Centrale Maths 1 PC 2018

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communs EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Objectifs et notations

8 82
Ce problème étudie quelques aspects de l'équation de diffusion (1) : ô--{(t. 
a:) : ô--£(t, T).
35

Cette équation modélise l'évolution au cours du temps de la température le long 
d'une barre métallique unidi--
mensionnelle, ou encore l'évolution au cours du temps de la concentration d'une 
espèce chimique (par exemple
un polluant dans une rivière assimilée à l'axe des m).

Le problème est constitué de quatre parties.

-- La partie 1 permet de démontrer quelques résultats sur la transformée de 
Fourier d'une fonction continue et
intégrable sur [R. Ces résultats sont utilisés dans la partie Il.

-- La partie Il aboutit à la résolution de l'équation (l) lorsqu'on impose à la 
solution f d'être de classe 82 et
de vérifier certaines conditions.

-- La partie III étudie la stabilité du schéma numérique correspondant a la 
discrétisation de t et de sc.

-- La partie IV fournit une interprétation probabiliste du paramètre qui 
détermine la stabilité étudiée dans la
partie III.

Les parties III et IV sont indépendantes des parties 1 et H et largement 
indépendantes entre elles.

On désigne par EUR2([R*+ >< [R, R) l'ensemble des fonctions de Ü?î >< [? dans R, de classe 82. Pour toute fonction h définie sur [R*+ >< IR, pour tout réel to > 0, on note 
h(t... ) la fonction partielle æ l--> h(t0, oe)
définie sur [R ; de même, pour tout réel a:... on note h(', 120) la fonction 
partielle t l--> h(t, 370) définie sur |Rî.

Si a et b sont deux entiers tels que a g b, on note [[a, b]] l'ensemble des 
entiers k vérifiant a < le g b. [R --> [R
P t t»'...l >0, d'»' ---lf t' : 1 2 .
our ou ree a ga es1gne a onc mn 90 33 |_) _ exp <_oe2) 0'\/27T 20 I Préliminaires Dans cette partie, on fixe un réel strictement positif 0. I.A * Quelques propriétés de ga Q 1. Montrer que 90 est intégrable sur [R. +oo +00 Q 2. En admettant que / exp(--x2) doe : \/7Î', donner la valeur de / ga(æ) dx. ÎOO foo Q 3. Étudier les variations de ga. Montrer que la dérivée seconde de 90 s'annule en changeant de signe en exactement deux points. Donner l'allure de la courbe représentative de ga et placer les deux points précédents. I.B -- Soit f une fonction de [R dans @, continue et intégrable sur [R. , . R --> C ' . , '
Q 4. Montrer que, pour tout reel {, la fonction 33 |_) f (33) exp (--i27r gaz) 
est intégrable sur [R.

[R-->C

+oo
Ondéfinitalorslafonctionfï(f): {l-->/f( )e ( .2 EUR )d .
OE "Xp --1 TF SC OE

On dit que ff ( f) est la transformée de Fourier de f.
Q 5. Montrer que 3" ( f) est continue sur [R.

I.C -- Soit f une fonction de [R dans C, de classe 6". On suppose que f et sa 
dérivée )" sont intégrables
sur [R.
Q 6. Montrer que f tend vers zéro en +00 et en --00.

Q 7. Montrer que, pour tout réel {, Î(f')({) : 2i7r£ÿ(f)(£).

I.D *

Q 8. Montrer que, pour tout entier naturel p, la fonction a: |--> 3:2p 
exp(--æ2) est intégrable sur R

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+oo
On note M,, = / oe2p exp(--oe2) dm.

Q 9. Pour p entier naturel, donner une relation entre Mp +1 et Mp et en déduire 
que, pour tout p EUR D\l,
7r 2 !
M,, : C( l:)
2 "p.

Q 10. Montrer que, pour tout réel {, il existe une suite réelle (cp({))pEURN 
telle que

+oo
Va: EUR IR, exp(--æ2) cos(27r£æ) : z c,,(ê) CXp(--OE2)OE2p
p=0
+oo
Q 11. En déduire que, pour tout réel 5, / exp(--oe2) exp(--i27r£æ) dac : 
fiexp(--7ËË).
/ 1 7-- - /
Q 12. On pose 0 : 2--. Montrer qu il ex1ste un reel " tel que Î(ga) : ,ugg».
7ra

La valeur de ,il n'est pas a expliciter.

