Centrale Maths 1 PC 2021

Mathématiques 1
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2021

Ce sujet est divisé en trois parties.

-- Dans la première partie, on étudie une marche aléatoire sur Z qui modélise 
la trajectoire d'une particule.
On s'intéresse en particulier au temps nécessaire pour que la particule 
revienne pour la première fois à son
point de départ, si cela arrive. Pour cela, on introduit une suite de nombres 
appelés nombres de Catalan et
on étudie leurs propriétés.

-- Dans la deuxième partie, entièrement indépendante de la première, on 
s'intéresse au calcul d'un déterminant
à l'aide d'une suite de polynômes orthogonaux.

-- Dans la troisième partie enfin, on utilise les résultats des deux premières 
parties pour calculer deux détermi-
nants associés aux nombres de Catalan.

I Etude d'une marche aléatoire sur Z
Soit (0,.4,P) un espace probabilisé et soit (X,,),en- une suite de variables 
aléatoires définies sur { et à valeurs

dans {--1,1}, mutuellement indépendantes, et telles que, pour tout n EUR N*,

P(X,=1)=p et P(X,=-1)=1-p, oùpel0,il.

n
On pose $, = 0 et, pour tout n EUR N°, S,, -- dx.
ki

La suite ($,),en modélise la trajectoire aléatoire dans Z d'une particule 
située en $, = 0 à l'instant initial
n = 0, et faisant à chaque instant n EUR N un saut de +1 avec une probabilité p 
et de --1 avec une probabilité
1 -- p, les sauts étant indépendants et p appartenant à ]0,1|.

Pour w EUR (, on représente la trajectoire de la particule par la ligne brisée 
joignant les points de coordonnées
(n, Sn (w)) en

2

1
3

0
UE

--1

--2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
Figure 1 Exemple de trajectoire possible
I. A --- Espérance et variance de S,

Dans cette sous-partie, n désigne un entier naturel non nul.
Soit Y,, la variable aléatoire sur Q égale au nombre de valeurs de k EUR ]1,n] 
telles que X, = 1.
Q 1. Quelle est la loi de Y,, ? En déduire l'espérance et la variance de Y,..

Q 2. Quelle relation a-t-on entre $,, et Y,, ? En déduire l'espérance et la 
variance de $,,. Justifier que $,,
et n ont même parité.

I.B - Chemins de Dyck et loi du premier retour à l'origine

Pour m EUR N*, on appelle chemin de longueur m tout m-uplet + = (7,,...,7%,) 
tel que Vi EUR [l,ml, 7, EUR {--1,1}.
k
On pose alors s,(0) -- 0 et, pour tout k EUR [1,m], s,(k) -- S
i=1

On représente le chemin + par la ligne brisée joignant la suite des points de 
coordonnées (k,s,(k)), k EUR [0, m].

M036/2021-03-08 07:53:02 Page 1/4 CIEL
Pour n EUR N°:

-- on appelle chemin de Dyck de longueur 2n tout chemin + = (71,...,72,) de 
longueur 2n tel que s,(2n) = 0
et Vk EUR [0,2n], s,(k) > 0;

-- on note C, le nombre de chemins de Dyck de longueur 2n.

On convient de plus que C, = I.

La suite (C°,),en est appelée suite des nombres de Catalan. On constate que ©, 
= 1 et C3 = 2.

