Centrale Maths 2 PC 2009

- version du 17 mars 2009 9h38

MATHÉMATIQUES II

x  K n , f M (x) = Mx.
L'image de f M , (Im f M ) sera notée Im(M) et le noyau de f M , (Ker f M ) 
sera noté
Ker(M).
Pour toute matrice M de Mn (K), on note (M) le spectre de M, c'est-à-dire
l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On note (M) le rayon spectral
de M, c'est-à-dire le plus grand module des valeurs propres de M.
On dira qu'une suite de K n (respectivement de Mn (K)) converge, ou est 
convergente, si elle converge pour une norme particulière de K n 
(respectivement de
Mn (K)). On sait qu'elle converge alors pour toute norme de K n (respectivement 
de Mn (K)) puisque ces espaces sont de dimension finie.
L'espace vectoriel R n est muni de son produit scalaire canonique, noté h , i. 
La
norme euclidienne associée est notée || ||.
Un endomorphisme symétrique f de R n est dit positif si, pour tout x de R n ,
h f (x), xi > 0.
Un endomorphisme symétrique est dit défini positif si, pour tout x de R n , x
non nul, h f (x), xi > 0.
On dit de même qu'une matrice symétrique M  Mn (R) est positive si 
l'endomorphisme de R n canoniquement associé à M est positif, et qu'elle est 
définie
positive si ce même endomorphisme est défini positif.

La notation K désigne indifféremment l'ensemble R des nombres réels ou 
l'ensemble C des nombres complexes.
n désigne un entier supérieur ou égal à 1.
On note Mn (K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n > 1 à coefficients
dans K. La matrice identité de Mn (K) est notée I.
Dans tout le problème, on identifie les deux espaces vectoriels Mn,1 (K) et K n 
,
c'est-à-dire qu'on identifie un vecteur de K n avec le vecteur colonne de ses
composantes dans la base canonique de K n . De la sorte, si M  Mn (K) et
x  K n , on peut former le produit Mx  K n , ce qui permet de définir 
l'endomorphisme f M canoniquement associé à M par :

Partie I - La fonctionnelle J

Filière

PC

appelée la fonctionnelle associée à A.

v  R n , J(v) =

1
hAv, vi - hb, vi.
2

I.C - On suppose dans cette question que la matrice A de Mn (R) est symétrique
positive et on définit l'application J de R n dans R :

d) Déterminer la nature géométrique de la surface  de R3 d'équation x3 = F(x1 , 
x2 ).
e) Déduire de la question précédente que la fonction F admet un minimum global
sur R2 , que l'on précisera.

c) En déduire que la fonction F admet un unique point critique sur R2 .

a) Justifier que la fonction F est de classe C1 sur R2 .
La fonction gradient de F (grad F) est notée F.
b) Prouver que :
 v  R2 , F(v) = Av - b.

Dans cette question, on pose A =

75
13 -4
. On définit la
et b =
-75
-4 7
fonction F sur R2 à valeurs dans R de la façon suivante :

1
x1
de R2 , F(v) = hAv, vi - hb, vi.
pour tout v =
x2
2

I.B - Cas particulier : n = 2

I.A - Question préliminaire
I.A.1) Montrer qu'une matrice symétrique M de Mn (R) est positive si et 
seulement si son spectre (M) est inclus dans R + , et qu'elle est définie 
positive si et
seulement si son spectre (M) est inclus dans R + \ {0}.

Page 1/4

Dans tout le problème, A  Mn (R) est une matrice symétrique, b  R n est un 
vecteur fixé, et l'on étudie des méthodes itératives pour approcher la ou les 
solutions
du système Ax = b.

