Centrale Maths 2 PC 2003

 

On_ ...ËE __ oew3ÛF<îw1%<î ëäË... ËQN omäofiOE - ......ËÈOEQ mÈDË0U Dans ce problème, nous étudions les propriétés de certaines classes de matrices carrées à coefficients réels et certains systèmes linéaires de la forme Ax ; b d'inconnue x EUR IR", A étant une matrice à coefficients réels, b un vecteur de IR" . Cette étude fait l'objet des parties I à IV, et les matrices A considérées ont la particularité d'avoir beaucoup de termes nuls. Au cours de la dernière partie, on montre comment la recherche de solutions approchées d'une équation diffé- rentielle peut conduire à de tels systèmes linéaires. Dépendance entre les questions On peut aborder les parties Il à V sans avoir traité entièrement la partie I. Le préambule de la partie III reprend les résultats de la partie II qui sont nécessaires pour la traiter. Les résultats des premières questions de la partie III servent dans la partie IV. Le début de la partie V peut être abordé directement. Notations du problème Dans tout le problème n désigne un entier supérieur ou égal à 2 et In désigne la matrice unité d'ordre n... Si M est une matrice (carrée ou non), M désigne la matrice transposée de M . On identifie un vecteur x e IR" et la matrice a n lignes et 1 colonne, t , . . \ . t _ et x des1gne alors la matr1ce a 1 11gne et n colonnes: x : [ac1 x2 xn] ; 0 ch est l'élément de ]R" dont tous les coefficients sont nuls sauf le k -ième, égal à 1 ; ° Sn(lR) est l'espace vectoriel des matrices carrées symétriques, à coefficients réels, d'ordre n (c'est-à-dire à n lignes et n colonnes) ; ° On(IR) est le groupe des matrices orthogonales d'ordre n . Partie I - Une famille de matrices symétriques Soient n un entier naturel tel que 7122, et oc un réel strictement positif. On considère dans cette partie les matrices carrées An : (ai, ]) d'ordre n , telles que,pour ISi,an, ai,i : 1 ai,J-=--Ot, silz--fl=l a- . = 0, dans les autres cas. L,] Ainsi, pour n prenant respectivement les valeurs 2, 3 , 4 : 1--oc00 1 1_°°0 loc0 A2: , A3=--Otl--Ot A4_ --oc1 O--oc1--oc 0--ocl 00-oc1 On note Pn(X ) le polynôme caractéristique de la matrice A Pn(X) = det {An--Xln). n . I.A - À propos des éléments propres de An I.A.1) Calculer les polynômes P2(X ) et P3(X ). Déterminer les valeurs pro-- pres et les sous-espaces propres de A2 et de A3 . I.A.2) Montrer que P4(X) : (1 --X) P3(X)--a2PZ(X). I.A.3) De façon plus générale, exprimer Pn +2(X ) en fonction de Pn + ](X ) et de Pn(X) pour tout n 2 2. l.A.4) Démontrer que 1 est valeur propre de An si et seulement si n est impair. LB - On suppose que n est un entier supérieur ou égal à 3 et que x & IR" est un vecteur propre de An associé à la valeur propre 7t. I.B.1) Exprimer 362 en fonction de oc1 . 1.8.2) Exprimer x3 en fonction de xl et x2 . En déduire P 2(7») 2 06 x3= (XII. I.B.3) Donner une relation entre xk _1 , xk et xk +1 lorsque 2 sk S n -- 1 . Avec la convention P1(X ) : l--X , démontrer que, pour tout le tel que 1 _<_k S n -- 1 , Pk(7») xk+l : k 361-- oc I.B.4) Montrer que les sous--espaces propres Ker(An -- Un) de la matrice An sont des droites vectorielles, puis que A,, admet n valeurs propres deux à deux distinctes. Partie II - Matrices définies positives On dit qu' une matrice symétrique A E S n(IR) est dèfime positive lorsque pour tout x & IR" non nul, xAx > 0. On note Sn +(IR) l'ensemble de ces matrices.

Dans les questions qui suivent, A: (a
n+(IR) et k est un entier tel que 1  0 .

II.B - Soit À une valeur propre de A et x un vecteur propre associé.
Calculer txAx et en déduire que À > 0 . Justifier que det (A) > 0 .

