Centrale Maths 1 PC 2024

Mathématiques 1
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2024

Ce sujet comporte quatre parties, qui peuvent être traitées indépendamment :

---- La partie I étudie deux façons d'approcher le réel 4/2.

-- La partie IT généralise la méthode de Héron d'Alexandrie étudiée en 
sous-partie I.B au cadre des matrices
symétriques positives.

-- La partie III traite le cas général de la méthode de Newton numérique réelle.

-- La partie IV s'inspire de la méthode de Newton abordée en partie IIT pour 
établir l'existence de la décom-
position de Jordan-Chevalley-Dunford, par une approche algorithmique et en 
donne une application à la
détermination de la racine carrée de certaines matrices.

Notations

Dans tout le sujet, K désigne R ou C et q est un entier naturel non nul.

On note M,(K) l'ensemble des matrices carrées de taille q à coefficients dans K 
; on note 1, la matrice identité
dans M,(K) et PT la transposée d'une matrice P. On note 8, (R) l'ensemble des 
matrices symétriques apparte-
nant à M,(R). On note O(q) le sous-ensemble de M,(R) constitué des matrices 
orthogonales, c'est-à-dire des
matrices P EUR M,(R) vérifiant PTP = I,.

Pour toute matrice M EUR M,(K) et pour tous 1 < à, j < q, on note [M], ; le coefficient d'indice (4, j) de M. Pour a,,...,a, EUR K, on note diag(a;,....,a,) la matrice À de M,(K) telle que, pour tous 1 < 4,7 < q: a; Siè = Al; _ ts / On munit l'ensemble M,(K) d'une norme ||]. On rappelle que, par l'équivalence des normes en dimension finie, la notion de convergence d'une suite (M,,),en à valeurs dans M,(K) ne dépend pas du choix de la norme ||:||. On pourra alors utiliser librement et sans démonstration dans tout le sujet les deux résultats suivants : pour toute suite (M,,),,.N à valeurs dans M,(K) et pour toute matrice M EUR M,(K), -- la suite (M, en converge vers M si et seulement si, pour tous 1 < 4,3 < q, la suite ([M,] vers [M], ; ; -- si AE M,(K) et si la suite (W,,),en converge vers M, alors les suites (AM, ),en et (M, A),en convergent respectivement vers AM et MA. à, en converge I Quelques approximations de 12. TI.A --- Via un développement en série entière. Soit à EUR R. On pose a; = 1 et, pour tout n EUR N*, 7 n! . _al@--1}(a-n+1) | LI b. * k=0 Q 1. Montrer que le rayon de convergence À de la série entière >» at" vaut :
neN
R = { 1 si a # N
+00 sinon.
Q 2. Donner, sans justification supplémentaire, l'expression de la fonction 
somme de la série entière ÿ ant"
neN
sur |--R, R[.
(2n)!

Q 3. Pour tout n EUR N, on pose b,, = =. Montrer que, pour tout x EUR ]-1,1{,

_ 22(2n --1)(n!)2

+00
VT+r= (1) #b,77.
n=0

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Q 4. Déterminer un équivalent simple de la suite (b . En déduire la nature de 
la série --1)7r1p..
M/neEN L

neN
Q 5. Montrer que la série entière D (11,2 converge uniformément sur [--1,1] et 
en déduire la valeur
h ne
O0
de D (1),
n=Û0

Q 6. Montrer que

E l
v2= DD +,0 Ga)