·

·

·

·
·

·

Les calculatrices sont autorisées
Notations et objet du problème

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 17 mars 2009 9h38

MATHÉMATIQUES II

x  K n , f M (x) = Mx.
L'image de f M , (Im f M ) sera notée Im(M) et le noyau de f M , (Ker f M ) 
sera noté
Ker(M).
Pour toute matrice M de Mn (K), on note (M) le spectre de M, c'est-à-dire
l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On note (M) le rayon spectral
de M, c'est-à-dire le plus grand module des valeurs propres de M.
On dira qu'une suite de K n (respectivement de Mn (K)) converge, ou est 
convergente, si elle converge pour une norme particulière de K n 
(respectivement de
Mn (K)). On sait qu'elle converge alors pour toute norme de K n (respectivement 
de Mn (K)) puisque ces espaces sont de dimension finie.
L'espace vectoriel R n est muni de son produit scalaire canonique, noté h , i. 
La
norme euclidienne associée est notée || ||.
Un endomorphisme symétrique f de R n est dit positif si, pour tout x de R n ,
h f (x), xi > 0.
Un endomorphisme symétrique est dit défini positif si, pour tout x de R n , x
non nul, h f (x), xi > 0.
On dit de même qu'une matrice symétrique M  Mn (R) est positive si 
l'endomorphisme de R n canoniquement associé à M est positif, et qu'elle est 
définie
positive si ce même endomorphisme est défini positif.

La notation K désigne indifféremment l'ensemble R des nombres réels ou 
l'ensemble C des nombres complexes.
n désigne un entier supérieur ou égal à 1.
On note Mn (K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n > 1 à coefficients
dans K. La matrice identité de Mn (K) est notée I.
Dans tout le problème, on identifie les deux espaces vectoriels Mn,1 (K) et K n 
,
c'est-à-dire qu'on identifie un vecteur de K n avec le vecteur colonne de ses
composantes dans la base canonique de K n . De la sorte, si M  Mn (K) et
x  K n , on peut former le produit Mx  K n , ce qui permet de définir 
l'endomorphisme f M canoniquement associé à M par :

Partie I - La fonctionnelle J

Filière

PC

appelée la fonctionnelle associée à A.

v  R n , J(v) =

1
hAv, vi - hb, vi.
2

I.C - On suppose dans cette question que la matrice A de Mn (R) est symétrique
positive et on définit l'application J de R n dans R :

d) Déterminer la nature géométrique de la surface  de R3 d'équation x3 = F(x1 , 
x2 ).
e) Déduire de la question précédente que la fonction F admet un minimum global
sur R2 , que l'on précisera.

c) En déduire que la fonction F admet un unique point critique sur R2 .

a) Justifier que la fonction F est de classe C1 sur R2 .
La fonction gradient de F (grad F) est notée F.
b) Prouver que :
 v  R2 , F(v) = Av - b.

Dans cette question, on pose A =

75
13 -4
. On définit la
et b =
-75
-4 7
fonction F sur R2 à valeurs dans R de la façon suivante :

1
x1
de R2 , F(v) = hAv, vi - hb, vi.
pour tout v =
x2
2

I.B - Cas particulier : n = 2

I.A - Question préliminaire
I.A.1) Montrer qu'une matrice symétrique M de Mn (R) est positive si et 
seulement si son spectre (M) est inclus dans R + , et qu'elle est définie 
positive si et
seulement si son spectre (M) est inclus dans R + \ {0}.

Page 1/4

Dans tout le problème, A  Mn (R) est une matrice symétrique, b  R n est un 
vecteur fixé, et l'on étudie des méthodes itératives pour approcher la ou les 
solutions
du système Ax = b.

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Les calculatrices sont autorisées
Notations et objet du problème