II Equation de diffusion avec une condition initiale gaussienne

Dans cette partie, a désigne un réel strictement positif. On cherche les 
éléments f de EUR2([2*+ >< [R, [R) vérifiant i l'é uation de diffusion ' V(t oe) EUR [R* >< [R ÿ(t r) -- OE(t oe) ' ' q ' 7 + 7 at " _ ôæ2 ? 7 ii. les trois conditions de domination : pour tout réel T > 0, il existe des 
fonctions qôT, XT et 1[)T de R dans [R,
continues et intégrables sur [R, telles que

|f(ùfi)l < @T(OE) ôf Vt EUR ]O,Tl, Væ EUR [R, OE(t'æ)l < XT(OE) ; 82 film) < wT<æ>

iii. la condition aux limites : Va: EUR [R, lÏI(I)1 f(t, oe) : g,,(OE).
ta +

[Rî >< IR --> [R
(W) H 9W(OE)

On admet que cette fonction vérifie également les trois conditions de 
domination ii. L'objectif est de démontrer
que c'est la seule fonction de classe C'2 sur [Ri >< [R vérifiant i, ii et iii. Q 13. Montrer que la fonction vérifie les conditions i et iii. Pour cela, on note f une fonction qui vérifie i, ii et iii. II.A EUR Q 14. Justifier que, pour tout réel t > 0 et tout réel {, la fonction 33 H f 
(t,oe) exp(--2iw{æ) est intégrable
sur [R.

+00
On définit alors la fonction f sur [Rî >< [R par: V(t, EUR) EUR lRî >< [R, f(t,{) : / f(t, a:) exp(--i27rêoe) doe. Avec les notations de la partie 1, on a ainsi, pour tout réel t > O, f(t, ) : 
ÿ(f(t, ).)
Q 15. Montrer que, pour tout nombre réel 5, lim f(t, £) : ÿ;(£).

ta0+
On pourra utiliser une suite quelconque (in)"EURN de réels strictement positifs 
convergeant vers zéro.
A +oo
, , ôf Ôf .
Q 16. Montrer que, pour tout reel { et tout reel t > O, ä(t'ê) : Ë O, Ë(t'ê> : --47r { f(t,£).

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II.B *
Q 18. Montrer que, pour tout 5 EUR IR, il existe un réel K({) tel que pour tout 
t EUR [Rî, f(t, EUR) : K({) exp(--4w2{2t).
Q 19. En utilisant la question 15, déterminer, pour tout réel {, la valeur de K 
(EUR)

II.C*

Q 20. En déduire l'existence d'un réel ua tel que, pour tout réel 5 et tout 
réel t > O,

f(t. EUR) : u.exp(--2w252)

Q 21. Donner la valeur de V0.
On admet le résultat suivant :

si u et n sont des fonctions de [R dans [R, continues et intégrablcs sur [R et 
vérifiant 3'(u) : 3'(v),
alors u : 1).

Q 22. Soit t un réel strictement positif. Déduire des questions 20 et 12 
l'existence d'un réel Àt.a tel que

f(t: ) : Àt.UQW
[Rî --> Ü?

+00

23. Montrer ue la fonction 1 : est constante.
Q q t l--> / f(t, os) dx
*00

On pourra utiliser le résultat de la question 17.
Q 24. En déduire que, pour tout réel t strictement positif, f (t, ) : 9%.

III Étude numérique

Dans cette partie, on étudie, du point de vue numérique, un certain problème de 
diffusion.
On fixe une fonction f, continue sur [R+ >< {O, 1] et de classe C'2 sur [Rî >< ]0. 1{, vérifiant l'équation de diffusion 8 82 Wt@EURRîXW1L -äewr=ägew ainsi que les conditions aux limites w e R.. f = f(t.1) : 0
On suppose connue la fonction f (0, -) et on se propose d'étudier une méthode 
de calcul numérique de f.

III.A --

t 9 ' -- t
Q 25. Soit t EUR RÎÏ et 95 EUR ]0, 1{. Donner la limite, quand 0 tend vers 
zéro, de ....

9
t,* h--2 t, t,*--h 82
Q 26. Soit t EUR Ü?ÎÏ et 3: EUR ]0,1{. Montrer que lim f< 1 + ) f( .r) + f< @ > 
: f(a:,t).
h-->O h2 8562

III.B -- Soit 7" un réel strictement positif et q un entier naturel supérieur 
ou égal à 2.
O 5 1 t T

n ose : e r: --.

p q+1 ?