2
2 | &
"a us 1
0 0 °
0 1 2 0 1 2 3 A0 1 2 3 A
k k

Figure 2 Représentation des chemins de Dyck de longueurs 2 et 4

Q 3. Donner sans démonstration la valeur de C, et représenter tous les chemins 
de Dyck de longueur 6.
Soit n EN et y= (71, %2n72) un chemin de Dyck de longueur 2n + 2. Soit r -- 
max{i EUR [0, n] | s,(2i) = 0}.
On suppose 0 < r < n et on considère les chemins à = (71,...,7%,) et 8 = (V2p49:., Vonr1): Q 4. Justifier à l'aide d'une figure que 92,11 = 1, %,:2 = --1 et que a et B sont des chemins de Dyck. Soit m EUR N* et soit y = (y,,...,7%,) un chemin de longueur m. Pour t EUR N, on note À, l'événement : « pour tout k EUR [l,m, X,,, = y, » ; en d'autres termes, t,7 tk -- Vk A4. -- [] (Xyix -- Vx). k=1 Q 5. Soit n EUR N* et soit 7 -- (71,...,%2,) un chemin de Dyck de longueur 2n. Pour t EUR N, exprimer P(4,.) en fonction de n et p. Soit T'la variable aléatoire, définie sur Q et à valeurs dans N, égale au premier instant où la particule revient à l'origine, si cet instant existe, et égale à 0 si la particule ne revient jamais à l'origine : 0 si Vk E N°, Sy (w) £ 0 Vu EUR Q, Ta) = À in EUR Ne | Sule = 0) sinon Q 6. Montrer que T'prend des valeurs paires et que, pour tout n EN, P(T =2n+2)=2C,pttt(i-pirtt, I.B.1) Série génératrice des nombres de Catalan Q 7. En utilisant la question 4, montrer VREN, Ciun=d OC y r=0 | C Q 8. À l'aide de la variable aléatoire 7, montrer que la série > -- converge.
n>0
1 r " 1 1
Q 9. En déduire que la série entière > C,t" converge normalement sur 
l'intervalle 7 -- 3: nl
n>0

On pose alors, pour tout t EUR Ï,
+00
fH)= D CE et g(t) = 2f(t).
n=0

O0
On rappelle que la série génératrice de T, donnée par Gr{t) -- > P(T' = nt", 
est définie si t EUR [---1,1|.
n=0
Q 10. À l'aide des questions précédentes, exprimer G# à l'aide de g et de P(T = 
0).
I
Q 11. En déduire que si p Æ 2° alors T'admet une espérance.

Q 12. Montrer que Vt EUR I, g(t)° = 2g(t) -- 4t.
Q 13. En déduire qu'il existe une fonction EUR : 1 -- {--1,1} telle que

VLEI, g(t)=1+e({t)Vi--4t

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Q 14. Montrer que EUR est continue sur 1 \ } En déduire

VtEI, g(t)=1-V1-4#.
Q 15. En déduire que P(T Æ 0) = 1 -- 4/1 -- 4p(1 -- p). Interpréter ce résultat 
lorsque p -- =.
Q 16. Montrer que si p -- = alors T'n'admet pas d'espérance.

I.C --- Expression des nombres de Catalan et équivalent

Q 17. Justifier l'existence d'une suite de réels (a, ),en telle que

+O0
Vzel-1,1, vl+x=1+ Da,x"ti

n=0

et, pour tout n EUR N, exprimer a,, à l'aide d'un coefficient binomial.

1 2
Q 18. En déduire Vn EN, C, -- | ,
n+I\n

Q 19.  Rappeler l'équivalent de Stirling. En déduire un équivalent de C", 
lorsque n tend vers +00.

Q 20. À partir de la question précédente, retrouver le résultat des questions 
11 et 16.

IT Calcul d'un déterminant à l'aide d'un système orthogonal

Dans cette partie, on suppose que l'espace vectoriel R[X] est muni d'un produit 
scalaire (-|-) et on note || la
norme associée.

Pour tout n EUR N, on note G,, la matrice carrée de taille n + 1 suivante :

AH) GX) + Ga")
Ga = (AT) AD ne . AA
| (X"|1) (XTIX)  (X7 IX")

On cherche à obtenir une expression du déterminant de G,, à l'aide d'une suite 
de polynômes orthogonaux.

IT. À - Définition et propriétés d'un système orthogonal

Dans RIX] muni du produit scalaire (-}-), on appelle système orthogonal toute 
suite de polynômes (P,,),en
vérifiant les propriétés suivantes :

-- (P,),an est une famille orthogonale, c'est-à-dire : V(4, j) EUR N°, à £ j = 
(P;/P;) = 0;

-- pour tout n EUR N, P, est unitaire et de degré n.