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 17 mars 2009 9h38

MATHÉMATIQUES II

x  K n , f M (x) = Mx.
L'image de f M , (Im f M ) sera notée Im(M) et le noyau de f M , (Ker f M ) 
sera noté
Ker(M).
Pour toute matrice M de Mn (K), on note (M) le spectre de M, c'est-à-dire
l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On note (M) le rayon spectral
de M, c'est-à-dire le plus grand module des valeurs propres de M.
On dira qu'une suite de K n (respectivement de Mn (K)) converge, ou est 
convergente, si elle converge pour une norme particulière de K n 
(respectivement de
Mn (K)). On sait qu'elle converge alors pour toute norme de K n (respectivement 
de Mn (K)) puisque ces espaces sont de dimension finie.
L'espace vectoriel R n est muni de son produit scalaire canonique, noté h , i. 
La
norme euclidienne associée est notée || ||.
Un endomorphisme symétrique f de R n est dit positif si, pour tout x de R n ,
h f (x), xi > 0.
Un endomorphisme symétrique est dit défini positif si, pour tout x de R n , x
non nul, h f (x), xi > 0.
On dit de même qu'une matrice symétrique M  Mn (R) est positive si 
l'endomorphisme de R n canoniquement associé à M est positif, et qu'elle est 
définie
positive si ce même endomorphisme est défini positif.

La notation K désigne indifféremment l'ensemble R des nombres réels ou 
l'ensemble C des nombres complexes.
n désigne un entier supérieur ou égal à 1.
On note Mn (K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n > 1 à coefficients
dans K. La matrice identité de Mn (K) est notée I.
Dans tout le problème, on identifie les deux espaces vectoriels Mn,1 (K) et K n 
,
c'est-à-dire qu'on identifie un vecteur de K n avec le vecteur colonne de ses
composantes dans la base canonique de K n . De la sorte, si M  Mn (K) et
x  K n , on peut former le produit Mx  K n , ce qui permet de définir 
l'endomorphisme f M canoniquement associé à M par :

Partie I - La fonctionnelle J

Filière

PC

appelée la fonctionnelle associée à A.

v  R n , J(v) =

1
hAv, vi - hb, vi.
2

I.C - On suppose dans cette question que la matrice A de Mn (R) est symétrique
positive et on définit l'application J de R n dans R :

d) Déterminer la nature géométrique de la surface  de R3 d'équation x3 = F(x1 , 
x2 ).
e) Déduire de la question précédente que la fonction F admet un minimum global
sur R2 , que l'on précisera.

c) En déduire que la fonction F admet un unique point critique sur R2 .

a) Justifier que la fonction F est de classe C1 sur R2 .
La fonction gradient de F (grad F) est notée F.
b) Prouver que :
 v  R2 , F(v) = Av - b.

Dans cette question, on pose A =

75
13 -4
. On définit la
et b =
-75
-4 7
fonction F sur R2 à valeurs dans R de la façon suivante :

1
x1
de R2 , F(v) = hAv, vi - hb, vi.
pour tout v =
x2
2

I.B - Cas particulier : n = 2

I.A - Question préliminaire
I.A.1) Montrer qu'une matrice symétrique M de Mn (R) est positive si et 
seulement si son spectre (M) est inclus dans R + , et qu'elle est définie 
positive si et
seulement si son spectre (M) est inclus dans R + \ {0}.

Page 1/4

Dans tout le problème, A  Mn (R) est une matrice symétrique, b  R n est un 
vecteur fixé, et l'on étudie des méthodes itératives pour approcher la ou les 
solutions
du système Ax = b.

·

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Les calculatrices sont autorisées
Notations et objet du problème

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

hAv, hi = hAh, vi.

Prouver que, pour tout couple (v, h) de vecteurs de R n , on a :

Partie II - Méthode du gradient à pas constant

Filière PC

16i6n

x  R n , x = (x1 , . . . , xn ), ||x|| = max |xi |.

On définit sur C n la norme || || par :

(Mx)
·
max
n
xC , x6=0 (x)

Soit N une norme subordonnée sur Mn (C).

j=1

Soit M une matrice de Mn (C) et  > 0 fixé.

II.A.5)

x 7 Mx + c.

Soit M  Mn (C) et c  C n . On définit l'application f de C n dans C n par :

a) Prouver l'existence d'une matrice P inversible et d'un réel  > 0 tel que :
N (P-1 P-1 MPP ) 6 (M) + .
b) En déduire qu'il existe une norme subordonnée N sur Mn (C) telle que :
N(M) 6 (M) + .

II.A.4)

a) Calculer P-1 MP .
b) En déduire que, pour tout  > 0, il existe  > 0 tel que N (P-1 MP ) 6 (M) + .

