Centrale Maths 2 PC 2013

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EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Matrices directement orthogonalement
semblables et cercle propre

Pour n entier supérieur ou égal à 2, on note MAR) l'espace vectoriel des 
matrices carrées à coefficients réels a
n lignes, et GLAR) l'ensemble des matrices inversibles de MAR).

On rappelle qu'une matrice M de MAR) est dite orthogonale si tM M = I,, où "M 
désigne la transposée de
M et où I,, est la matrice identité. On note O(n) l'ensemble des matrices 
orthogonales de MAR), et SO(n) le
sous--ensemble de O(n) constitué des matrices orthogonales de déterminant 1. On 
rappelle que (O(n), ><) est un sous--groupe de (GLAR), ><) et que (SO(n), ><) est un sous--groupe de (O(n), ><). Le premier est appelé groupe orthogonal, le second groupe spécial orthogonal. Pour A E MAR), on note f A l'endomorphisme canoniquement associé à A, c'est--à--dire l'unique endomorphisme de R" dont la matrice dans la base canonique de R" est A. Si À est une valeur propre de A, on notera respectivement EAA) et E A f A) les sous-espaces propres associés à À, pour A et f A respectivement. On munit R2 de sa structure euclidienne orientée canonique, de sorte que la base canonique est orthonormée directe. Le produit scalaire est noté (l) et la norme euclidienne associée est notée H -- H. Pour tout couple (a, v) de vecteurs non nuls de R2, on dit que 9 est une mesure de l'angle orienté (a, @) lorsque (Ul'U) lu, "Ul _ llUll ll'Ull , _llUll ll'Ull' quelle base orthonormee d1recte. cos9 et sinb' : où [., ] désigne le produit mixte, c'est--à--dire le déterminant dans n'importe On appelle similitude de rapport k tout endomorphisme f de R2 pour lequel il existe un réel k > 0 et une
matrice M de O(2) tels que la matrice de f dans la base canonique de R2 soit 
égale à kM .

I Le groupe orthogonal en dimension 2

LA -- Les rotations planes

I.A.1) Montrer que A E SO(2) si et seulement si il existe un réel t tel que A : 
Rt avec R,, : (COSt _ s1nt)_

sin t cos t

I.A.2) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou 
Mathematica qui prend en entrée un

2) : Rt et un message

quadruplet (a, b, c, d) de réels et qui renvoie, lorsque c'est possible, un 
réel t tel que (î

d'erreur dans le cas contraire.