I.B --- Via la méthode de Héron d'Alexandrie.
Soit a EUR R,. On définit la suite (c, (a)),en par :
co(a) = 1
I a
VneN,c,;1(a) = = (cn (&) + oo)
Q 7. Montrer, par récurrence sur n EUR N, que, pour tout n EUR N, c,, (a) est 
bien défini et que c,,(a) > 0.
Q 8. Pour tout n EUR N, donner une expression de c,,,,(a)* -- a faisant 
intervenir (c, (a) -- a)*. En déduire

que, pour tout n > 1, c,(a) > Va.
Q 9. Montrer que (c,,(a)),en converge vers 4/a.
Q 10. Calculer c. (2). À l'aide de la question Q 8, montrer que, pour tout n 
EUR N°.
) 1 on-1l
2 -2<8(--) Cn\ ) 39 En déduire que -00+,0 (5) n-- +00 IC - Comparaison des différentes approximations de V2 : vitesses de convergence. 1 1 Q 11. Parmi les deux suites (5) et {5 Dans la question suivante, on s'interdit d'utiliser une valeur approchée de V2 stockée dans Python. En particulier, on s'interdit l'utilisation de 2 *x (1/2), math.sqrt(2) ou numpy.sqrt(2). on 1 ) | , déterminer celle qui converge le plus vite vers zéro. Q 12. Écrire une suite d'instructions en Python permettant, grâce à la méthode de la question Q 10, d'obtenir une approximation de 2 avec 10 décimales correctes. IT Racine carrée d'une matrice symétrique positive. On note 8 (R) l'ensemble des matrices symétriques positives de M,(R), c'est-à-dire des matrices M EUR &,(R) vérifiant X° MX > 0 pour toute matrice colonne X EUR M, 1 (R).

Dans toute cette partie, étant donnée une matrice M EUR M a\R); on appelle 
racine carrée de M toute matrice
B EUR M,{R) telle que B° = M.

IT. A -- Racines carrées de la matrice T,.
Q 13. Rappeler sans démonstration la description des matrices de O(2).
On décrira leurs coefficients en fonction d'un paramètre 0 ER.

Q 14. Déterminer les racines carrées de 1, appartenant à O(2). Que peut-on 
conclure quant au nombre de
racines carrées de Z, ?

II.B -- Existence et unicité d'une racine carrée symétrique positive.

Q 15.  Rappeler sans démonstration la condition nécessaire et suffisante 
portant sur le spectre d'une matrice
symétrique pour qu'elle soit positive.

Q 16. Soit M EUR S7(R). Déterminer une matrice B EUR 87 (R) telle que B° = M.

Q 17. Montrer que B est la seule racine carrée de M appartenant à 5 (R):

On note alors y M l'unique racine carrée symétrique positive de M.

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II.C -- Une méthode de Héron d'Alexandrie matricielle.
Soit M EUR S a (R). On note À,,..., À, les valeurs propres de M comptées avec 
multiplicité. On rappelle que, d'après
le théorème spectral, il existe une matrice P EUR O(q) telle que

M = Pdiag(A,....,À,) PT.

On rappelle de plus que, pour tout réel a > 0, la suite (c,(a)),,en définie en 
sous-partie LB, est à valeurs
strictement positives et converge vers 4/a. On pose alors :

VEN, Mu = 2 (M, + MM).

Dir

Q 18. Montrer, par récurrence sur n EUR N que, pour tout n EUR N, M, est bien 
définie et que
M,, = Pdiag(c,(A),.....,c,(À,)) PT:

Q 19. En déduire que la suite (M,,),eN converge vers VM.

III Méthode de Newton numérique.

Soit Z un intervalle ouvert non vide de R et f : 1 -- R une fonction de classe 
C* sur I telle que f' ne s'annule
pas sur JL.

TITI. À -- Convergence de la méthode de Newton.
Q 20. Que dire du nombre du nombre de points d'annulation de f sur 1 ?
On suppose qu'il existe c EUR 1 tel que f(c) = 0. Pour tout r > 0, on pose J,. 
= [c--r,c+rl.

Soit (c, }hen une suite telle que

Co EUR
f(Cn)
fn)

L'objectif de cette sous-partie IIT.A est de montrer qu'il existe r > 0 tel que 
J, EUR T'et tel que, si EUR EUR J,, alors
(C, )nen converge vers c.

