) = ak (^
f - P ).
e
b) En déduire que la suite ( an ( f ))nN des coefficients de Fourier de la 
fonction fe
est à décroissance rapide.
c) Conclure.

Montrer que la suite (d( f , Vn ))nN est à décroissance rapide.

III.B.3)

Le but de cette question est de montrer que la fonction f est de classe C  .

III.D.2)

Montrer que f est de classe C  sur [-1, 1].

Filière PC

III.B.2)

MATHÉMATIQUES I

RR
 7 h(cos( ))

e
h(t)dt,

e
h(t) sin(nt)dt.

e
h(t) cos(nt)dt,

-

Z 

f (x) =

n =0

 n ( f ) Fn (x) ,

+

Montrer qu'il existe une suite (n ( f ))nN à décroissance rapide telle que

Montrer que la suite ( an ( fe))nN est à décroissance rapide. Que vaut bn ( fe) 
?
Montrer que la série de Fourier de fe converge normalement vers fe.

-

-
Z 

Z 

1
2

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III.D - Soit f  C ([-1, 1]).
On suppose que la suite (d( f , Vn ))nN est à décroissance rapide.
III.D.1) Montrer qu'on peut construire une suite ( pn )nN de fonctions 
polynomiales telle que :
·
pour tout entier n, deg( pn ) 6 n
·
(k f - pn k )nN est à décroissance rapide.

pour tout x  [-1, 1]. Donner une expression de n ( f ) en fonction de f et de n.

III.C.2)
III.C.3)

III.C.1)

III.C - Soit f  C  ([-1, 1]).

1
bn (e
h) =

1
h) =
an (e

h) =
a0 (e

On rappelle que les coefficients de Fourier de e
h sont donnés par les formules suivantes, pour tout entier n  N  :

e
h:

Les notations suivantes seront valables jusqu'à la fin du sujet.
Pour une fonction h  C ([-1, 1]), on note e
h la fonction 2-périodique suivante :

· · · FIN · · ·

a) Soit k  N  . Montrer que, pour P  Ek-1 , ak ( fe) = ak (^
f - P ).
e
b) En déduire que la suite ( an ( f ))nN des coefficients de Fourier de la 
fonction fe
est à décroissance rapide.
c) Conclure.

Montrer que la suite (d( f , Vn ))nN est à décroissance rapide.

III.B.3)

Le but de cette question est de montrer que la fonction f est de classe C  .

III.D.2)

Montrer que f est de classe C  sur [-1, 1].

Filière PC

III.B.2)

MATHÉMATIQUES I