I.A.3) Vérifier que l'application qui, a tout réel t, associe la matrice R,, 
est un morphisme surjectif du groupe
(R, +) sur le groupe (SO(2), ><). Oe morphisme est--il bijectif ? /\ I.A.4) Montrer que, pour tout t de R et tout a non nul de R2, t est une mesure de l'angle orienté (a, pt(u)), où pt est l'endomorphisme (la rotation d'angle t) th canoniquement associé à Rt. Pour tout 16 EUR Rï et tout t E R, l'endomorphisme kpt est appelé similitude directe de rapport k et d'angle t. I.B -- Matrices semblables et sous-espaces propres Soit A, B E MAR) et P E GLAR) telles que B : P_1AP. I.B.1) Montrer que f A et fB ont les mêmes valeurs propres. I.B.2) Montrer que si À est une valeur propre de A, alors EÀ(fA) : fp(EAf3)). I.C -- Les réfleoeions planes I.C.1) On note K2 : (à _3). Vérifier que l'endomorphisme 00 : fK2 est une réflexion (symétrie orthogonale par rapport a une droite du plan) dont on précisera les éléments propres. 2013-04--16 14:30:22 Page 1/4 GC) BY--NC-SA I.C.2) Pour tout réel t, préciser l'endomorphisme at canoniquement associé a Rt_1 K2 Rt et en particulier ses éléments propres. I.C.3) Montrer, que pour toute matrice A de O(2) telle que det(A) : --1, il existe un réel t tel que A : (cos(2 t) sin(2 t)) sin(2 t) -- cos(2 t) II Matrices directement orthogona1ement semblables Pour A, B dans MAR), on dit que A est orthogonalement semblable a B (ce que l'on pourra abréger en: A os B) s'il existe une matrice P de O(n) telle que B : P_1AP et on dit que A est directement orthogonalement semblable a B (en abrégé : A dos B) s'il existe une matrice P de SO(n) telle que B = P _1AP . II.A -- Propriétés fondamentales de la similitude II.A.1) Montrer que pour toute A de MAR) on a A dos A, que pour tout (A, B) de Mn(R)2 si A dos B alors B dos A et que pour tout (A, B, C) de Mn(R)3 si A dos B et B dos C alors A dos C. On dira donc indifféremment que A est directement orthogonalement semblable a B ou que A et B sont directement orthogonalement semblables. On a les mêmes propriétés pour la relation de similitude orthogonale entre deux matrices carrées de même taille et on ne demande pas de refaire ici les vérifications. II.A.2) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables a ozÏn pour oz réel ? II.A.3) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables a A si A appartient a SO(2) ? II.A.4) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables a K 2 ? II.B -- Comparaison des relations de similitude. Avec SO(n) C O(n) C GLMR), si deux matrices sont directement orthogonalement semblables alors elles sont orthogonalement semblables et si deux matrices sont orthogonalement semblables alors elles sont semblables. II.B.1) Montrer que (0 0 0 2) et (î î) sont directement orthogonalement semblables. II.B.2) Montrer que (à g) et (_Î â) sont semblables mais ne sont pas orthogonalement semblables. 3 --1 0 orthogonalement semblables. II.B.3) Montrer que et sa transposée sont orthogonalement semblables mais ne sont pas directement III Cercle propre d'une matrice carrée réelle d'ordre 2 III.A -- Cercle propre 19 a Pour A _ (e d ) de M2(R) et (oe,y) de R2, on note pA(oe,y) le déterminant de la matrice A(oe,y) : a -- :D b -- y . . 2 , . ,, . e + y al _ gr et on cons1dere CPA la courbe de R définie par l equation : gpA(oe, y) = O. III.A.1) Vérifier que CPA est un cercle (on convient qu'un cercle peut être réduit a un point) ; on appellera CPA cercle propre de A. Préciser son centre CA et son rayon r A. III.A.2) Préciser, en fonction de A, le cardinal de l'intersection de CPA avec l'axe des abscisses R >< {O}. III.A.3) Que représentent les solutions de l'équation g0A(oe, O) = 0 pour A ? Préciser le nombre de valeurs propres réelles de A selon la valeur de AA : (a -- d)2 + 4 bc. III.B -- Deus: cas particuliers Soit A E M2(R). III.B.1) Comparer le cercle propre de A et celui de sa transposée. III.B.2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur CPA pour que A soit symétrique. III.B.3) a ) Déterminer les matrices dont le cercle propre est de rayon nul et caractériser géométriquement leur endomor-- phisme canoniquement associé. b) Lorsque le cercle propre est réduit a son centre, préciser l'endomorphisme canoniquement associé, d'une part quand ce centre appartient au cercle trigonométrique (de centre l'origine O = (O, O) et de rayon 1) et d'autre part quand ce centre appartient a l'axe des abscisses. 2013-04--16 143022 Page 2/4 @°) BY--NC-SA c) Que peut--on dire de la matrice A et de fA quand le cercle propre CPA est de rayon nul et de centre appartenant a l'axe des ordonnées {O} >< R ? III.C -- Cercle propre et matrices directement orthogonalement semblables Montrer que deux matrices A et B de M2(R) sont directement orthogonalement semblables si et seulement si elles ont le même cercle propre. III.D -- Rectangle propre Pour A : (î 19) dans M2(R) on considère les quatre points (éventuellement confondus) E = (d, --c), F = d (a,b), C : (d,b) et H = (a, --c). III.D.1) Dans le cas où A = ( 7), représenter le cercle et le quadrilatère EH F C . --13 III.D.2) Lorsque les quatre points E, F , C et H sont distincts montrer qu'ils sont les sommets d'un rectangle, que l'on appellera rectangle propre de A. III.D.3) Préciser les matrices pour lesquelles certains de ces points sont confondus, c'est--à--dire lorsque le rectangle est aplati. III.E -- Décomposition orthogonale d'un endomorphisme Soit A : (î 19) de M2(R). d III.E.1) Montrer qu'il existe un unique triplet (oz, @ , y) de R2 >< R+ que l'on précisera, tel que A soit directement orthogonalement semblable a (a + W _5 ). 5 a -- v III.E.2) Suivant les valeurs de (oz, @ , y) préciser le nombre de valeurs propres réelles de A. III.E.3) Montrer que pour tout endomorphisme f de R2, il existe des réels positifs ou nuls 16 et EUR, une rotation plane pt et une réflexion 0t/ tels que f : kpt + lat/. III.E.4) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou Mathematica qui prend en entrée un quadruplet (a, b, c, d) de réels et qui renvoie un quadruplet (k,Æ,t,t' ) tel que si A : (î 2) on ait f A : k'pt + KO}! . IV Cercle propre et réduction IV.A -- Cercle propre sécant avec l'aoee des abscisses Dans cette section on considère un cercle C(Q,r) de centre O et de rayon r non nul, sécant avec l'axe des abscisses. On note L1 et L2, de coordonnées respectives (À1,0) et (Ag, 0), avec Al < À2, les deux points d'intersection de C (O, r) avec l'axe des abscisses. Soit A : (î g) une matrice de cercle propre égal a C(Q, r). On conserve les notations E, F, C, H de III.D. IV.A.1) Montrer que A est diagonalisable. --> -->
IV.A.2) Montrer que si c # 0, alors (L1E , L2E) est une base de R2 constituée 
de vecteurs propres pour f A.

IV.A.3) Lorsque c = O, peut--on donner une base de vecteurs propres pour f A a 
l'aide du cercle propre et du
rectangle propre ?

