Centrale Maths 2 PC 2007

Concours Centrale - Supélec 2007

Épreuve :

MATHÉMATIQUES II

Filière

PC

MA THÉMA TIQUES II Filière PC

MATHÉMATIQUES ||

Préliminaires et notations :
0 Soit n EUR IN* . K désigne l'un des corps IR ou EUR.
0 K [X ] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K .

° L'espace IR" sera si nécessaire muni de son produit scalaire canonique, et
rapporté à la base canonique qui est orthonormale.

Partie I -

On rappelle que E = K "" est un espace vectoriel sur K de dimension n pour les
lois usuelles. On munit de plus E d'une multiplication notée >< et définie par : Pour tout x : (x1,...,xn) et y : (y1, ...,yn) dans E, x xy =(x1--y1,...,xn-yn). I.A - Soit x : (x1,...,xn) fixé dans E. Pour PEK[X] , on notera : P(x) : (P(xl), ...,P(xn)). I.A.1) Vérifier que (I) : P H P(x) est une application linéaire de K [X ] vers E , telle que (P -- Q) : CD(P) >< CD(Q) pour tout P, Q EK[X]. I.A.2) Montrer que Ax : {P(x), P E K [X ]} est un sous-espace vectoriel de E . Montrer que Ax est stable pour >< , c'est-à-dire que, si y, 2 EUR Ax alors y >< 2 EUR Ax . I.A.3) On suppose ici xi ==xj pour tout i,j EUR [[ 1, n]] tels que i:j. On note K "_ 1[X ] l'ensemble des polynômes de K [X ] dont le degré est inférieur ou égal à n -- 1 . Montrer que la restriction de (I) à K "_ 1[X ] est injective. Montrer que Ax est de dimension n . LB - Soit y : (y1, yn) donné dans E, ainsi que PEK[X] fixé de degré 2 1. On s'intéresse à l'ensemble noté Ry,P : Ry,P : {x E E/P(x) : y} . I.B.1) Montrer que si K = (D , Ry, P n'est jamais vide. I.B.2) Montrer que si K : IR, R % P peut être vide : donner un exemple. I.B.8) On suppose K = EUR, et P(X) : Xp avec p EUR IN*. Déterminer le cardinal de R...... noté Card(Ryap), en fonction de p et de my : Card({iEUR[[l,n]]/yi;æ0}). Concours Centrale-Supé/ec 2007 1/6 MA THÉMA TIQUES II Filière PC Filière PC I.B.4) D'une façon générale, donner un majorant de Card(Ry, P) en fonction de n et du degré de P. I.C - Pour F partie non vide de E , et P E K [X ] fixé de degré 2 1 , on s'intéresse à l'ensemble noté Rr,P : {x E E/P(x) E F} . 1.0.1) Exemple 1 : On prend K : IR, n = 2, P(X) : X2. Déterminer et des- siner F et RF. P , dans chacun des cas suivants : 1) I' : {(x,y) EUR IRZ/2x+y : l} , ii) r = {(...) EUR lR2/x--y = 1}, iii) r = {(x,y) EUR lR2/x2--y2 = 1} . 1.0.2) Exemple 2 : On prend K = ]R, n = 3 , P(X) : X2. Déterminer et don- ner la nature géométrique de F et RP, P , dans chacun des deux cas suivants : 1) F : {(x,y,z)ElR3/x+y--z =1}, ii) F : {(x,y,z)EURlR3/x--y =1}. I.C.8) Exemple 3 : On prend K : IR, n = 2 , P(X) : X3--X et soit: I' : {(x,y) EUR IRZ/x--y : O} . Déterminer et dessiner F et RP, P. I.D - Pour cette question, on pourra utiliser sur E la norme infinie définie par : si x : (x1,...,xn) est dans E, llxllOO : max lx,--| . lszsn I.D.1) On suppose que F est de cardinal fini. Donner un majorant de Card(Rn P) en fonction de Card (F) , de n et du degré de P. I.D.2) Si F est borné, montrer que RP, P est borné. Lorsque K : IR , donner un exemple pour lequel F est non borné et RP, P est borné. Lorsque K = (13, si RP, P est borné, montrer que F est borné. Partie II - Soit V un espace vectoriel sur K de dimension finie N 2 1 et ..?(V) l'espace vec- toriel sur K des endomorphismes de V, qui est aussi muni de la loi de composi-- tion 0 . On note idV l'application identité de V dans V. Concours Centrale-Supélec 2007 2/6 MA THÉMA TIQUES II Filière PC II.A-Soit nEIN*, nsN. On considère n projecteurs non nuls pl, p2, pn de fiV) tels que : ÏL 2 pk =idV,et piopJ- : 0 pourtout i,jEUR[[1,n]] tels que i:j. k = 1 n On pose % = { 2 xkpk/(xl, ...,xn)EKn}. k=1 II.A.1) Montrer que % est un K -espace vectoriel de dimension n, stable pour 0 . II.A.2) Montrer que l'application 'Il de E vers % , définie par : n 'P : (x1,...,xn)H 2 xkpk k=1 est un isomorphisme tel que, pour tout x, y E E, 'P(x >< y) : 'P(x) o 'P(y) . II.A.8) Montrer que, pour tout x E E et P E K[X] , OE(P(x)) : P('P(x)) . n II.B - Soit fEM, avec f = 2 Àkpk, où (7... ...,)»,JEK". k=1 On suppose x, := ?»]. pour tout i,j EUR [[ 1, n]] tels que i:j. ÏL II.B.1) Soit 536% avecg : 2 Mkpk,et PEK[X]. k =1 Montrer que g : P(f) si et seulement si P(kk) : ..., pour tout le E [[ 1, n]] . II.B.2) Montrer que pour tout j EUR [[ 1, n]] , il existe P]. E K[X] tel que Pj : Pj(f) - II.B.3) Montrer que f est diagonalisable, et préciser ses valeurs propres. II.C - Soit ;" EfiV) supposé diagonalisable. On note xl, xn ses valeurs pro- pres distinctes et on pose ?» = (>... xn) .