II.A.3) Soit M = (mij )16i,j6n une matrice triangulaire supérieure de Mn (C)
( c'est-à-dire mij = 0 si i > j).
Soit  un nombre réel strictement positif, et P la matrice diagonale diag(1, , · 
· · , n-1 ),
c'est-à-dire dont le i-ème coefficient diagonal est i-1 .

a) Montrer que :  A, B  Mn (C), N(AB) 6 N(A).N(B).
En déduire que :  n  N, N(An ) 6 (N(A))n .
b) Montrer que, pour tout M  Mn (C), (M) 6 N(M).

II.A.2)

n

 |mij |.
16i6n

Montrer que, pour toute matrice M = (mij )  Mn (C), N (M) = max

On note N la norme sur Mn (C) subordonnée à ||.|| .

II.A.1)

On dit que N est subordonnée à .

N(M) =

II.A - Normes matricielles et rayon spectral
Une norme N sur Mn (C) est dite subordonnée s'il existe une norme  sur C n telle
que, pour tout M  Mn (C),

Page 2/4

I.C.5) On suppose que la matrice A est symétrique positive, mais non inversible,
et que b appartient à Im(A). On note u0 un élément de R n tel que Au0 = b.
Déterminer l'ensemble des vecteurs v0 tels que J(v0 ) = inf n J(v) et préciser 
sa navR
ture géométrique.

pour tout couple (u, v) de vecteurs de R n .

||J(v) - J(u)|| 6 m||v - u||

hJ(v) - J(u), v - ui > ||v - u||2

I.C.4) On suppose encore que la matrice A est définie positive. Déterminer deux
constantes  > 0 et m > 0 en fonction du spectre de A telles que :

I.C.3) On suppose que la matrice A est symétrique définie positive.
a) Montrer qu'il existe un unique v0  R n tel que J(v0 ) = inf n J(v), et le 
détermivR
ner en fonction de A et b.
b) Soit v  R n et d  R n , d non nul.
Montrer qu'il existe un unique r  R tel que J(v - rd) = inf J(v - d).
R
Exprimer r en fonction de v, d et A.

J(v0 ) = 0.

En observant que J(v0 + th) > J(v0 ) pour tout h  R n et tout t  R, montrer que 
:

Quel est le signe de R(h) ?
b) On suppose qu'un vecteur v0  R n est tel que J(v) > J(v0 ) pour tout v  R n .

 v, h  R n , J(v + h) = J(v) + hJ(v), hi + R(h).

On pose J(v) = Av - b pour tout v  R n .
I.C.2)
a) Expliciter la fonction R : R n  R telle que

I.C.1)

MATHÉMATIQUES II

hAv, hi = hAh, vi.

Prouver que, pour tout couple (v, h) de vecteurs de R n , on a :

Partie II - Méthode du gradient à pas constant

Filière PC

16i6n

x  R n , x = (x1 , . . . , xn ), ||x|| = max |xi |.

On définit sur C n la norme || || par :

(Mx)
·
max
n
xC , x6=0 (x)

Soit N une norme subordonnée sur Mn (C).

j=1

Soit M une matrice de Mn (C) et  > 0 fixé.

II.A.5)

x 7 Mx + c.

Soit M  Mn (C) et c  C n . On définit l'application f de C n dans C n par :

a) Prouver l'existence d'une matrice P inversible et d'un réel  > 0 tel que :
N (P-1 P-1 MPP ) 6 (M) + .
b) En déduire qu'il existe une norme subordonnée N sur Mn (C) telle que :
N(M) 6 (M) + .

II.A.4)

a) Calculer P-1 MP .
b) En déduire que, pour tout  > 0, il existe  > 0 tel que N (P-1 MP ) 6 (M) + .

II.A.3) Soit M = (mij )16i,j6n une matrice triangulaire supérieure de Mn (C)
( c'est-à-dire mij = 0 si i > j).
Soit  un nombre réel strictement positif, et P la matrice diagonale diag(1, , · 
· · , n-1 ),
c'est-à-dire dont le i-ème coefficient diagonal est i-1 .

a) Montrer que :  A, B  Mn (C), N(AB) 6 N(A).N(B).
En déduire que :  n  N, N(An ) 6 (N(A))n .
b) Montrer que, pour tout M  Mn (C), (M) 6 N(M).