La méthode numérique retenue consiste à discrétiser t selon le pas T et 50 
selon le pas 5, ce qui amène à chercher
une valeur approchée de f(nT, k5), notée f,.(ls), pour n EUR IN et [EUR EUR 
[[0. (1 + 1]].
Compte tenu des questions 25 et 26, l'équation de diffusion et les conditions 
aux limites conduisent à imposer,

k - k _ _
pour tout entier naturel n et tout k EUR [[1.q]], fn+1( ) fn( ) : f" +f"(k 1) ainsi que
T
fn(0) : fn(q + 1) = 0 et f0(k) : f(0, 166) (on rappelle que la fonction f(0. ) 
est supposée connue).

(MD)
Pour n EUR N, on pose Fn : ; .
fn(q)

On note lq la matrice identité d'ordre q, et on définit la matrice B carrée 
d'ordre q par

() 1 0 0
1 0 1 0 '

0 1 '-
B _ ' '. 1 0
1 0 1
0 .. 0 1 0

2018-03-21 17:14:57 Page 3/4 l(<=<ä BY--NC-SA Ainsi, pour tous i, j dans [[1, g], le coefiicient de place (i,j) de B est égal à 1 si |i --j| : 1 et a 0 sinon. Enfin, on pose A : (1 -- 2r)Iq + TB. Q 27. Montrer que, pour tout 71 E N, Fn+1 : AF". Q 28. Justifier que les matrices A et B sont diagonalisables sur [R et que, pour tout 71 E N, F,, : A"FO. Q 29. Montrer que la suite (F")nEURN est bornée quel que soit le choix de F0 si et seulement si les valeurs propres de A appartiennent a {--1, 1]. ( 91 Soit A une valeur propre de B et soit Y = E yq Q 30. En considérant un coefficient de Ydont la valeur absolue est maximale, montrer que A E {--2,2] et justifier l'existence d'un élément 0 de {O, 7r], tel que A : 2cos EUR. ) un vecteur propre associé. Q 31. Montrer que, si on impose y0 : yq+l : 0, alors, pour tout [EUR EUR [[1, q]], ykÿl -- Àyk + yk+1 : O. Q 32. En déduire qu'il existe j EUR [[1, @] tel que A : 2cos ": 1. q Q 33. Déterminer le spectre de B et une base de vecteurs propres de B. Q 34. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur 7" pour que la suite (Fn)nEURN soit bornée quels que soient les choix de q et de F0- On dit alors que le schéma numérique retenu est stable. IV Équation de diffusion et marche aléatoire Le dé lacement d'une articule dans une direction donnée sous l'action des chocs avec les articules voisines p p p peut se modéliser par des déplacements successifs a droite ou a gauche équiprobables, d'une quantité strictement positive 6, qui interviennent à intervalles de temps réguliers, le temps entre deux chocs étant égal à T > 0.

Une variable aléatoire est dite de Rademacher si elle est à valeurs dans { 
1,--1} et si elle prend les valeurs 1
et --1 avec la même probabilité 1/2.

Soit (X"),OEN une suite de variables de Rademacher mutuellement indépendantes, 
définies sur un espace proba--
bilisé (Q,/l, IP).

TL
On note, pour tout entier n 2 1, Sn : ZX]...
j=1

Ainsi, la variable aléatoire (SS,, modélise la position de la particule au 
temps n7'.

1 TL
IV.A * Pour toutnEURN*,on pose Y,,= ê(Xn+l) et Zn=ij'
j=1

Soit n EUR N*.

Q 35. Déterminer la loi de la variable aléatoire Yn et celle de la variable 
aléatoire Zn.
Soit k un entier tel que --n g [EUR < n. Q 36. Montrer que, si n et k ne sont pas de même parité, alors [P(Sn : k) = O. n On rappelle que ( _) désigne le coefiicient binomial « j parmi n ». J 1 Q 37. Montrer que, si n et [C sont de même parité, U°(Sn : k) = ((le +nn)/2) 2Î' I V.B * Pour oe réel, on note LoeJ la partie entière de 33. Q 38. Pour tous réels 6 > 0 et T > O, calculer V <6S...,,D, variance de la variable aléatoire (SSH/TJ. 52 Q 39. Montrer que, pour tout réel 5, V (ôS...,,) est équivalent à --, lorsque 7' tend vers 0 par valeurs T supérieures. Q 40. Pour tout 71 G N* et tout k EUR Z, en posant p,,(k) : U'(S,, : k), montrer que pn+1(k) -- pn(k) * 52 pn(k + 1) -- 2pn(k) + pn(k -- 1) 7' _ 27 62 Q 41. En déduire une interprétation probabiliste de la condition de stabilité étudiée à la partie III. oooFlNooo 2018-03--21 17:14:57 Page 4/4 (CÔ BY--NC-SA