Centrale Maths 2 PC 2014

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sur le corps @ des nombres
complexes.

Soient F et G deux sous--espaces supplémentaires de E (ie. E = F GB G). On 
appelle symétrie (vectorielle) de
E par rapport à F parallèlement à G l'endomorphisme s de E défini par V(y, z) 
EUR F >< G, s(y + z) = y -- z. Pour tout endomorphisme u de E, on pose F,, = Ker(u -- Id E) et G,, = Ker(u + Id E) LA -- Symétries et involuti0ns I.A.1) Soient F et G deux sous--espaces supplémentaires de E et s la symétrie par rapport à F parallèlement à G. (1) Montrer que F = F3 et G = G,. b) Montrer que s o s = Id E. En déduire que s est un automorphisme de E. 0) Déterminer les valeurs propres et les sous--espaces propres de 3. On discutera selon les sous--espaces F et G. I.A.2) Soit 3 un endomorphisme de E tel que s o s = IdE. On pose F = Ker(s -- IdE) et G = Ker(s + IdE). (1) Montrer que F et G sont deux sous--espaces supplémentaires de E. b ) En déduire que s est une symétrie dont on précisera les éléments. LB -- Couples de symétries qui anticommutent I.B.1) Soient s et 15 deux symétries de E qui anticommutent, c'est-à--dire telles que s o t + t o s = 0. a) Prouver les égalités t(F3) = G3 et t(G3) = F3. b ) En déduire que F 8 et G 3 ont la même dimension et que n est pair. I.C -- H--systèmes On appelle H--système d'endomorphismes de E toute famille finie de symétries de E qui anticommutent deux a deux, c'est--à--dire toute famille finie (S1, ..., Sp) d'endomorphismes de E tels que V7:7£j SZ°Sj+S_ÏOS'L :D De même, on appelle H--système de matrices de taille n toute famille finie (Al, ..., A,) de matrices de M,,(C) telles que w A3 =1,, Vi;£j A,A,+A,A, =0 Dans les deux cas, p est appelé longueur du H--système. I.C.1) Montrer que la longueur p d'un H--système d'endomorphismes de E est majorée par n2. I.C.2) Montrer que l'existence d'un H--système (S1, ..., Sp) de E équivaut à l'existence d'un H--système de matrices de taille n. En déduire que la longueur d'un H--système de E ne dépend que de la dimension n de E et pas de l'espace E. On note p(n) le plus grand nombre entier p > 1 tel que E admet un H-système de 
cardinal p.

I.C.3) Soit n un entier impair. Prouver que p(n) : l.

I.D -- Majoration de p(n)

I.D.1) On suppose ici que n est pair et on pose n : 2m. On considère :

-- un H--système (Sl,..., Sp, T, U) de E,

-- le sous--espace E0 : FT : Ker(T -- Id),

-- pour j EUR [[l,p]], l'endomorphisme Rj : iU 0 S, de E.

a ) Montrer que, pour tout j EUR [[1, p]], le sous--espace E() est stable par 
R,.

b) Pour j EUR [[l,p]], soit sj l'endomorphisme de E0 induit par R,... Montrer 
que (sl, ..., sp) est un H--système
de E0.

c) En déduire p(2m) < p(m) + 2. I.D.2) Montrer que si n : 2dm avec m impair, alors p(n) < 2d + 1. LE -- Constructions de H--systèmes maoeimauoe I.E.1) Soient N : p(n) et (al, ..., aN) un H--système de matrices de taille n c'est--à--dire tel que En considérant les matrices suivantes de M2n((Ü) écrites par blocs _ a, 0 . _ 0 I,, _ 0 il,, Aj _ (0 _aj) (] EUR H17Nll)7 AN--l--1 _ (In 0 7 AN--l--2 _ _lln 0 7 montrer que p(2n) > N + 2.

I.E.2) Déterminer p(n) en fonction de l'unique entier d EUR IN tel que n 
s'écrive n : 2dm avec m impair.

I.E.3) Écrire, pour chacun des entiers n = l, 2, 4, un H--système de matrices 
de taille n de longueur p(n).

