Centrale Maths 2 PC 2004

 

@@ Ë... __ oe...50Ç<ËEË ë...ä... ËQN oÆmQ:OE - ÆOEËOEQ mÈPËeQ ' \ , . . . 2 . Dans tout le probleme, P des1gne le plan affine euchd1en IR mun1àde> son pro-
duit scalaire canonique, de son repère orthonormé canonique (O ; i, j) de son
orientation canonique et de son repère polaire canonique.

On appellera conique toute partie % (vide ou non) de P ayant une équation de
la forme

{M cos26 ; 6 +--> sin26 ; EUR) +--> cos9 ;6 
l----> sin8 ;
() |----> 1 de IR vers IR forment une famille libre dans l'espace des fonctions 
numé--
riques définies sur IR.

1.2) Soit un cercle quelconque du plan P , que l'on supposera de rayon p > 0 .
Montrer que si le cercle est inclus dans la conique %(A, B, C, D, E, F) , alors 
A = C
et B = 0 . Réciproquement, que peut-on dire d'une conique % satisfaisant aux quatre
conditions:

MOE? E=o
A=C F=0

II.A -

II.A.1) Montrer que le seul élément, noté (gl) , de %1 qui soit un cercle a pour
, . 2 * 2 2
equat10n xO(X + Y )--(x0+y0)X : 0.

Montrer que (gl) est tangent à l'axe Oy et indiquer une construction géomé-
trique de son centre.

II.A.2) Montrer qu'il existe un seul élément, noté (YË2) , de gl qui ait une
équation de la forme BXY + CX : 0 . En indiquer une caractérisation géométri-
que.

II.A.3) Déterminer (%1) n (%2) . En discuter le nombre d'éléments. En
déduire l'ensemble des points communs à tous les éléments de %1 .

II.B - On appelle cp l'application de F dans P qui, au point M de coordonnées
polaires (p, 6) , tel que p :O et que pour tout entier relatif k , 6 == (2k + 
1)n/2,

associe M ' de coordonnées polaires (ptan6,%E -- EUR) .

II.B.1) Montrer que cette définition de cp(M ) est cohérente, c'est-à-dire 
qu'elle
ne dépend pas du choix de (p, 8) parmi les coordonnées polaires possibles du
point M . Montrer que cp(Mo) appartient à toutes les coniques de 51 .En déduire
une construction géométrique de cp(M0) à l'aide d'un cercle et d'une droite.

II.B.2) Pour MEP' , quand a-t-on cp(M) E P' ? Que dire alors de cp o cp(M) ?
II.B.3) On appelle y la courbe d'équation polaire

6EUR]--%;%[ i-->p : 2asin6,0ùa>0 estdonné.

Reconnaître y ; déterminer une représentation polaire de la courbe y' : cp(y) ;
étudier et tracer cette courbe, avec justifications.

II.C - Dans cette question, MO(xO, yo) est un point de P' tel que le] := | y0' 
et on lui
associe M6 : cp(M0) comme ci-dessus.

II.C.D

a) Montrer que, quel que soit le couple &, M de réels non tous nuls, il existe 
un

unique réel \! , que l'on calculera, tel que la conique (%...,) d'équation
X(X2+Y2)+2uXY+VX : 0 appartienne à %1 .

b) Lorsque IM == |M| , montrer que ('ÎËN l,) a un centre Qk, " dont on 
déterminera
les coordonnées. [Pour ce faire, il est possible d'effectuer une translation 
arbi-
traire de l'origine du repère puis de faire en sorte que la nouvelle origine 
devienne
centre de symétrie de la conique (%À, M) .]

II.C.2) Le point Mo restant fixé, montrer que tous les points Q,, u (où IM : 
|... )
appartiennent àla conique I' d'équation
2 2

x +
X2--Y2-- () yo
2x0

X+yOY : 0.

En déterminer le genre, le centre, les sommets et les axes.

II.C.3) Déterminer les intersections de F avec les droites Ox, Oy , OMG, OMÔ
et MOMÔ . On trouvera en général six points en tout, pour lesquels le centre de
F joue un rôle particulier que l'on mettra en évidence.

II.C.4) Faire une figure d'ensemble.

II.C.5) Étudier et représenter (fil, 1) et (%1,_1) . On réalisera la figure en 
pre--
nant. x0 = 2 , yo : 1 . Que remarque-t-on quant à leurs axes ?

On identifiera pour la suite du problème les espaces vectoriels euclidiens

. 2 . .
canoniques IR et C . On dés1gnera par t le complexe de module 1 et d'argument 
Tt/ 2 .

Partie III -

On admet que le déterminant de Vandermonde

1 2 3
23 23 23
2 3

en les complexes 21 , 22, 23 , 24 est nul si, et seulement si, deux au moins 
des Zi
sont égaux.

Dans cette partie et la suivante, on étudie un problème analogue à celui de la 
pre-
mière, mais par une méthode sensiblement différente.

III.A - On s'intéresse à l'ensemble %2 des parties de IR2 ayant une équation de
la forme Aäz + B(z2 + 22) + Üz + Câ + D = 0 où les réels A , B , D et le 
complexe C
ne sont pas tous les quatre nuls, et qui contiennent trois points M1 , M 2 , M 
3 non
alignés donnés, d'affixes respectifs 21 , 22 , 23 .

III.A.1) Vérifier que les éléments %2 sont bien des coniques et donner une pro-
priété commune de leurs axes.

