Centrale Maths 1 PC 2023

Mathématiques 1
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2023

L'objectif de ce sujet est d'établir le théorème de Perron-Frobenius pour une 
certaine classe de matrices symé-
triques. Ce théorème étudie les espaces propres d'une matrice associés aux 
valeurs propres de module maximal.
Une application, en conclusion, montre une ouverture à l'analyse spectrale des 
matrices à coefficients positifs.

-- La partie I permet d'obtenir des résultats préliminaires, utiles pour les 
parties suivantes.

-- La partie II examine, à titre d'exemple, le cas des matrices à coefficients 
strictement positifs de taille deux.

-- La partie TITI s'intéresse au lien entre le rayon spectral d'une matrice et 
le comportement asymptotique de
la suite de ses puissances successives ; elle est indépendante de la partie IT.

-- La partie IV donne une démonstration du théorème pour une classe de matrices 
symétriques à coefficients
positifs ; elle est indépendante des parties IT et II.

Notations et définitions

K désigne l'ensemble R des réels ou l'ensemble EUR des complexes.

Soit n et p deux entiers naturels non nuls.

-- On note M, ,(K) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à 
coefficients dans Ket M,,(K) = M, ,,(K).

-- SIA = (Ajhicienic;ep est une matrice de M,,,(K), on note |A] la matrice de 
M,,,(K) dont les coefficients
sont |4;;| (1  0 
(respectivement À > 0) signifie
que la matrice À est positive (respectivement strictement positive).

-- SiAet B sont deux matrices de M,,,(R), la notation À > B (respectivement À > 
B) signifie que la matrice
A -- B est positive (respectivement strictement positive). De même, la notation 
À < B (respectivement À < B) signifie que la matrice B -- À est positive (respectivement strictement positive). -- Les propriétés suivantes pourront être librement utilisées (sous réserve que les opérations correspondantes puissent être envisagées) : e |[A+B|<[A|+]B/; ° |A'|=IAl"; e siyEUREK, alors |A] =|y||A|: e si A>0et B>0, alors AB > 0.
-- On rappelle que le produit scalaire canonique de W,, ,(R) est défini, pour 
tous vecteurs X et Y de M,, 1 (R),

par
ñ X, 4
(XIY)=XTY=NUXSY, où X=| : |ety= | :
k=1 À; Y;

La norme euclidienne (associée à ce produit scalaire) du vecteur X est alors 
donnée par

n 1/2
IX1 = VXTX = (S x) :
=1

-- Le spectre d'une matrice À de M,,(K) est noté sp(A).
-- Le rayon spectral d'une matrice À de M,,(K), de spectre non vide, est le 
réel positif ou nul, noté p(A), défini
par

p(A) = max{lA| | À EUR sp(4)}.
-- On dit qu'une norme N : M, (K) -- R est sous-multiplicative si, pour toutes 
matrices À et B de M,,(K),

N(AB) < N(A)N(B). M061/2023-03-21 10:05:25 Page 1/4 CIEL I Résultats préliminaires Q 1. Soit n un entier naturel, À et B deux matrices de M,(R) et X un vecteur de M,, :(R). Montrer que si A>0,X2>0et X Æ0, alors AX > 0,

et que

ABI< JAIIBI. À Y Q 2. Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour deux vecteurs À -- | | et Y -- | | de M, 1(R). X Y Tv Tv En déduire que si n est un entier naturel et 2,,..,2,,%w.,......,w,, sont des nombres complexes, alors n n 1/2, 1/2 S"zxllul < (Sur) (Sur) | k=1 k=1 k=1 Q 3. Soit z un nombre complexe tel que |1 + z| = 1 + }2|. Montrer que z EUR R,. En déduire que, si z et z' sont deux nombres complexes vérifiant |z + z'| = |2| + |2'| et 2 £ 0, alors 2aEEURR, |2 = az. Q 4. Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et z,,...,2, des nombres complexes non tous nuls tels que rt Tv k=1 k=1 Montrer que 20ER|VkET1,n],2, = el, Dans le cas où z, Æ 0, on pourra appliquer le résultat de la question précédente aux couples (z,,z,) pour kE [2,n]. II Matrices strictement positives de M,(R) / b Soit a, b, c et d des nombres réels strictement positifs et À -- s à) Q 5. Exprimer le discriminant À du polynôme caractéristique de À en fonction de a, b, c et d. Q 6. Montrer que À > 0. En déduire qu'il existe deux réels À et u, vérifiant À 
< y, tels que À soit semblable à la matrice (, 0 } D À Q 7. Montrer que |À| < y. Q 8. Montrer que la suite (A), converge vers une matrice L non nulle si et seulement si u = 1. En cas de convergence, préciser le rang de L puis montrer que L est la matrice d'un projecteur de R°. Q 9. Soit a et 5 deux réels de 0,1] et B la matrice ( a a l p :) Montrer que B est semblable à la l 0 | et donner une matrice $ de M,(R), inversible, telle que B = SDS". 0 1---a--5 Q 10. En déduire que la suite (B"),.,4. converge vers une matrice À que l'on explicitera. matrice D -- | III Normes sous-multiplicatives sur M, (C) ; rayon spectral ITT.ÀA --- Exemples de normes sous-multiplicatives sur M,,(C) de M,,(C), on pose Pour toute matrice À = (A;;)1é; jen ñ ñ 1/2 _ _ 2 IA = en ui) et lAl2 = Û > A; |

=] 7=1

à

Q 11. Montrer que ||. est une norme sous-multiplicative sur M, (C).

