Centrale Maths 2 PC 2005

 

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Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit A une matrice carrée
d'ordre n, dont les coefficients sont des entiers naturels. On note ai] le 
coeffi-
cient de A appartenant àla i -ème ligne et àla j -ème colonne de A.

On suppose que A est symétrique et que les coefficients de la diagonale princi-
pale de A sont égaux à 1 .

On désigne par M la matrice réelle, carrée, d'ordre n, de coefficient mij , 
définie
par :

--cos(--£) si a--==O

.. U
mij : al]

--1 Si aij : 0

On remarque que M est symétrique et que les coefficients de sa diagonale prin-
cipale valent 1 .

Soit E un espace vectoriel réel de dimension n et % = (e k)1 5 k 5 n une base 
don-
née de E.

Pour chaque entier i compris entre 1 et n , on désigne par ci l'endomorphisme
de E caractérisé par :

VjE{l,2, ...,n}, (il--(ej) : ej--2mijei.

On note 17 l'endomorphisme de E donné par :
17 = 01002... 00".
où 0 désigne la composition des applications.

On désigne par S et T les matrices associées aux endomorphismes o et 1: dans
la base % et par I la matrice unité d'ordre n associé à l'identité (notée Id).

Partie I - Étude du cas n = 2

Dans cette partie I, on suppose n = 2 et on pose :
a =a12=a21etm =m12=m21.

I.A -
I.A.1) Expliciter M en fonction de m puis en fonction de a .
I.A.2) Donner en fonction de m les matrices S1 , S2 et T.

I.B - On suppose dans cette question I.B que a E {0,1} et donc que lml : 1 .
I.B.1) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de 1:
I.B.2) La matrice T est--elle diagonalisable ? (Justifier la réponse).
I.B.3) Diagonaliser ou trigonaliser, si possible, la matrice T.

I.B.4) Montrer que 15 est d'ordre infini (c'est à dire qu'il n'existe pas 
d'entier
naturel strictement positif k tel que "tk : Id , où 1:k : 'c 017 o ...1: 
désigne la puis-
sance k -ième de 1: pour la loi de composition).

LC - On suppose dans cette question I.C, que a est supérieur ou égal à 2 , et
donc que Iml < 1 . On définit la forme bilinéaire «:> sur E x E par :

» E IR , on a :

det(M _ T) : det((À +... + xc + tC) .

II.B - Soient i, j vérifiant : 1 sis n , 1 5 j 5 n , i=e j ; on note Eij le 
sous-espace
vectoriel de E engendré par e,- et e

II.B.1)
a) Montrer que dim Eij : 2.

je

b) Montrer que Eij est stable par ci , 0j , °i ooj et oj col--.

On note nij et nji les restrictions de o,- ooj et oj 00,-- à Eij .

c) Donner les matrices Hij et Hji associées à or,--]-- et nJ-i relativement àla 
base
(ei, ej) de Eij .

(1) Vérifier que II,-]- et H J.,- sont inverses l'une de l'autre. Pouvait--on 
prévoir ce
résultat ?

II.B.2)

a) Montrer que, si pour tous i et j on a aijE{0,l} , alors :mij et TEJ-i sont 
d'ordre
infini.

b) Quels sont les ordres de nij et nji lorsque aij z 2 ?

II.C - On suppose dans cette section que :
i) n a 3
il) aij : 2 pour l<|i--jl», B, , [32 et (33.

c) Montrer que

2 1
0tn--l : n_ElsisnBi +(--l)n+ fi1°"Bn

(on pourra utiliser la question II.A.4 et démontrer la relation par récurrence 
sur
n ). '

11.0.3)

a) Montrer que, s'il existe une base de E dans laquelle toutes les matrices des
ok ont tous leurs coefficients entiers, alors la trace de 1: est un entier.

b) Montrer que si p est impair ou q est impair, alors la trace de 17 est 
irration-
nelle.

c) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle les matrices de tous les ok
ont tous leurs coefficients entiers si et seulement si p et q sont pairs.

Partie III - Un exemple dans le cas de n = 3

On suppose dans cette partie que n = 3 et que :
1 3 2
A = 3 1 4 -
2 4 1

KIA - Peut-on trouver une base de E dans laquelle les matrices de 01 , 02 et 03
ont tous leurs coefficients entiers ?

III.B -- On définit la forme bilinéaire (I) sur E x E par :
3

3 3 3
(-E xiei, 2 yJ-ej) : 2 2 mijxiyj

: = 1 ] = 1 i = l] = 1
pour tous ac1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 réels.
III.B.1) Vérifier que (I) est un produit scalaire.

On considérera donc E comme un espace vectoriel euclidien muni de ce produit
scalaire.

III.B.2) Donner une équation cartésienne de l'orthogonal, pour (l) , du vecteur
ae1 + be2 + ce3 en fonction de a , b , c .

III.C -

III.C.l) Pour iE{1,2, 3}, déterminer les sous-espaces Fi : Ker (oi--Id) et
Gi : Ker(oi+ld).

III.C.2) En déduire que les "i , i6{1,2, 3}, sont des symétries orthogonales par
rapport à des plans (ou réflexions) de E.

III.D - Montrer que les cri o oj , pour 1 si , j 5 3 , sont des rotations et 
les carac--
tériser.

III.E -

III.E.1) Que peut-on dire de 1: = 01 o 02 o 03 ?

III.E.2) Déterminer la matrice T.

Déterminer un vecteur non nul u de norme 1 tel que t(u) : ----u , puis une base
directe de E , de premier vecteur u , orthonormale pour (1) , @ = (u, v, w) .

III.E.8) Montrer que 1: est la composée d'une rotation d'axe IRu , dont on pré--
cisera l'angle et de la symétrie orthogonale par rapport au plan (IRu)l .

Dgnner l'ordre de la matrice T, c'est--à-dire le plus petit entier k > 0 tel que
T = I .

00. FIN ooo