II.A.2)

n

 |mij |.
16i6n

Montrer que, pour toute matrice M = (mij )  Mn (C), N (M) = max

On note N la norme sur Mn (C) subordonnée à ||.|| .

II.A.1)

On dit que N est subordonnée à .

N(M) =

II.A - Normes matricielles et rayon spectral
Une norme N sur Mn (C) est dite subordonnée s'il existe une norme  sur C n telle
que, pour tout M  Mn (C),

Page 2/4

I.C.5) On suppose que la matrice A est symétrique positive, mais non inversible,
et que b appartient à Im(A). On note u0 un élément de R n tel que Au0 = b.
Déterminer l'ensemble des vecteurs v0 tels que J(v0 ) = inf n J(v) et préciser 
sa navR
ture géométrique.

pour tout couple (u, v) de vecteurs de R n .

||J(v) - J(u)|| 6 m||v - u||

hJ(v) - J(u), v - ui > ||v - u||2

I.C.4) On suppose encore que la matrice A est définie positive. Déterminer deux
constantes  > 0 et m > 0 en fonction du spectre de A telles que :

I.C.3) On suppose que la matrice A est symétrique définie positive.
a) Montrer qu'il existe un unique v0  R n tel que J(v0 ) = inf n J(v), et le 
détermivR
ner en fonction de A et b.
b) Soit v  R n et d  R n , d non nul.
Montrer qu'il existe un unique r  R tel que J(v - rd) = inf J(v - d).
R
Exprimer r en fonction de v, d et A.

J(v0 ) = 0.

En observant que J(v0 + th) > J(v0 ) pour tout h  R n et tout t  R, montrer que 
:

Quel est le signe de R(h) ?
b) On suppose qu'un vecteur v0  R n est tel que J(v) > J(v0 ) pour tout v  R n .

 v, h  R n , J(v + h) = J(v) + hJ(v), hi + R(h).

On pose J(v) = Av - b pour tout v  R n .
I.C.2)
a) Expliciter la fonction R : R n  R telle que

I.C.1)

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

k+

k

- uk ||2 .
||u
2 k+1

k

k+
v0 ||2 . Prouver

Montrer que ||dk || 6 ||dk - dk+1 ||, puis que lim dk = 0.
III.A.5) Montrer que hJ(uk ), uk - v0 i > ||uk -
lim ||uk - v0 || = 0.

III.A.4)

III.A.3) Prouver que la suite (J(uk ))kN est convergente.
Montrer alors que lim ||uk+1 - uk || = 0.

J(uk ) - J(uk+1 ) >

finalement que

on choisit u0  R n et l'on pose d0 = J(u0 ) ;
en supposant uk déjà construit, on définit uk+1 en fonction de uk de la façon
suivante :
on pose dk = J(uk ) et on détermine rk  R tel que J(uk - rk dk ) = inf J(uk - 
dk )
R
(cf. I.C.3.b).
On pose alors uk+1 = uk - rk dk . La suite (uk )kN est donc bien définie, ainsi
que la suite (dk )kN .
III.A III.A.1) Montrer que, pour tout entier k, hdk+1 , dk i = 0.
III.A.2) Montrer qu'il existe  > 0 dépendant du spectre de A tel que :
·
·

Dans cette partie, A  Mn (R) est symétrique définie positive. On note v0  R n le
vecteur tel que Av0 = b.
On construit une suite (uk )kN par récurrence :

Partie III - Méthode du gradient à pas optimal

g) Quelle relation le vecteur u vérifie -t-il ?

f) En déduire que la suite (uk )kN est convergente dans le sous-espace Im(S-1 
A).
On note u sa limite. On peut donc écrire :
lim uk = u + w.

e) Dans cette question, on note id l'endomorphisme identité de l'espace Im(S-1 
A).
Montrer que le polynôme caractéristique de id - g est scindé sur R , et que le
rayon spectral de id - g est strictement inférieur à 1.

