Centrale Maths 1 PC 2011

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EDNEHIIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Le but des deux premières parties est d7étudier l7existence d7une fonction de 
classe 000 de R dans (C, dont on
a fixé a priori les valeurs des dérivées successives en 0. Les deux parties 
suivantes sont consacrées à des classes
de fonctions pour lesquelles les dérivées successives en 0 de f déterminent 
complètement la fonction f .

On note W Pensemble des fonctions 000 de R dans (C nulles en dehors d7un 
segment (qui dépend de la fonction
considérée dans W). On notera (Z) ou Cfi les coefficients binomiaux.

I Intervention des séries entières

Soit (un)nEURN une suite complexe. On cherche dans cette partie des fonctions f 
EUR 000 (R, (C), qui sont somme

d7une série entière sur un intervalle l--ô, (Si pour au moins un réel 6 > 0 et 
vérifiant Vn E N, f(")(0) = un.

I.A * Si f(æ) = :ÇÏÉ, a...v" pour tout x E l--ô, (Si, avec 6 > O, donner une 
expression de f(k)(æ) sur l--ô, (Si,

et en déduire f(k)(0) en fonction de ak pour tout k 2 O.

I .B * Dans les exemples suivants, proposer une solution f , en précisant une 
valeur de 6 convenable :
I.B.l) Vn E N, u" = 2".
I.B.2) Pour tout n E N pair, u" = (--l)"/2nl, et pour tout n impair, u" = O.

I. C' = Pour la suite (un)nEURN définie par Vn E N, u" = (2n)!, montrer 
qu7aucune fonction du type considéré
dans cette partie n7est solution du problème.

II Le théorème de Borel

II.A * Une fonction en cloche

1
Soit g la fonction de R dans R définie par g(æ) = {696 OEI1 Si $ EUR lÛ, 1i
0 sinon

II.A.1)
a ) Montrer que pour tout naturel p il existe un polynôme 62,0 E Rin tel que

1
Qp(æ) gm

Væ EUR 10,13 gO+ æ-->1*

b) En déduire que g E W.

II.B * Une fonction en plateau

1
foe=l g(t) dt
_1 .

fo g(t) dt
II.B.I) Montrer que h est de classe 000 sur R, constante sur l--oo, 1] et sur 
i2, ooi.

II.B.2) Soit 4,0 la fonction de R dans R définie par  = 2 (J.) âfi<î)(finæ)-- _ 1 b) En déduire que gï(Lj)(0) = O. 1 . 0) Montrer que, pour tout réel æ tel que læl } -- on a gÂJ)(æ) = O. 1 d) Montrer que, pour tout réel æ tel que læl £ --, on a " ung£Lj)(æ)l < 2f(n+1). II.C.3) Déduire des questions précédentes que pour n, j E N, ' 0 si ' n g£3> = { J #

lsij=n

II.C.4) En considérant 0 = 2220 ungn, montrer qu7il existe une fonction f de 
classe 000 sur R telle que
Vj E N, f...(0) = uj (théorème de Borel).

III Un autre élément de W

On considère une suite (an)nEURN de réels strictement positifs, décroissante de 
limite nulle, et telle que la série
2 an converge.

III.A * Une fonction affine par morceauæ

On pose pour tout x réel

1
fo($) = 2--2 (l$ + aol + l$ * aol * 2lOEl).
ao

III.A.I) Montrer que fo est nulle en dehors de l--a0, aol, préciser sa valeur 
sur l--a0, O] et {O, aol, justifier sa
continuité et tracer rapidement son graphe.

1
III.A.2) On pose k = --2.
"0
, l
a) Pour tout reel æ, montrer que lfo (£)l < --. 610 b) Montrer que fo est lipschitzienne de rapport [EUR sur R. III.B * La première étape On pose pour tout x réel æ+a1 f1(æ)-- 1 / fodt

2611 oe=a1

III.B.I) Montrer que f1 est de classe C1 sur R et calculer f{ (x) pour tout x 
réel.
III.B.2) Montrer que f1 est nulle en dehors de l--a0 -- a1, ao + all.
III.B.3) Montrer que Vw E R, lf1(æ)l $ l et lf{(æ)l $ 1

cm a0a1'

III.B.4) Montrer que f1 est lipschitzienne de rapport [EUR sur R.

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C * Une suite de fonctions

On définit par récurrence une suite ( fn)nEURN de fonctions par fo et fl 
définies comme dans les questions précé--
dentes et, pour tout naturel n 2 2 et tout x réel,

æ+an
f.<æ> -- L / fnf1(t)dt

2an far.