III.A.2) Pour 24 donné dans C , on définit les matrices

22 Z Z Z Z
__ 22 2 2 2 2 _ _
%-- et %_ 22 221

_ 23 23 1
2424 z4+z4 24 24 1

a) Établir que la matrice % est inversible. Quelle conclusion peut--on en tirer
quant au rang de % ?

b) On définit le IR --espace vectoriel E : IR x IR x @ x IR . En donner la 
dimension.
Montrer que

S = {(A,B,C,D)EE,Vie{1,2,3},AZ,z,+B(zÏ+z--iz)+cîi+ôzi+o:o}

est un sous-espace vectoriel de E et en donner la dimension.

c) Montrer que le point M 4 d'affixe 24 appartient à toutes les coniques 
éléments
de gg si, et seulement si, le rang de % est égal à 3 . [Pour la condition néces-
saire, on pourra faire intervenir un système linéaire bien choisi.]

III.B - On suppose dans cette question que les complexes 21 , 22 , z3 sont égaux
respectivement à aexp(i91), aexp(i92) et aexp(i83) , où a > 0 et 61, 92 , 63 
sont des
réels.

III.B.1) Montrer qu'il existe un unique cercle dans %2 et que si le point M 4
d'affixe z4 appartient à toutes les coniques éléments de êâ2, alors 24 est de la
forme aexp(i64) .

III.B.2) Soit le déterminant

2 4 4 3

22 24 + a4 23 2
g = 2 2 2 2
2 4 4 3
23 23 + a 23 23
2 4 4 3
24 24 + a 24 24
Montrer que @ est de la forme (21222324 --a4) % , où % s'exprime très sim-
plement à l'aide de V(21a22»23»24) .
III.B.3) Montrer que la condition énoncée en III.A.2-c) est équivalente àla nul-
lité de @ .

III.B.4)

a) En déduire l'ensemble des points communs aux coniques de %2_ Discuter
soigneusement le nombre d'éléments de cet ensemble.

b) Lorsque ce nombre est égal à 4 , que peut-on dire des directions des 
biseectri-
ces du couple de droites (M 1M2, M 3 M 4) ?

III.C -

III.C.1) Généraliser les résultats de III.B.4 au cas où l'on ne fait plus 
l'hypo--
thèse III.B. [On montrera comment on peut se ramener à ce cas.]

III.C.2) Soit trois points A , B , C non alignés dans P et (A) une droite. Par 
A ,
resp - B , resp - C , on mène la parallèle à la symétrique de la droite BC , 
resp - CA ,
resp - AB , par rapport à (A) . Montrer que ces trois droites concourent. [On
pourra commencer par le cas où (A) est l'axe Ox ; dans ce cas, il suffit 
d'utiliser
les résultats de la partie III.]

Partie IV -

On considère dans cette partie des équations de la forme
Âz2+Az_2+Ëz+Bä--+C :O (1)
où A := 0 et B sont deux complexes et C un réel.

IV.A-

IV.A.1) Soit 8 un réel et (I) l'application de C dans C qui à z associe z 
exp(i6).
Montrer que, si ( F) C P a une équation de la forme (1), alors on peut choisir 6
pour que CD(F) ait une équation de la forme

A'

?
où l'on ait de plus A' E IR+* .

(22+z--2)+Ë--'2+B'2_+C'= 0

IV.A.2) En déduire la nature d'une telle partie (F) de P. [On pourra revenir en
coordonnées cartésiennes.]

IV.B - Soit trois points M1 , M 2, M 3 non alignés donnés, d'affixes respectifs 
21 ,
22, 23 . On appelle CCË3 l'ensemble des coniques de P contenant ces trois points
et ayant une équation de la forme (1). Soit M 4 un point de P , d'affixe z4 . 
Mon-
trer que toutes les coniques de êÛ3 passent par M 4 si, et seulement si, le rang
de la matrice

est égal à une valeur que l'on précisera.
IV.C - Dans cette question, on suppose que de plus 21 , 22 et 23 sont de même
module a > 0 et ont a3 pour produit.

IV.C.1) Déterminer deux complexes u et v tels que 21 , 22 et 23 soient solu--
tions de Z3 --uZ2 + vZ--a3 : O.

IV.C.2) En déduire des complexes (1, a' , [3 , |3' tels que 21 , 22 et 23 
soient solu-
tions de

H,(Z) : Z2+aZ+B--aË : o
H2(Z) : Z+a'+B'Ë--âZ2 : o

IV.C.3) Grâce à des combinaisons linéaires bien choisies sur les rangées de
%' , montrer que toutes coniques de êâ3 passent par M 4 si, et seulement si,

H1(24) : H2(Z4) : 0 (2)

IV.C.4)

&) Montrer qu'il existe un polynôme m(Z ) à coefficients complexes, de degré 4,
tel que (2) implique m(z4)_ -- 0 ,on donnera d'un tel polynôme les coefficients 
en
Z4 et en Z3 ,en fonction de a, u et 0.

b) Déterminer les zéros de ur en en discutant la multiplicité. [On remarquera
que trois zéros de m sont déjà connus.] On ne demande pas de vérifier qu'inver--
sement tous les complexes obtenus vérifient (2).

IV.C.5) On choisit z4' : 21 +22 + 23 .

a) Détermmer la valeur du produit scala1re (M1M4, M 2M 3) . [On pourra zntro-
duit le produit (24 --zl)(z3 --z2) .]

b) Que représente M 4 pour le triangle M1M2M3 '?

IV.D - Généraliser les résultats de IV.C.5-b) au cas où l'on ne fait plus 
l'hypo-
thèse du NC.

000 FIN ooo