On note n la plus grande valeur propre de S-1 A, et l'on suppose, jusqu'à la 
fin de
2
cette partie, que 0 <  < ·. n Page 3/4 d) Montrer qu'on définit un automorphisme linéaire g de Im(S-1 A) en posant g(x) = S-1 Ax pour tout x  Im(S-1 A). c) Montrer que les valeurs propres complexes de la matrice S-1 A sont toutes réelles positives ou nulles. Il pourra être utile de montrer que pour toute matrice X de Mn,1 (C), X 6= 0, t XSX > 0 .

b) Pour tout k, uk s'écrit donc uk = w + uk avec uk  Im(S-1 A). Préciser 
l'application f : Im(S-1 A)  Im(S-1 A) telle que uk+1 = f (uk ) pour tout k.

pour tout k  N, u0  R n étant arbitrairement choisi.
a) Montrer que la composante du vecteur uk sur le sous-espace Ker(A), dans la 
décomposition R n = Im(S-1 A)  Ker(A), est indépendante de k ; on la note w.

uk+1 = uk - S-1 J(uk )

II.B.3) Montrer que, dans Im(S-1 A), le système linéaire Au = b possède une
unique solution notée u . Décrire l'ensemble des solutions dans R n .
II.B.4) Étant donné un nombre réel , on définit la suite récurrente

II.B.2) Montrer que les sous-espaces Im(S-1 A) et Ker(A) sont orthogonaux pour
le produit scalaire  défini à la question précédente.
En déduire qu'ils sont supplémentaires.

II.B.1) Montrer que l'application définie par (u, v) = hSu, vi, pour tout couple
(u, v) de vecteurs de R n , fournit un produit scalaire sur l'espace R n .

II.B - Méthode du gradient à pas constant
Soit A une matrice symétrique positive, mais pas nécessairement inversible, b un
vecteur appartenant à l'espace Im(A), et J la fonctionnelle associée à A.
On note x0 un élément de R n tel que b = Ax0
On désigne par S une matrice symétrique définie positive donnée.

Montrer l'équivalence des assertions (i) et (ii) ci-dessous :
(i) Pour tout x0  C n , la suite (xk )kN , définie par xk+1 = f (xk ), est 
convergente,
et sa limite est indépendante de x0 .
(ii) I - M est inversible et (M) < 1. Il pourra être utile d'introduire un réel  > 0 et de choisir une norme 
subordonnée N sur
Mn (C) telle qu'on ait l'inégalité N(M) 6 (M) +  pour la matrice M considérée.

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

k+

k

- uk ||2 .
||u
2 k+1

k

k+
v0 ||2 . Prouver

Montrer que ||dk || 6 ||dk - dk+1 ||, puis que lim dk = 0.
III.A.5) Montrer que hJ(uk ), uk - v0 i > ||uk -
lim ||uk - v0 || = 0.

III.A.4)

III.A.3) Prouver que la suite (J(uk ))kN est convergente.
Montrer alors que lim ||uk+1 - uk || = 0.

J(uk ) - J(uk+1 ) >

finalement que

on choisit u0  R n et l'on pose d0 = J(u0 ) ;
en supposant uk déjà construit, on définit uk+1 en fonction de uk de la façon
suivante :
on pose dk = J(uk ) et on détermine rk  R tel que J(uk - rk dk ) = inf J(uk - 
dk )
R
(cf. I.C.3.b).
On pose alors uk+1 = uk - rk dk . La suite (uk )kN est donc bien définie, ainsi
que la suite (dk )kN .
III.A III.A.1) Montrer que, pour tout entier k, hdk+1 , dk i = 0.
III.A.2) Montrer qu'il existe  > 0 dépendant du spectre de A tel que :
·
·

Dans cette partie, A  Mn (R) est symétrique définie positive. On note v0  R n le
vecteur tel que Av0 = b.
On construit une suite (uk )kN par récurrence :

Partie III - Méthode du gradient à pas optimal

g) Quelle relation le vecteur u vérifie -t-il ?

f) En déduire que la suite (uk )kN est convergente dans le sous-espace Im(S-1 
A).
On note u sa limite. On peut donc écrire :
lim uk = u + w.

e) Dans cette question, on note id l'endomorphisme identité de l'espace Im(S-1 
A).
Montrer que le polynôme caractéristique de id - g est scindé sur R , et que le
rayon spectral de id - g est strictement inférieur à 1.

