Centrale Maths 2 PC 2011

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EDNEDlIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Notations

-- Dans tout le problème, n est un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2.

-- On note Mn7p(R) Pensemble des matrices a n lignes et p colonnes et à 
coefficients réels.

-- En particulier, Mn71(R) désigne Pensemble des matrices colonnes à n lignes 
et à coefficients réels. Selon
Fusage, on pourra librement identifier les espaces vectoriels Mn,1(R) et R".

-- On note Mi,j le coefficient sur la i--ème ligne et j--ème colonne d7une 
matrice M.

-- L7espace Mn,1(R) est muni de sa structure euclidienne usuelle. En 
particulier, si (V, W) EUR Mn,1(R)2, on
pose

" " 1/2
 = ZW1Wi.1 et iiVii2 = (E l/i,21)
i=1 i=1

-- La notation tJW désigne la transposée d7une matrice M, rg(M) son rang et, 
lorsque M est carrée, tr(M) sa
trace. On rappelle que tr(AB) = tr(BA) pour tout A E Mk,l(R) et B E Mz,k(R).

-- On note également O,,( &) le groupe des matrices orthogonales d7ordre n, 
():; (R) le sous--groupe de O,, (R) for--
mé des matrices de O,,( &) de déterminant positif et O,? (R) Pensemble des 
matrices de O,, (R) de déterminant
négatif.

-- Par définition, une rotation est un automorphisme orthogonal de l7espace 
M...1(R) de déterminant l.

Objectif du problème

On se donne des vecteurs Xl, . . . , X..., Y1, . . . ,Y... de Mn71(R), et on 
cherche à déterminer, si c7est possible, une
rotation ?" de Mn71(R) telle que

r(X,-) = Y,- pour l< i $ m Cela revient à déterminer une matrice W E O:{ (R) réalisant WX,=Y, pour l£i tr((tM)N)
est un produit scalaire sur M......(R). On pose désormais
F = ......)N) et HMHF = ë"

II.A.2) Montrer que, pour toute matrice W EUR MAR), on a

Z HWX. = YAlâ = HWX = YH%
i:1

II.A.3) Simplifier (WM, WN)F et HWMHp pour W EUR (QAR) et (M, N) E M......(R)?
II.A.4) Simplifier aussi (MW, NW)F et HMWHp pour W EUR (Q...(R) et (M, N) E 
M,...AR)2 .
II.B = Dans cette section, on suppose que m = n.

II.B.1) Calculer HWHp pour W EUR (QAR).

II.B.2) Montrer que si une suite (Mk)kEURN d7éléments de (QAR) converge vers M 
EUR MAR), alors M EUR (QAR)
et en déduire que (QAR) est une partie fermée de MAR).

II.B.3) Montrer que (QAR) est une partie compacte de MAR).
II. C' = Dans cette section, m et n ne sont plus supposés égaux.

II.C.1) Justifier l7eXistence d7une matrice W EUR (QAR) minimisant HWX = YHî=, 
c7est--a--dire vérifiant
VZ EUR On(R)v llWX *Ylliw < HZX * Ylliw II.C.2) Montrer que les matrices W EUR (QAR) minimisant HWX = YHî= sont les matrices W EUR (QAR) maximisant (WX ,Y) F. II.C.3) Déterminer a l7aide de X et Y une matrice A E MAR) telle que, pour toute matrice W EUR (QAR), F : F

II.D = Dans cette section, A désigne une matrice diagonale d7ordre n à 
coefficients positifs.
II.D.1) Déterminer une matrice W/ EUR (QAR) maximisant (WC A)F.

II.D.2) On suppose de plus que les coefficients diagonaux de la matrice A 
vérifient :
A171 >...2Arm >Oet A...-=O pourr+l 2 An," 2 
0. Ce résultat sera
démontré dans la partie III.

II.E.1) Déterminer a l7aide de P et Q une matrice W EUR (QAR) maximisant (W, 
A)F, et appartenant à
(Q:,r (R) si et seulement si det P ' det Q > O.

II.E.2) Montrer que si det A > 0, il existe une unique matrice W EUR (Q:,r (R) 
maximisant (W, A)F, au sens où

VZ EUR OTÎ(R)7 F ? F

20 avril 2011 11:30 Page 2/4 @c) BY--NC-SA

II.E.3) Dans cette question, on suppose que A,..., = 0. Déterminer une matrice 
W/ E O,? (R) maximisant
(W/ , A) F.

II.E.4) Dans cette question, on suppose que detA = 0 et que detP ' detQ < 0. Déduire de la question précédente une matrice W E C:," (R) maximisant (W, A) F. III Une décomposition matricielle Lbbjectif de cette partie est d7établir le résultat admis dans la partie précédente. Soit M EUR Mn,p(R) de rang ?" 2 l. III.A * Soit B = (ÊM)M. III.A.I) Montrer que B est une matrice symétrique réelle. Que peut--on en déduire? III.A.2) Montrer que B est positive, c7est--a--dire que pour tout V E Mp,1(R), (tl/)BV } 0. En déduire que les valeurs propres de B sont positives. III.A.3) Montrer que ker B = ker M. En déduire que rg(B) = 7". (M étant une matrice de MMO (R), on pose kerM = {x EUR M,...(R), MX = 0}.) III.B * Dans la suite de cette partie, on note : -- f Papplication linéaire de Rp dans R" canoniquement associée à M, -- g Vendomorphisme de Rp canoniquement associé à B, -- À1, . . . , Àp les valeurs propres (distinctes ou non) de g rangées par ordre décroissant : À12À22...2Àr>0=ÀT+1=....=ÀP

-- et enfin (Ul, . . . , Up) une base orthonormée de Rp formée de vecteurs 
propres de g associés respectivement
aux valeurs propres À1, . . . ,Àp.

