Centrale Maths 2 PC 2006

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Dans ce problème, les figures ou les commentaires, même non demandés, qui
éclaireraient les situations ou les hypothèses rencontrées seront les bienvenus.

Dans tout le problème, gn désigne par @ un plan affine euclidien rapporté à un
repère orthonormé (0; i, j ) , par (C) le cercle centré en O et de rayon donné 
R ,

R > 0 , et par Al , A2 et A3 les points de coordonnées respectives (R, O) , (O, 
R) et
(--R, O) .

Partie I - Un exemple pratique
Dans cette partie, on désigne par (E) la courbe d'équation 4x2 + Sy2 -- 4Ry : 0 
.

I.A - Montrer que (E) est une ellipse. En déterminer deux axes de symétrie et
un centre de symétrie.

I.B - Étudier le signe de l'expression (4x2 + Sy2 -- 4Ry) -- 4(x2 + y2 -- R2) 
pour
(x, y) E ]R2 . En déduire les positions relatives de (E) et (C) .

I.C -

1.0.1) Soit (% ) l'ellipse de représentation paramétrique

(x : acos9, y : bsin9) , où a et b sont deux réels non nuls et où le paramètre 6
décrit IR. Montrer que la. droite (D) d'équation y : mx +m' rencontre (% ) en
un point unique si et seulement si il existe x E IR tel que

x mx+m'
_2+( 2 ) :]
a la

x mx+m'
--2+m 2 =()
a b

En déduire que, dans ce cas, (D) est tangente à (% ) .

I.C.2) En se ramenant àla question précédente, montrer que, si dans @ une

droite coupe une ellipse en un seul point, elle lui est tangente. Est-ce encore 
le
cas pour une parabole ? Pour une hyperbole ?

I.C.3) Montrer que les droites d'équation x + y = R et --x + y = R sont tan-

gentes à (E) en des points que l'on précisera. Tracer soigneusement (C) et (E) ,
ainsi que ces deux droites.

I.D - On considère l'arc paramétré défini par :

------> 1--t2--.--> 2t --.>
OM(t)= 2 i+ 2] ,avectElR.
l+t 1+t

Montrer que l'on définit ainsi une bijection de IR sur une partie (y) de (C) que
l'on précisera. Si t est réel, on dira que t est le paramètre du point M (t) .

LE - Soit t et u deux réels. Montrer que (1 -- p)x + sy --R(1 + p) = O est une 
équa-
tion dela droite (M(t)M(u)) , si l'on a posé s : t+ u et p = tu.

Si t = u , la notation (M (t)M (u)) désignera cette fois la tangente en M (t) à 
(y).
On admettra sans le vérifier que l'équation trouvée convient encore dans ce cas.

LF -'

I. F. 1) Soit M un point de (y) , de paramètre t. Montrer que, sauf dans un cas
particulier a préciser, son symétrique orthogonal M par rapport à (0; j -->) 
est un
point de (y) , en exprimer le paramètre, notét

Si A0 désigne le point de coordonnées (R, 212) , montrer que, lorsque t# 1 , la
droite (ADM ) recoupe (y) au point de paramètre --1----t (on pourra utiliser les
résultats de LE).

I.F.2)

Dans le cas particulier où tv: 1 et u= ,on pose toujours 8 _ t--+ u et p-- _ tu.

l--t
Montrer que la droite (M(t)M(u)) est tangenteà (E) (on pourra exprimer
(p + 1)s en fonction de p seulement et utiliser les resultats de I. C. 2. ).

LFB) En utilisant les questions qui précèdent, montrer que, si un point A de
(C) est distinct des points A1 , A2 et A3 définis dans le préambule, alors une
construction géométrique simple, que l'on détaillera, permet de construire deux
autres points A' et A" de (C) tels que les côtés du triangle AA'A" soient tan-
gents à (E) . Étudier le cas des points A,- pour i E {l, 2, 3} .

LG - Récapituler les résultats de cette partie à l'aide d'une figure.

Partie II - Correspondances algébriques

Soit P une application de IR2 dans IR de la forme

(x, y) l--> P(x, y) : ul, 1x2 + 2u1'2xy + u2'2y2 + v]x + v2y + w
où les coefficients ui, ]- , ,
On lui aSsocie la relation % définie sur (y) x (y) par

M(t)ÆM...) @ P(s, p) = 0

v,- et w sont des réels.

où l'on a posé 3 : t+ u et p = tu . On dira que % est une 2-correspondance si
ul ] , ul 2 et u2 2 ne sont pas tous les trois nuls, et une 1-correspondance si
"1,1 : u1',2 : u2,2 : O,ma1s v1 et v2 non tous nuls.

II.A - Exemple de 1- correspondance

Soit A un point donné de @, différent de A3. Montrer que la relation sur
(y)x(y) définie par M(t)ÆM(u)©AE(M(t)M(u)) est une l-correspondance.
Donner un exemple simple de 1- correspondance qui ne soit pas de cette forme.

II.B - Exemple de 2- correspondance
Soit (F) le cercle de centre Q de coordonnées (or, 0) et de rayon r, r > 0 
donnés.

II.B.1) Si (D) est la droite d'équation ax + by : c, avec (a, b) :: (0,0), 
donner
une expression du carré de la distance de 9 à (D) , noté d2(Q, D) .

II.B.2) En déduire que, si t et u sont des réels, la droite (M(t)M(u)) est tan-
gente à (F) si et seulement si

22

((R +d)2--r2)p2--r s +2(R2+r2

--oz2)p+(R----or)2----r2 : 0

puis que cela définit ici une 2- correspondance.

