Centrale Maths 2 PC 2000

MATHÉMATIQUES // Filière PC

MATHÉMATIQUES ||

Nota : les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment.

Partie I - Propriétés de la transformée de Legendre

Dans toute la partie I - , I désigne un intervalle de IR et f une fonction à 
valeurs
réelles, définie sur I . On note J ( f ) l'ensemble des réels p tels que la 
fonction
définie sur I par x r--> (px -- f(x)) soit majorée ; si J ( f ) : ® , on 
définit la fonction
g sur J(f) par:

VpEUR J(f), s(p) = sup (px--f(x))

xEI

La fonction g est appelée la transformée de Legendre de f ; on note g =£"( f ) .

I.A - Exemples

Calculer la transformée de Legendre g =.5"( f ) (en précisant l'ensemble J ( f 
) ) et
tracer le graphe de g , dans les cas suivants :

I.A.1) f(x) : kx2 (ke IRî) ;] = IR.
I.A.2) f(x) : ex ;1 = IR.
I.A.3) f(x) : arctan(x) ;] : IR.

I.B - Etude générale

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I . On suppose que J (f ) 
est
non vide.

I.B.1) Montrer que J (f ) est un intervalle : on montrera que, si a et b sont
dans J(f) , alors pour tout te [O, 1], ta + (1 --t)b appartient à J(f) .

I.B.2) Montrer que g =fif ) est convexe sur J (f ) , c'est-à-dire :
V(a, b) & J(f) > 0 .

Concours Centrale-Supélec 2000 1/5

MATHÉMATIQUES // Filière PC

Filiè ere PC

On sait que f '(I ) est un intervalle ; on note oc et B ses extrémités et l'on 
suppose
oc0) et h'(lR) = IR}. Montrer
que:

a) fÏ(%)c%.

b) Vhe%,fifih>) = h.

C) $ est une bijection de % sur % .

Partie II - Gênêralisation aux fonctions de
plusieurs variables

Soit n e N* . E désigne l'espace vectoriel euclidien IR" muni du produit 
scalaire
canonique

n
x, = x- - '
( y) 2 L yl ' xl
L=l
. ., x
s1 x : (xl, xn) & E , on note X le vecteur colonne assoc1e X = 2
x

Ainsi, si Y est le vecteur colonne associé à y e E, (x, y > = 'X Y.
Soit f une application de E dans IR ,telle que, pour tout p e E , l'application
de E dans IR définie par x |--> { p, x)--f (x) , soit majorée ; on définit 
alors la

transformée de Legendre de f, notée .£"(f ), comme étant l'application de E

dans IR définie par fif) : pl--)SU%( = 2f(p)-
1=1 '

Indication : on pourra calculer la dérivée de la fonction tr--> f (tp) .

11.4) En utilisant la question 11.8--b), déterminer pour tout p e E , un vecteur
x(p)EUR E tel que g(p) = f(x(p)).
Indication : on pourra utiliser ëe E tel que (grad F)(ë) : 0.

Partie III - Problème d'optimisation

E désigne l'espace vectoriel euclidien IR" (n & IN *) muni du produit scalaire

canonique, noté (,) et de la norme associée, notée II Il . Si x EUR E , on note 
X le vec-
. , - t

teur colonne assoc1e et par extensmn "XII : llxll : A/ XX .

Soit p un vecteur donné de E , A une matrice carrée réelle d'ordre n , symétri-
que et ayant toutes ses valeurs propres positives ou nulles.

Concours Centrale-Supélec 2000 3/5

MA THÉMA TIQUES II Filière PC

On note F l'application de E dans IR définie par :
F(x) = --'XAX = tPX--'XAX:

Une partie C de E est dite convexe si :
V(x,y)e C2, Vte [0,1], tx+(l--t)ye C.

Soit C une partie fermée, non vide, convexe, de E .

Lorsque F est majorée sur C, on s'intéresse à M , ensemble -- éventuellement
vide -- des points de C où l'application F restreinte à C atteint sa borne
supérieure :

M : {xe C | F(x)= supF(y)}.
yeC

III.A - Convexité de M

III.A.1) Soit x1 et x2 deux points de C et pour t e [O, 1] , x : tx1 + (1 
--t)x2.
Montrer que : F(x) : (1 --t)F(x2) +tF(x,) +t(1 --t) t(X1--X2)A(Xl--XZ).
III.A.2) On suppose M non vide. Montrer que M est convexe.

III.B - Cas particulier.

Dans cette seule question III.B, on suppose de plus que toutes les valeurs pro-
pres de A sont strictement positives.

III.B.1) Démontrer qu'il existe un nombre k > 0 tel que :

Vx & E 'XAXZk'XX.

III.B.2) Montrer que M est non vide.
III.B.3) Montrer que M ne contient qu'un élément.

III.C - Une caractérisation des points de M
III.C.1) Avec les mêmes notations qu'au III.A.1, montrer que :

F(x) - F(x2) : --t2. '(X1--X2)A(X1-- X2) + t . '(P-- 2AX2)(X1--X2) .
III.C.2) Montrer l'équivalence :

xe M=>Lxe C et Vye C, t(P--2AX)(Y--X)SOJ

Donner l'interprétation de la caractérisation trouvée au moyen du gradient de
F au point x .

III.B - Cas où C est borné

Dans cette question III.B, on suppose de plus que l'ensemble C est borné, con-
tenu dans la boule fermée de centre O et rayon R .

Concours Centrale-Supélec 2000 4/5

MATHÉMATIQUES // Filière PC

III.D.1) Démontrer que M est non vide.

Trouver un exemple avec F non identiquement nulle où M a une infinité d'élé-
ments.

III.D.2) Démontrer qu'il existe un réel oc tel que : Vx & E, MAX" 5 oc|le| .
III.D.3) Soit r un nombre réel strictement positif tel que :

r > sup{6ocR2, 2R(Ilpll + 2ocR)}

(où ce est défini au III.D.2).

On se propose de construire par récurrence des suites (um) , (um) de points de C
et une suite réelle (tm) telles que si U m (resp. Vm ) est le vecteur colonne 
associé
à um (resp. Um ), on a pour tout m & IN :

i) Vx & C, t(2AUm _ P)Vm s "'(2AUm _ P)X ;
ii) tm = }_ t(P--2AUm)(Vm-- Um) ;
iii) um+1 : um + zîm(vm -- um) .
On suppose donné m & IN et um & C.
a) Montrer l'existence de Um & C vérifiant la relation i).
b) Montrer que tm défini par la relation ii) est dans l'intervalle [O, 1] .

c) Montrer que u défini par la relation iii) est dans C .

m+1

Déduire des questions a), b) et c) que pour tout u0 & C , les relations i), ii) 
et iii)
permettent de définir les suites (um) , (um) et (tm) .

III.D.4) Montrer que, si (um) est la suite définie à la question III.D.3), la 
suite
(F(um)) est croissante et convergente.

Montrer qu'il existe une suite extraite de la suite (um) qui converge vers un 
élé-
ment de M .

ooo FIN 000

Concours Centrale-Supé/ec 2000 5/5