III.B.I) On pose u,- = \/À_,- pour 1 £ i £ p et u,- = Îf(v,) pour 1 £ i $ 7". 
Montrer que (tu,. .. ,u,) est une

base orthonormée de lm(f).

III.B.2) Soit A = (A,-7j) EUR Mn,p(R) la matrice dont les seuls coefficients 
non nuls sont A171, . . . , A..." qui
valent #1» . . . ,u,... Montrer qu7il existe Q E O,, (R) et P E Op(R) telles que

M = QAP*1 = QA(ÊP)

IV Sur la trace des matrices orthogonales

Dans cette partie, on étudie la trace maximale d7une matrice de O,? (R), ce qui 
va permettre d7aboutir dans les
cas laissés en suspens dans la partie II a une matrice W EUR O,Ï( &) minimisant 
2221 HWX, -- Y,Hâ.

IV.A =

IV.A.I) Déterminer la trace maximale d7une matrice de O,,( &).

IV.A.2) Soit E un espace vectoriel euclidien, et w un automorphisme orthogonal 
de E. Justifier que les
seules valeurs propres possibles pour w sont 1 et --l.

IV.A.3) Montrer que --l est valeur propre de toute matrice W E O,? (R).

IV.A.4) Montrer que si F est un sous--espace vectoriel d7un espace vectoriel 
euclidien E, stable par un
automorphisme orthogonal w de E, alors Forthogonal de F est aussi stable par w.

IV.A.5) Montrer que pour tout W E O,? (R), il existe P1 EUR O,,(R) et W1 EUR 
OZÎ1(R) tels que

=l 0 ,,I
W = P1 1' 1 (ÊP1)
Ûn=1,1 Wl

où 0... désigne la matrice nulle dans M...(R).
IV.A.6) Conclure sur la trace maximale d7une matrice de O,? (R).
IV.B * On rappelle que minimiser 2221 HWX, -- Y,Hâ revient à maximiser (W, A)F 
avec A E M,,(R) une

certaine matrice qui peut s7écrire sous la forme QA(ÊP) avec (P, Q) E ('),,(R)2 
et A E M,,(R) diagonale, à
coefficients diagonaux vérifiant

A1,1>H'>An,n>0

IV.B.I) Déterminer une matrice W/ E O,; (R) maximisant (WC A)F en commençant 
par écrire (WC A)F a
l7aide de tr(W') et des coefficients W! pour 1 £ i £ n -- l.

1,757

IV.B.2) En déduire, lorsque det P ' det Q < 0, une matrice W E C:," (R) maximisant (W, A)F. 20 avril 2011 11:30 Page 3/4 @c) BY--NC-SA V Calcul numérique Dans cette partie, on étudie un algorithme permettant de calculer de manière approchée une matrice W E O:{ (R) minimisant Zîîl HWX, + Y,Hâ pour certaines matrices Y. V.A + Étude d'une suite de réels On considère 8 Fensemble des suites (æk)kEURN de réels vérifiant : æä+3 --pourkEURN 3æä+l æ0>0 etæk+1=æk'

V.A.l) Écrire une instruction en Maple ou Mathematica permettant de calculer 
les trente premiers termes
de la suite (æk)kEURN EUR 8 telle que æ0 = 0,1.

V.A.2) Représenter graphiquement le comportement d7une suite (æk)kEURN EUR 8 
pour un we > 0 quelconque.
On effectuera les calculs nécessaires à une représentation soignée.

V.A.3) Démontrer la convergence d7une telle suite et préciser sa limite.

V.B + Étude d'une suite de matrices

On considère }" Fensemble des suites (Zk)kEURN de matrices de Mn(R) vérifiant 
les deux conditions suivantes :
i. ZO est inversible:

ii. Zk+1 = Zk(tZka + 3In)(3tZkZ,EUR + L,)Î1 pour [EUR E N (I,, désigne la 
matrice identité d7ordre n).

V.B.l) Montrer que pour toute matrice Z EUR MAR), la matrice 3ÊZZ + L, est bien 
inversible.

V.B.2) Soit (21EUR)ng E J'". D7après la deuxième partie, Z0 peut s7écrire sous 
la forme QD(ÊP) avec (Q, P) E
OMR)2 et D E Mn(R) diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs. On 
définit, pour tout [EUR E N,

Passertion Pk ainsi : « Zk peut s7écrire sous la forme QDk(ÊP) avec Dk 
diagonale à coefficients diagonaux
strictement positifs ». Montrer que pour tout [EUR E N, Pk est vraie.

V.B.3) Déterminer la limite de la suite (Zk)kEURN.

V.C + Une application

On fixe Xl, . . . ,X... des éléments de Mn,1(R), et on note X la matrice de 
M......(R) dont les colonnes sont
Xl, . . . ,X.... On fixe également WO E O:{ (R), et on pose YO = W0X. On 
suppose de plus la matrice X de rang
n

V.C.l) Montrer qu7il existe un ouvert M de M......(R) contenant YO tel que pour 
tout Y E M, l7on ait
det(Y(tX)) > O.

V.C.2) Dans le cas où Y E M, quelle valeur donner a Z0 pour que la suite 
(21EUR)ng EUR }" converge vers
W EUR OË(R) minimisant ZÎ21HWXÏ+ Y,Hâ ?

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