IV.A.4) Montrer que le carré du cosinus de l'angle de deux vecteurs propres de 
A associés a deux valeurs propres
distinctes est déterminé par le cercle C (O, r), et ne dépend pas du choix 
d'une matrice A de cercle propre égal
C (O, r) (on pourra, si on le juge utile, introduire la projection orthogonale 
de Q sur l'axe des abscisses).

Qu'en est--il si A est symétrique ?

IV.A.5) Oaractériser géométriquement f A lorsque Q = C, avec O = (0,0), et r = 
1.

IV.A.6) Oaractériser géométriquement f A lorsque CPA est le cercle de diamètre 
le segment [0,1] avec [ =
(1,0).

I V.B -- Cercle propre tangent a l'aoee des abscisses

Dans cette section on considère un cercle C (O, r) de centre O et de rayon r 
non nul, tangent a l'axe des abscisses.
On appelle L, de coordonnées (À, 0), le point de contact de C (O, r) avec l'axe 
des abscisses.

Soit A une matrice de cercle propre égal a C (O, r).

2013--04--16 14:30:22 Page 3/4 @C) BY--NC-SA

IV.B.1) La matrice A est--elle diagonalisable ? Est--elle trigonalisable ?
IV.B.2) Peut--on donner un vecteur propre a l'aide des points L, E, F , G et H ?

IV.B.3) Que peut--on dire des matrices dont le cercle propre est tangent a 
l'axe des abscisses et de centre situé
sur l'axe des ordonnées ?

IV.B.4) Montrer qu'il existe un unique réel non nul oz tel que A soit 
directement orthogonalement semblable

a la matrice T,\,a : (à î).

Préciser oz a l'aide des éléments de la matrice A.
Où peut--on retrouver ce nombre sur le cercle propre ?

IV.B.5) Montrer qu'il existe une base orthonormée directe (e1,e2) du plan telle 
que l'on ait, pour tout u de
R2, fA(u) : Àu + oz(e2lu)e1.

I V.C -- Cercle propre disjoz'nt de l'aoee des abscisses

Dans cette section on considère un cercle C (Q, r) de centre Q et de rayon r > 
0 disjoint de l'axe des abscisses.
On note K le projeté orthogonal de Q sur l'axe des abscisses.

Soit A une matrice de cercle propre égal a C (Q, r).

IV.C.1) Existe--t--il une matrice P de GL2(R) telle que la matrice P _1AP soit 
diagonale ?

Existe--t--il une matrice P de GL2(R) telle que la matrice P _1AP soit 
triangulaire supérieure ?

IV.C.2) Déterminer les points de C (Q, r) en lesquels la tangente a C (Q, r) 
contient K.

IV.C.3) Si U est l'un de ces points, exprimer les valeurs propres de A, 
considérée comme élément de M2(C),
a l'aide de l'abscisse de K et de la distance KU de K a U .

IV.D -- Deuoe eoeemples

. . . b .
Dans cette section, on cons1dere dans R2 un cercle C(Q, r) de centre Q et de 
rayon r et A : (î ) une matrice

d
de cercle propre égal a C (Q, r).
IV.B.1) Dans cette question, Q = (04,5) E R >< R*, r : fil et E : (oz + l5l,5). Préciser les valeurs propres de A et donner une matrice B dont les termes non diagonaux sont opposés et qui soit directement orthogonalement semblable a A, ainsi qu'une décomposition orthogonale de l'endomorphisme canoniquement associé a B. IV.B.2) Dans cette question Q = (0, oz) avec oz > 0 et r : a/2.

Préciser les valeurs propres A et donner une matrice B dont les éléments non 
diagonaux sont opposés et qui
soit directement orthogonalement semblable a A, ainsi qu'une décomposition 
orthogonale de l'endomorphisme
canoniquement associé a B.

Faire un dessin dans le cas où oz : 6 illustrant les questions IV.C.2 et IV.C.3.

V Quadrique propre

a !)
PourA--(C d

a--oe--iz b--y
c+y d--oe--iz

) de M2(R) et (ac, y, z) de R3, on note wA(oe, y, z) la partie réelle du 
déterminant de la matrice

), où i est l'affixe complexe du point ] = (0,1).

V.A --

V.A.1) Calculer wA(oe, y, z).

V.A.2) Préciser la nature de la quadrique 7--[A d'équation wA(oe, y, z) = O.

V.B --

V.B.1) Préciser l'intersection de 7--[A avec le plan d'équation z = O.

V.B.2) Préciser l'intersection ZA de 7--[A avec le plan d'équation :E = (a + 
d)/2.
V. C' --

V.C.1) Si la matrice A a deux valeurs propres non réelles, comment voir les 
valeurs propres de A sur "HA ?
(On pourra s'intéresser a l'intersection de Z A avec le plan d'équation y = 0.)

Peut--on voir une base de vecteurs propres a l'aide de "HA ?

7) faire un dess1n en perspective 1llustrant ce qui precede.

V.C.2) Dans le cas où A = (_1 3

oooFINooo

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