On note n la plus grande valeur propre de S-1 A, et l'on suppose, jusqu'à la 
fin de
2
cette partie, que 0 <  < ·. n Page 3/4 d) Montrer qu'on définit un automorphisme linéaire g de Im(S-1 A) en posant g(x) = S-1 Ax pour tout x  Im(S-1 A). c) Montrer que les valeurs propres complexes de la matrice S-1 A sont toutes réelles positives ou nulles. Il pourra être utile de montrer que pour toute matrice X de Mn,1 (C), X 6= 0, t XSX > 0 .

b) Pour tout k, uk s'écrit donc uk = w + uk avec uk  Im(S-1 A). Préciser 
l'application f : Im(S-1 A)  Im(S-1 A) telle que uk+1 = f (uk ) pour tout k.

pour tout k  N, u0  R n étant arbitrairement choisi.
a) Montrer que la composante du vecteur uk sur le sous-espace Ker(A), dans la 
décomposition R n = Im(S-1 A)  Ker(A), est indépendante de k ; on la note w.

uk+1 = uk - S-1 J(uk )

II.B.3) Montrer que, dans Im(S-1 A), le système linéaire Au = b possède une
unique solution notée u . Décrire l'ensemble des solutions dans R n .
II.B.4) Étant donné un nombre réel , on définit la suite récurrente

II.B.2) Montrer que les sous-espaces Im(S-1 A) et Ker(A) sont orthogonaux pour
le produit scalaire  défini à la question précédente.
En déduire qu'ils sont supplémentaires.

II.B.1) Montrer que l'application définie par (u, v) = hSu, vi, pour tout couple
(u, v) de vecteurs de R n , fournit un produit scalaire sur l'espace R n .

II.B - Méthode du gradient à pas constant
Soit A une matrice symétrique positive, mais pas nécessairement inversible, b un
vecteur appartenant à l'espace Im(A), et J la fonctionnelle associée à A.
On note x0 un élément de R n tel que b = Ax0
On désigne par S une matrice symétrique définie positive donnée.

Montrer l'équivalence des assertions (i) et (ii) ci-dessous :
(i) Pour tout x0  C n , la suite (xk )kN , définie par xk+1 = f (xk ), est 
convergente,
et sa limite est indépendante de x0 .
(ii) I - M est inversible et (M) < 1. Il pourra être utile d'introduire un réel  > 0 et de choisir une norme 
subordonnée N sur
Mn (C) telle qu'on ait l'inégalité N(M) 6 (M) +  pour la matrice M considérée.

MATHÉMATIQUES II

1 0
, et
0 c

· · · FIN · · ·

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III.B - Un exemple : n = 2, c > 0 est différent de 1, A est la matrice
 
x0
n'a aucune composante nulle. On construit la
b = 0. On suppose que u0 =
y0
 
xk
suite (uk ) par la méthode décrite dans cette partie. On note uk =
yk
III.B.1) Expliciter les composantes de uk+1 en fonction de celles de uk et de 
c. En
déduire que pour tout k  N, les deux composantes de uk sont différentes de 0.
III.B.2) Montrer que le produit des coefficients directeurs de uk+1 et uk est 
une
constante indépendante
  de k, que l'on déterminera. On rappelle que le coefficient
y
xk
est tk = k ·
directeur de uk =
yk
xk
III.B.3) Montrer que uk+2 et uk sont colinéaires, et calculer le coefficient de 
colinéarité. Illustrer géométriquement le comportement de la suite (uk ) pour c 
> 1.

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Filière PC