III.C.1) Montrer que fn est de classe C" sur R et calculer fâ(æ) pour tout x 
réel.
III.C.2) Montrer que fn est nulle en dehors de l-- E" (L.-, le 0 ct.-].

i:0 l:

l 1
111.03) Pour tout x E R, montrer que lfn(æ)l £ -- et que, si p £ n, on a 
T(Lp)(æ)' £ _.
@@ a0a1 "ap
III.C.4) Montrer que fn est lipschitzienne de rapport [EUR sur R.
111.05) Montrer que pour tout naturel n
S 00
/ fn(t)dt=1 où 5: Za...
ÎS n:0
III.D * La limite
On considère la série de fonctions Zn>1 kn où kn = fn -- fnn1 pour tout n 2 l.
III.D.1)
k
a) Pour tout entier n 2 l et tout réel æ, montrer que lkn (æ)l £ îan.
b) En déduire la convergence normale de la série de fonctions 2 k...
Pour tout réel m, on note
00
"@=Ë:MW)
n:1
III.D.2)
a) Montrer que pour tout x réel, fn(æ) converge vers une limite que l7on notera 
w(æ) et qui vérifie
w($) = fo($) + S(æ).
1
b) Pour tout réel æ réel, montrer que lw(æ)l < --. 610 0) Montrer que w est lipschitzienne de rapport [EUR sur R. d) Montrer que w est nulle en dehors du segment l--S, Sl. III.D.3) a) Montrer que /îMÜOE=L !) En déduire que w n7est pas constante nulle sur R. III.D.4) a Montrer que Zn>2(fT/L -- 'r/LÎ1) converge normalement sur R.
!) Trouver un lien entre w, fl et ZÏ:2(fn -- fnn1).
c En déduire que w est de classe C1 sur R.
1

d Montrer que pour tout x réel, lu/(æ)l £ .

a0a1

III.D.5) Soit p > 2.
(JO)

a Montrer que Zn>p+1( T(Lp) -- fnf1) converge normalement sur R.
!) Trouver un lien entre w, fp et ZÏ:p+l(f" -- fnn1).
c En déduire que w est de classe Cp sur R.
1
d Montrer que pour tout x réel , lw0 vérifiant les trois conditions :

Vn EUR N, M,, > 0 (1v.1)
M0 = 1 (1v.2)
Vn ; 1, M3, < Mn=1Mn+1 (1v.3) On note C (M ) Pensemble des fonctions f : R = (C de classe 000 pour lesquelles il existe deux constantes A > 0
et B > 0 (dépendantes de f) telles que

Vn EUR N, Væ EUR R, lf(")(æ)l < ABflM... L7ensemble C (M ) est dit classe associée à la suite M. La classe C (M ) est dite quasi--analytique si Vf EUR C(M) (Vn EUR N, f(k)(0) = 0) = f = 0. IV.A = Quelques propriétés d'une classe IV.A.1) Montrer que si f E C(M) et (a, b) EUR R2, alors la fonction g : æ 1--> 
f(aæ--l--b) appartient aussi a C(M).
IV.A.2) Vérifier que C(M) est un espace vectoriel sur (C.

IV.A.3)

a) Montrer que pour tous n, [EUR E N tels que [C $ n, on a Mannk £ Mn. On 
pourra étudier, pour p fixé, la

monotonie de la suite (Mn/Mn=p)n>p.

b) En déduire que le produit de deux éléments quelconques de C (M ) est un 
élément de C(M )

IV.B = Un eæemple de classe quasi--analytique
On note U la suite définie par U" = n! pour tout n E N.
IV.B.1) Montrer que la suite U Vérifie les conditions IV.1, IV.2 et IV.3.

IV.B.2) Soit f E C(U): on fixe A > O, B > 0 tels que
Vn EUR N, Væ EUR R, lf(")(æ)l < AB"n! a) Dans cette question et la suivante, on suppose que le réel oz Vérifie Vk E N, f(k)(oz) = 0. Montrer que a? 7 t 77, Væ & R, Vn EUR N, f(x) =/ Qf<"">(t)dî
@, n.
, . 1
b) En deduire que Vw E R, læ -- ozl £ % = f(æ) = 0.
c) Montrer que C (U) est une classe quasi--analytique.
IV. C =
IV.C.1) Montrer que si C(M) est quasi--analytique, alors C(M) @ W = {O}.
IV.C.2) Montrer la réciproque: on pourra montrer, lorsque C(M ) n7est pas 
quasi--analytique, l7existence

d7une fonction g # 0 dans 000 (R, (C), nulle sur ]--oo, 0}, puis considérer h : 
æ 1--> g(æ)g(c-- $) pour un 0 E R bien
choisi.

IV.B * On se donne une suite réelle M = (Mn)n>0 vérifiant les trois conditions 
IV.1, IV.2 et IV.3 et on
considère les assertions :

1 1/77,
la série 2 <--) converge (IV.4) Mn n>1
M,,I
la série E M 1 converge (IV.5)
n>1 n

la classe C(M ) n7est pas quasi--analytique (IV.6)

Pour tout n 2 l, on note 0... = Mn=1/Mn.
IV.D.1) Exprimer l\Ân en fonction de Gil, . . . ,on, et en déduire que IV.4 = 
IV.5.

IV.D.2) Démontrer en utilisant la partie III que IV.5 = IV.6.

On peut montrer à l'aide d'outils mathématiques plus élaborés que IV.B = IV.4, 
ce qui donne une caractéri--
sation des classes quasi--analytiques. Ce résultat constitue une partie du 
théorème de Denjoy--Carleman.

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