VnEN, Ci = cn --

Q 21. Soit r > 0 tel que J, C I. Justifier que s, = sup |f"| et à, -- inf | f"| 
sont bien définis et que 4,. > 0.
s

On note K,, = --.
21,

Q 22.  Justifier qu'il existe r > 0 tel que 0 < rK, < I. Dans la suite de cette sous-partie IIL.A, on fixe r > 0 tel que rK,. < 1. Q 23. On suppose queneNet c, EUR J,. À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que Cas EE c| < K,.|c, EE cl, puis en déduire que EUR, EUR J,. 2n K,1c EE c|) K r et conclure. Q 24. Montrer que, si EUR EUR J,. alors, pour tout n EN, |c, -- cl < ITII.B -- Une implémentation en Python. Q 25. On désigne dans cette question par df la fonction Python représentant f'. Écrire une fonction Python newton(cO,f,df) prenant en arguments le réel c, et les fonctions f et f' et renvoyant, si la suite (c,,),en converge, une valeur approchée de c et la valeur None si (c,,),en diverge. On pourra convenir ici que la suite (c, new converge si on trouve un n < 50 tel que |f(c,)| < 107%, et qu'elle diverge sinon. IV Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford et calcul de racine carrée. On dit qu'une matrice N EUR M, (C) est nilpotente s'il existe k EUR N* tel que NF = 0. Dans toute cette partie IV, on fixe M EUR M a(C) On note À,,.., À, les valeurs propres deux à deux distinctes de M (avec s EUR N*). On définit alors M069/2024-05-02 10:44:07 Page 3/4 (cc) BY-NC-SA On note P' le polynôme dérivé de P,. d d Pour tout polynôme Q -- D xt E CIX}\, on note Q(M) -- D Mr E M, {(C) et on pose k=0 k=0 CIM] = 1Q(M)IQ EUR CIXF: On admet alors et on pourra utiliser librement que : -- si À,B E CIM, alors À et B commutent, et À + B et AB appartiennent à C[M/| : -- si Q EUR C[XT] et si À EUR CIM}, alors Q(A) EUR CIM]. IV.A --- Une méthode de Newton matricielle. Q 26. Montrer que, pour toute racine complexe y: de P", la matrice M -- 1, est inversible. En déduire que P'(M) est inversible. Q 27. Montrer que le polynôme caractéristique Y1, de M divise P4. En déduire que P(M) est nilpotente. Grâce à ces résultats, on peut définir la suite de matrices (M,,),.N en posant : Vn EN, M,,.: = M,, -- P(M,)P'(M,) On admet que, pour tout n EUR N: -- M,, est bien définie et appartient à M,(C) ; -- il existe B, EUR C[M] telle que P(M,,) = (P(M))? B -- la matrice P'(M,,) est inversible. Q 28. Montrer que la suite (M, ),-N est stationnaire. Q 29. Montrer que, pour tout n EUR N, les matrices M et M, commutent. Q 30. On note À la limite de (M,,),en. Montrer que À est diagonalisable. Q 31. On pose N = M -- À. Justifier que À et N commutent et que N est nilpotente. IV.B - Un calcul de racine carrée pour certaines matrices réelles trigonalisables Q 32. En utilisant le développement limité en 0 de la fonction x H V1 + x. montrer qu'il existe un polynôme R, EUR R[X] tel que X® divise 1+ X -- R,(X)°. Q 33. En déduire l'expression d'une racine carrée de 7, + N lorsque N est une matrice nilpotente. Pour les questions suivantes, on suppose que M est à coefficients réels et trigonalisable dans M q(R) et que le spectre de M est inclus dans R'.. On considère alors les matrices À et N introduites dans la sous-partie IV.A. Q 34. Justifier que À et N sont à coefficients réels et que À est diagonalisable dans M KR): Q 35. Montrer que le spectre de À est inclus dans R'.. Q 36. Justifier que la méthode de Héron d'Alexandrie de la sous-partie IL.C peut être appliquée à la matrice À afin d'obtenir une racine carrée À' de À. En déduire l'expression d'une racine carrée de M. eceoelrINeee M069/2024-05-02 10:44:07 Page 4/4 (cc) BY-NC-SA