Q 12. On admet que |:}, est une norme sur M,,(C) : montrer que cette norme est 
sous-multiplicative.

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Q 13. Soit N une norme sous-multiplicative sur M,,(C) et S une matrice 
inversible de M,,(C). Montrer que
l'on définit une norme sous-multiplicative v sur M,,(C) en posant v(A) = 
N(S-!AS) pour toute À EUR M,,(C).

ITI.B -- Rayon spectral

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et À une matrice de M,,(C).

III.B.1)

Q 14. Soit S une matrice inversible de M,,(C). Comparer p(A) et p(S AS).

Q 15.  Justifier que À est trigonalisable. Comparer, pour 4 EUR N*, p(A°) et 
p(A) et, pour a EUR EUR, p(aA)
et p(À).

Q 16. Montrer que, pour toute norme NN sous-multiplicative sur M,,(C), on a 
p(A) < N(A). On pourra fixer une valeur propre À de À et mettre en évidence une matrice H EUR M,,(C), non nulle, telle que AH = 1H. II11.B.2) Le but de cette section est de montrer que, pour tout réel strictement positif EUR > 0, il existe une norme N sur
M, (C), sous-multiplicative (dépendant de À et de EUR), telle que

N(A) < p(A) +EEUR. À cette fin, on introduit, pour tout réel strictement positif r, la matrice diagonale D, = diag(1,T,....., Tr" 1) et on considère une matrice T' triangulaire supérieure de M,,(C). Q 17. Calculer le produit D_TD, en précisant, pour tout (4,5) EUR [1,n]°, l'expression du coefficient en position (4,j) de la matrice DUT D, en fonction de 7 et des coefficients de la matrice T°. Q 18. Montrer qu'il existe 6 > 0 tel que, pour tout 7 EUR R vérifiant |7| < 6, on a [D TD, |, < p(T) +e. Q 19.  Conclure. III.B.3) Q 20. Utiliser ce qui précède pour montrer que la suite (A*) £en- Converge vers la matrice nulle si et seulement si p(A) < 1. IV Théorème de Perron-Frobenius pour une classe de matrices sy- métriques positives Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et À une matrice non nulle de M,,(R), symétrique et positive (c'est-à-dire à coefficients positifs ou nuls). On pose r = p(AÀ). IV.A -- Q 21. Justifier que À est diagonalisable sur KR. Que peut-on dire des sous-espaces propres de À ? Q 22. Montrer que r > 0.

On note y la plus grande valeur propre de A.

Q 23. Montrer que, pour tout vecteur À EUR M n1(R); unitaire pour la norme 
euclidienne canonique,
X'AX < y. On pourra faire le calcul dans une base orthonormée convenablement choisie. Q 24. Montrer que cette inégalité est une égalité si, et seulement si, À est un vecteur propre de À associé à la valeur propre y. Q 25. Montrer que, pour tout vecteur unitaire X, X'AX)| <[X| AIX] < y. Q 26. En déduire que, pour toute valeur propre À de À, on a |À| < y, et que p = r. IV.B - Dans cette sous-partie uniquement, on suppose en outre que À est strictement positive. Q 27. Montrer que, si X est un vecteur propre de À, unitaire, associé à la valeur propre r, alors | X| est un vecteur propre de À, unitaire, associé à la valeur propre r, et que |X] > 0.

Q 28. Montrer que À = }X|} ou X = --|X|.
Q 29. Montrer que le sous-espace propre ker(A -- r1,) est de dimension 1.

On pourra raisonner par l'absurde en considérant deux vecteurs propres de À 
orthogonaux associés à r.

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Q 30. Montrer que la multiplicité de r, en tant que valeur propre, vaut 1 et en 
déduire que --r n'est pas
valeur propre de À.

Ainsi, r est l'unique valeur propre de À de module égal à r.
Q 31. Montrer que cette propriété n'est pas forcément vérifiée si À est 
seulement supposée positive.

On pourra chercher des exemples dans M,(R).

IV.C -

On suppose dans cette sous-partie qu'il existe un entier p > 2 tel que A? est 
strictement positive.

D'après la question 26, r est une valeur propre de À.

Q 32. Montrer que l'espace propre ker(A -- r1,) est de dimension 1, engendré 
par un vecteur strictement
positif.

Q 33. Montrer que r est l'unique valeur propre de À de module égal à r.

On pourra distinguer deux cas suivant la parité de p.

IV.D --- Une application : un théorème de Ky Fan

On admet que les résultats obtenus pour les matrices symétriques strictement 
positives, ou positives admettant
une puissance strictement positive, restent vrais pour une matrice strictement 
positive. Aïnsi, si B est une matrice
strictement positive, alors p(B) est l'unique valeur propre de B de module 
maximal, elle est de multiplicité 1
en tant que valeur propre et son espace propre est de dimension 1.

Soit À = (A;;)j<; jen une matrice quelconque de M,(C) et B = (B;;)1