II.C - Si % est une 1- correspondance, montrer que l'ensemble des tE IR tels
que" M (t)% M (t) est fini (ou vide). Montrer que cette propriété tombe en 
défaut
pour une 2-- correspondance et une seule.

Pour fournir certains des exemples demandés dans la partie qui suit,
les candidats pourront mettre à profit l'exemple II.B en choisissant de
façon adéquate le cercle (F) .

Partie III - L'alternative de Poncelet

Le but de cette partie est l'étude de l'existence, étant donné une 2- cor-
respondance % vérifiant quelques propriétés supplémentaires, de
paramètres réels (distincts ou non) 1t1 , t2, t3 et ::4 fermant un 4-cycle
pour 9? , c'est-à-dire tels que M(zt,-)9YM(t,+ ]) pour 1 sis 3 et
M(t,,)%M(t,).

III.A - Comment interpréter géométriquement un 4- cycle dans le cas où % est
la 2-- correspondance définie à la question II.B.2 ? Montrer par un choix de (F)
qu'il peut y avoir une infinité de solutions, et qu'il peut n'y avoir aucune 
solution.

III.B '-
Pour tE IR , on pose

t
t
1

V(t) :

III.B.1) --t etu étant réels, à quelle condition la famille {V(t), V(u)} 
est-elle liée
dans 133 ?

III.B.2) Soit P , Q, R E IR2[X] ; on pose :
P(t) 3
W(t) : Q(t) EUR IR
R(t)

Montrer qu'il existe % E% 3(1R) unique telle que W(t) : MV(t) pour tout
réel t.

III.B.3) Caractériser à l'aide de % la liberté de la famille {P,Q,R} dans
l'espace vectoriel IR[X ]. En déduire que si {P, Q, R} est libre, alors la 
famille
{W(t), W(u)} est libre si et seulement si t: u .

III.BA)

a) On suppose, jusqu'à la fin de ce III.B, que {P, Q, R} est de rang 2.

Montrer que % admet 0 comme valeur propre et en déduire qu'il existe trois
réels a , b , 0 tels que

2 2
at u
{W(t),W(u)} liée © 19 t u = O.

011

b) Montrer que ce déterminant est égal à (t--u)(a--bs+cp), avec 3 = t+ u et
p = tu.

Établir alors le résultat suivant, vrai sauf pour des valeurs particulières de
(a, b, c) que l'on mettra en évidence :

Il existe une 1- correspondance @@ telle que, chaque fois que les réels t
et u vérifient M(t)9YOM(u) , la famille {W(t), W(u)} est liée.

III.C - On considère une 2-- correspondance de la forme
4M(t)ÆM(u) @ P(s,p) : Ap2+ 23p8 + C32+ 2Dp + 2Es +F : 0

où A , B et C sont des réels non tous nuls, D , E et F des réels, et où p et s
désignent encore tu et t+ u .

III.C.1) Écrire P(s, p) sous la forme Pl(t)u2 + 2P2(t)u +P3(t), où Pl , P2 et P3
sont dans ]R2[X ].

Exemple 1. Lorsque P(s, p) = 32 -- 4 p , déterminer P 1 , P2 et P3 ainsi que le 
rang
de la famille {P1, P2, P3}.

Exemple 2. On considère, pour ce seul exemple, deux réels ou et [5 strictement
positifs tels que o2 + {52 = R2 et on pose P(s, p) : a2(1 --p)2 + {5232 -- R2(1 
+ p)2 = 0 .
Montrer que {P1, P2, P3} vérifie les hypothèses du III.B.4-a) puis déterminer la
1- correspondance définie comme dans le III.B.4-b).

III.C.2)

Montrer que si, pour u2 EUR IR, l'équation en u : P1(u2)u2 + 2P2(u2)u +P3(u2) : 
0
possède deux solutions réelles (distinctes ou non) ul et u3 , alors on a
M(ul)%M(u2) et M(u2)%M(u3) .

III.C.3)

a) On pose A(t) = Pâ(t) --Pl(t)P3(t).

Montrer, par un exemple, qu'il est possible que Vt EUR IR, A(t) < 0 , ou que A(t) < 0 sauf en un point. Que penser dans chacun de ces cas de l'existence de 4- cycles ? On suppose maintenant qu'il existe tOEIR, supposé choisi, tel que A(t0) > 0 . On suppose en outre que P1(to) : 0 (ce qui, en fait, ne restreint
nullement la généralité recherchée).

b) Montrer qu'il existe alors un intervalle ouvert non vide {fo en tout point
duquel A(t) >0 et Pl(t) :=0.

c) En conclure que si la famille {P1, P2, P3} est libre, il n'existe aucun 4-- 
cycle
formé de paramètres distincts.

d) Si la famille {Pv P2, P3} est de rang 2, montrer qu'il existe une 1- corres-
pondance 9Y0 telle que, chaque fois que l'on a L'l Efi, et M (t1)<% 0M(t2), il existe u] et u2 tels que af:1 , u1 , t2 , u2 soit un 4- cycle. Peut-on alors faire en sorte que ces quatre paramètres soient distincts ? III.C.4) a) Dans le cas de l'exemple de II_.B, montrer que l'hypothèse du III.B.4-a) quant au rang de {P, Q, R} équivaut à (R2 _ oc2)((R2 _ a2)2 _ 2r2(R2 + a2)) = 0 . b) Que signifie la condition R2--a2 : 0 ? Indiquer une construction géométri- que de 4-- cycles dans le cas où elle est vérifiée. Prouver géométriquement que cette construction convient. ooo FIN ooo