Dans toute la partie IL, on considère un système orthogonal (V, ),en:

Q 21. Montrer que, pour tout n EUR N, la famille (V,, V,,.., V,) est une base 
orthogonale de l'espace vectoriel
R,, LX] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.

Q 22 SoineNet PE R|IX! tels que deg P < n. Montrer que (V,|P) = 0. Q 23. Soit (W,,),en un autre système orthogonal. Montrer que Vn EN, W,, = V,. II.B - Expression de det G,, à l'aide de la suite (V, ),ex Soit ne Net soit G? la matrice carrée de taille n + 1 suivante : (VolVo) (Vol) + (WW) G7 = ((VialVi)) a 00) ina) . en On note Q,, = (q; j)1ci.jen+1 la matrice de la famille (V,, V,,..., V,,) dans la base (1, X,..., X7) de R,[X]. Q 24. Montrer que Q, est triangulaire supérieure et que det Q,, = 1. Q 25. Montrer que Q,G,Q, -- G?, où Q, est la transposée de la matrice ©... Q 26. En déduire que det G,, -- LIVE i=0 M036/2021-03-08 07:53:02 Page 3/4 (cc) BY-NC-SA III Déterminant de Hankel des nombres de Catalan Dans cette partie, on introduit un produit scalaire particulier sur R[X] et une suite de polynômes. On vérifie qu'il s'agit d'un système orthogonal pour ce produit scalaire, ce qui permettra d'appliquer les résultats de la partie précédente. III. À --- Produit scalaire lL--x Q 27. Soit PE R|IX] et Q EUR R|X]. Montrer que la fonction x H P(4x)Q(4x) Te x est intégrable sur |0, 1]. Dans toute la partie III, on pose = | à V(P,Q)E RIX| x RIX|, (P|Q) -- aire | 1 | Pt 0 Q 28. Montrer que (-|-) est un produit scalaire sur R[X|. ITI.B -- Système orthogonal Soit (U, ),en la suite de polynômes définie par VU, = 1, VU, =X-1et VneN, U,,o =(X---2)U,,, --U,. Q 29. Pour tout n EUR N, montrer que U, est unitaire de degré n, et déterminer la valeur de U,, (0). Q 30. Soit0e R. Montrer que Vn EUR N, U,, (4 cos" 0) sin 0 = sin((2n + 1)6). x /2 Q 31. Soit (m,n) EUR N°. Calculer  sin((2m + 1)0) sin((2n + 1)0) dé. 0 Q 32. En déduire que (U,,),,.N est un système orthogonal et que, pour tout n EUR N, [U,, | = 1. Pour calculer la valeur de (U,, |U,,), on pourra effectuer le changement de variable x = cos* 6. ITI.C -- Application Pour tout n EUR N, on pose u,, = (X"|1). Q 33. À l'aide d'une intégration par parties, montrer 1 3 VnEN", du, 1 --Hn = a 82 (1 -- x)$2 dx = y. 2n -- I 0 Q 34. En déduire Vne N, nu, = C,. Q 35. Soit n EUR N. Déduire des parties précédentes la valeur du déterminant Co Ci Co | Chi Ch C | | | Cri Co Hy -- det(Ci4; 2)1ci jén+1 -- C 2n--2 Chi ° ° Con_1 Ch Ch+i UT Con-2 Con-1 Con ITTI.D -- Un autre déterminant de Hankel Dans cette sous-partie, on pose, pour tout n EUR N, Co Ci Co UT Ch --] Ch Ci Ca C3 Ch 1 Ch C oi ER oi Cou Co oi oi oi Ci C . . . : C . . : D, (X) = ' et H° -- ' . . . Con : Con_2 Ci On  Cnr . Con-2  Con-1 C1 : : Con2 I X e XMS XX" Cr Cru Con-3 Con2 Con-1 Q 36. Soit (n,k) EUR N° tel que k < n. Montrer (D, XF) = (0. Q 37. En déduire que Vn EUR N, D,, = U,,, puis déterminer, pour tout n EUR N*, la valeur du déterminant H". ee eFINeee M036/2021-03-08 07:53:02 Page 4/4 (cc) BY-NC-SA