II.C - On suppose que 1 5 k < n et on écrit A sous la forme de blocs ? B , OùA'eSk(IR). B All Préciser la taille des blocs A', A", B , "B . Soit u un élément de IR" tel que u j = 0 si j >k . En calculant tuAu en fonction
de A' et de u' : t(u1, uk), montrer que la sous-matrice A' est elle-même

symétrique et définie positive.

A:

II.D - Matrices symétriques à valeurs propres strictement positives

Il. D. 1) Soient M et M2 deux matrices symétriques d'ordre 77... On suppose
qu'il existe une matrice orîhogonale Q EUR 0 n(IR) telle que M 2 _ t1--QM Q.

Montrer que M 1 est définie positive si et seulement si M 2 est elle-même 
définie
positive.

II.D.2) Montrer qu'une matrice diagonale d'ordre n, à coefficients réels, est
définie positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous 
stricte-
ment positifs.

H.D.3) Montrer qu'une matrice M & Sn(lR) est définie positive si et seulement
si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

ILE - Soit A,, la matrice symétrique définie dans la partie I.
Nous allons montrer que, sous certaines conditions, An & SÏ(IR) .

Supposons que x soit un vecteur propre de An associé à la valeur propre % et

désignons par io un indice pour lequel sup 'xL| : 'x,-()' .
1SiSn
II.E.1) Montrer que si i0 : 1 ou io : n alors 11 --M £a (indication : écrire la

ligne 1 ou la ligne n du système Anx : kx ).
II.E.2) Montrer que si 2 £ io S n -- 1 , alors |1--MS 2a.

II.E.3) En déduire que si a < 1/2 , la matrice An est définie positive. Partie III - Décomposition des matrices définies positives Préambule : On cherche à démontrer dans cette partie la propriété @ : . ++ . . . . / Pour toute matrice M e S IR , il existe une unt ue matrice carree L d'ordre n , ÏL triangulaire inférieure et à coefficients diagonaux strictement positifs telle que M=LOE. On pourra utiliser ici les résultats de la partie Il, en particulier le fait que, si M EUR SÏ(IR) , °ses termes diagonaux sont strictement positifs ; °son déterminant est strictement positif ; °les sous--matrices formées des termes d'indices i, j , tels que 1 s i, j 5 k , où le S n , sont elles--mêmes symétriques et définies positives. III.A - Montrer la propriété @ pour n = 2 . En notant M=ab et L=rO, bd st donner les expressions de r, s , t en fonction de a , b , d. III.B - On suppose la propriété @ vraie au rang n -- 1 (avec n 2 3 ), et on consi- dère une matrice M & SÏ(]R) , que l'on écrira en 4 blocs : M1 x M = , t X m où M1 est une matrice carrée d'ordre n -- 1 , m un réel et 36 un vecteur de IR" _ t I ' ° / \ ' t x des1gnant la l1gne transposee de x , a sav01r: x : [xl x2 xn_l]. 1 ' III.B.1) Montrer que M1 est inversible. III.B.2) Soient u > 0 , w & 11%"--1 et L' une matrice triangulaire inférieure,
d'ordre n -- 1 , à coefficients diagonaux strictement positifs telle que M1 = 
L' tL' .
Montrer que la matrice carrée d'ordre n

t

L = {L, O} , où () désigne le vecteur nul de IR"_l ,

w u
vérifie M = L tL si et seulement si :
L'w : x
_ (l)
{u2 : m--tle lx

III.B.3) En admettant que
m --tle_1x >O, (2)
montrer que la propriété @ est vraie au rang n .

III.C - Preuve de (2) et fin de la démonstration
III.C.1)

10 x1

()
x 0 1 () x2
} : : '. () g.,d'ordrenz3.
]]

() 0
y1y2 yn_1 m

xn--l

Calculer det (A) en fonction de m , des xi et des yi.

IH.C.2) Soit M EUR SÏ(]R) une matrice symétrique définie positive que l'on écrit
par blocs :

a) Calculer le produit de deux matrices :

{ln--1 x X{M1 0
ÏLÎXM1_I m [ÏO !

L

10) Montrer, par un calcul de déterminants, que M vérifie la relation ( 2).

III.D - Décrire un algorithme de calcul de la matrice L .