Pour P @ K[X] donné, on note Rf,P = {g efiV)/f = P(g)} .

II.C.1) Donner n projecteurs non nuls pl, p2, pn tels que

ÏL ÏL

2 pk=idV,piopj : 0 pourtout i,jE[[l,n]] telsquezëj,etf : 2 Àkpk.
k=l k=l

On dispose ainsi de l'application 'P définie en II.A.

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II.C.2) Soit g E Rf7P.

Montrer que fog : gof.

Montrer que chaque sous-espace V ]-- : ker(f -- kjidv) est stable par g, pour 
tout
j Ell1,nll -

On suppose que g est diagonalisable. Montrer qu'il existe une base de vecteurs
propres pour f et propres pour g .

II.C.3) Montrer que 'P(Rh P) C Rf. P et que, si toutes les valeurs propres de ;"
sont simples, on a l'égalité 'P(Rh P) : Rf. P.

On suppose que K = (D et que P(X ) : Xr avec rE IN* . Déterminer le cardinal
de R P P lorsque toutes les valeurs propres de ;" sont simples.

II.C.4) On suppose que K = C et que P(X) : X'" avec rE IN et r 2 2.
Lorsque N 2 2 , montrer que Ridv, P est de cardinal infini.

Montrer que R P P est de cardinal infini si et seulement si ;" admet au moins 
une
valeur propre multiple.

II.C.5) On suppose que K = C et que P(X) : X'" avec rE IN*.

Si l'on suppose que les complexes ?... Àn sont tous non nuls, montrer que si
g E R P P , alors g est diagonalisable.

Si l'on suppose que M = 0 et que g E R f) P, montrer que g est diagonalisable si
et seulement si f et g ont le même rang.

II.D - Exemple 4: On prend K : IR, et ;" Efi]R') de matrice dans la base
canonique :

--1
F:

y_ay_ay_a

l
l 1
l 1
Déterminer, par leur matrice G dans la base canonique, toutes les applications
gEfilR'), telles que g2 = f.

Partie III -

Dans cette partie on considère un espace vectoriel euclidien V de dimension
N 2 1 , muni d'un produit scalaire noté (....) , la norme euclidienne associée 
étant
notée ||.ll .

On note O(V) le groupe (pour la loi 0 ) des automorphismes orthogonaux de V.
On note de plus S (V) l'ensemble des endomorphismes symétriques de V.

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Soit r E ]N* donné. Pour fEfiV) , on s'intéresse à R,.(f) : {g EfiV)/f : gr}
et aux sous--ensembles S(V) fi R,.(f) ou O(V) n R,.(f).

III.A -
III.A.1) Montrer que si S(V) fi Rr(f) est non vide alors ;" EUR S(V) .

III.A.2) On suppose ici que r est pair et f E S(V) . Montrer que S(V) fi Rr(f) 
est
non vide si et seulement si toutes les valeurs propres de ;" sont dans IR+ .

III.A.3) On suppose ici que r est impair et f E S(V) . Montrer que S(V) fi Rr(f)
est non vide et est réduit à un seul élément.

III.A.4) Exemple 5 :

SoitA={1 1}.
ll

Déterminer toutes les matrices B E% 2(1R) telles que B2 = A .

Déterminer toutes les matrices B E% 2(1R) symétriques telles que B3 = A .

III.B -
III.B.1) Montrer que si O(V) fi R,.(f) est non vide, alors ;" EUR O(V).

III.B.2) Soit g E O(V). Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de V sta-
ble par g , il en est de même de son orthogonal Fl .

III.B.3) On suppose ici N = 2 et V orienté, et on suppose que f est la rotation
d'angle de mesure 6 , avec 6 EUR IR. Déterminer O(V) n R,.( f).

III.B.4) Exemple 6 :

Soit A = {O _1}.
10

Déterminer toutes les matrices B E%2(C) telles que B2 = A .

Déterminer toutes les matrices B E% 2(1R) orthogonales telles que B2 = A .
III.C - Soit F un sous-espace vectoriel de V de dimension m , et f la symétrie
orthogonale par rapport à F.

III.C.1) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur r et m pour
que R,( ;" ) soit non vide, et exhiber dans ce cas un élément g E O(V) n R,.( 
f) .

III.C.2) Étudier S(V) n R,.(f).

III.B - On suppose ici que N = 3 , et on considère l'espace euclidien V : IR3
orienté, muni de son produit scalaire canonique, la base canonique étant ortho--
normale directe.

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Soir r E ]N*, et soit f la rotation d'angle de mesure 9, avec 8 EUR ]R\2nZ, 
d'axe
D : 1Ru,où Hull : 1 ;f#idV.

III.D.1) Déterminer O(V) fi R,...(f).

III.D.2) Déterminer O(V) fi Rr(--f).

III.D.3) Exemple 7 :

Déterminer, par leur matrice dans la base canonique, toutes les rotations g de
V, telles que g3 soit la rotation d'axe dirigé par u : --Ë(O, 1, 1) et d'angle 
de

TC
mesure 5 .

ooo FIN 000

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