Partie IV - Matrices tridiagonales

IV.A - Soit M : (mL--, ]) une matrice symétrique définie positive d'ordre 77... 
On
suppose que M est de plus tridiagonale, c'est-à-dire qu'elle vérifie mi, j = 0 
si
li -- j| 2 2 .

n--1

IV.A.1) On suppose n23. Soient xe IR ,tel que xi : 0 si lSiSn--2, et
L' = (/23 j) , une matrice d'ordre n -- 1 ,triangulaire inférieure dont les 
termes dia--
gonaux sont non nuls.

Résoudrel 'équation L' w _ x.

IV.A.2) L désigne encore la matrice triangulaire inférieure à coefficients dia-

gonaux strictement positifs, telle que L tL : M .

Démontrer, en raisonnant par récurrence et en utilisant la question III.B.2), 
que
L est tridiagonale.

IV.B - On reprend les notations de la partie I et on suppose oc < 1/2 . On note Ln la matrice triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs telle que An : Lnth. IV.B.1) Calculer L2 et L3 . IV.B.2) On s'intéresse au système linéaire Anx : b où b EUR IR". a) Montrer qu'il possède une unique solution. b) Montrer que la résolution de ce système est équivalente à la résolution suc-- cessive des systèmes L ny_ -- b et tnL x _ --.y 0) Dénombrer avec soin les additions, les soustractions, les multiplications et les divisions que nécessite la résolution successive de ces deux systèmes. Montrer que seules 2(3n -- 2) de ces opérations sont nécessaires pour obtenir x . Partie V - Solutions approchées d'une équation différentielle V.A - Question préliminaire : approximation d'une dérivée seconde On pose .Î : [a. b] . Soit (1) : fa IR une fonction de classe C4 . On rappelle que pour 2 et 9 tels que 2 , 2 + 9 & f , on peut écrire la formule de Taylor avec reste intégral sous la forme : 3 lk>(z @
=<) " On note (4) M4 = sup lq> ...! .

xe[a,b]

V.A.l) Justifier l'existence de M 4 et donner une majoration de la valeur abso-

lue du reste intégral en fonction de 6 et de M 4 . On pourra commencer par le 
cas
où 9 > 0 .

V.A.2) Montrer que si 2 -- 9 , 2 + 9 EUR f,

q)"(z) : ®(Z+9)--2®(22)+®(2"_9)+Rz(e), (3)
6
avec

A4492

le(9). 5

Dans toute la suite du problème, on se donne (0 > 0 , deux réels "0 et a] ,une 
fonc-
. \ , 2
t10n g sur [O, 1] , a valeurs reelles, de classe C .

On s'intéresse au problème suivant :

u"--oe2u : g, sur [0,1]

"(O) : ao (4)
u(1) : a1
V.B -
V.B.l) Donner l'expression générale des solutions de l'équation différentielle
(% : u' '2--(o u -- --0.

V.B.2) On note u0 une solution particulière de l'équation différentielle
(ë?):z/'--afu : g.

Donner l'expression générale des solutions de l'équation (% ). Montrer que le

problème (4) admet une solution et une seule.

V.B.8) Montrer que cette solution est de classe C4.

V.C - On se propose d'approcher la solution du problème (4)

On subdivise l'intervalle [O, 1] en considérant les points

k
tk_n+1,ke{d......n+1y

Pour 1 S le S n , on remplace l'équation :
u" = g

par l'équation approchée :
"(tk+1)"2u(tk)+u(tk_1) 2

92 --0) "(t/g) : g(tk), (5)
dans laquelle :
_ l
9 _ n+ ] '
On note
xl u(t1)
x : = EUR ]Rn.
xn u(tn)

V.C.1) Montrer que l'on peut choisir un réel en > 0 , que l'on exprimera en 
fonc--
tion de 9 et de m, qui permet de réécrire le système formé des n équations (5)
sous la forme Anx : 19 où An est la matrice étudiée dans la partie I et b un 
vec--
teur de IR" que l'on précisera.

V.C.2) Montrer que le système linéaire Anx : b possède une unique solution.

V.C.3) Dans cette question on choisit w = 4, ao : 0, al : 1 et n = 3, et on
considère la fonction g définie par

4

g(t) = Î+_l

Donner les valeurs numériques de oc, A3 , L3 et b .

Donner les expressions approchées de u(1/ 4) , u(2/ 4) , u(3/4) obtenues en 
met--
tant en oeuvre la démarche proposée dans les parties IV et V du problème.

ooo FIN ooo