II Quaternions et sommes de quatre carrés

Pour (a, 19) EUR C2, on désigne par M(a, b) la matrice carrée complexe M(a, b) 
: (î _OEb) EUR M2(C).

Une matrice de la forme M (a, 19) sera appelée quaternion. On considèrera en 
particulier les quaternions @ = 12 :
M(1,0), ] : M(O, 1), J : M(i,0), K : M(O, --i) et on notera IH : {M(a, b) l (a, 
b) EUR C2} le sous--ensemble de
M2(C) constitué par tous les quaternions.

On veillera à ne pas confondre la matrice ] : M(O, l) et la matrice unité 12 = 
c : M(1,0).

II.A -- Le « corps » des quaternions

On munit l'ensemble C' : M2(C) des matrices complexes à deux lignes et deux 
colonnes de l'addition +, de la
multiplication >< usuelles et de la multiplication par un réel notée - et définie usuellement par a b Àa Àb VÀEIR, VM_(C d)eC', À-M_(ÀC Ad) On rappelle que (C' , +, ><, -) est une algèbre sur le corps IR des réels. II.A.1) a ) Donner, sans justification, une base et la dimension de C' sur le corps IR. b) Montrer que [H est un sous--espace vectoriel réel de C' et que {e, I , J , K } en est une base sur le corps IR. c) Montrer que [H est stable par multiplication. II.A.2) Montrer que (ll--| \ {O}, ><) est un sous--groupe non commutatif du groupe linéaire (GL2(C), ><). (ll--|, +, ><) a toutes les propriétés d'un corps sauf la commutativité de >< : on dit que c'est un anneau à divisions (ou, parfois, un corps non commutatifi. II.A.3) a ) Calculer les produits deux a deux des matrices e,] , J , K . On présentera les résultats dans une table a double entrée. b) En déduire que (il , iJ , iK ) est un H--système. II.B -- Conjugaison et normes Ainsi tout élément q E [H s'écrit de manière unique q : wc + y] + zJ + tK avec a:, y, z, t E IR. Pour :o, y, z, t E IR et q : oee+yl+zJ+tK E [H on pose q* : oee--yl--zJ--tK EUR IH et N(q) : :c2+y2+2:2+t2 EUR IR+. II.B.1) a) Vérifier que, pour tout q E [H, q* est la transposée de la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de (1. 2014--02-10 12:32:41 Page 2/4 OE=C BY-NC-SA b} En déduire que, pour tout (q,r) EUR [H2, (qr)* : r*q*. c) Montrer que q** = q pour tout (1 E [H et que q l--> q* est un automorphisme 
du lR--espace vectoriel [H.

d) Pour q E [H, exprimer qq* a l'aide de N (q) En déduire la relation valable 
pour tout (q, 7") EUR IH2
N (Q"'") = N (CDN (?")

II.B.2) &) Soient (oe,y, z,t) EUR IR4 et q : ace + y] + Z.] + tK. Exprimer la 
trace de la matrice q EUR M2(C) en
fonction du réel oe.

b} En déduire que, pour tout (q, 7") EUR [l--l2, qr -- rq = q*r* -- r*q*.
c} Soient &, b, c, d des quaternions. Établir la relation (acb*)d + d*(acb*)* : 
(acb*)*d* + d(acb*).
En déduire l'identité (N(a) + N(b))(N(C) + N(d)) : N(ac -- d*b) + N(bc* + da).

III Un théorème de Hurwitz

Soit un entier naturel n > 1. On munit IR" du produit scalaire usuel et de la 
norme euclidienne usuelle définis,
pour tout X = (oe1,....,aÿ,,) et Y : (y1, ...,y,,) de IR", par

(XiY)=ZOE.-y. et iXi=,/£oeä
z'=1 k=1

L'objet de cette partie est d'étudier l'existence d'une application bilinéaire 
B,, : (IP")2 --> IR" vérifiant
vx. Y = nan. iiB.H = ... >< ... (HM) III.A -- Des formules pour n = 1, 2, 4, 8 III.A.1) Montrer l'existence d'une telle application bilinéaire B,, lorsque n est l'un des entiers 1, 2, 4. Pour n = 2 (respectivement 4) on pourra considérer le produit de deux nombres complexes (respectivement de deux quaternions). III.A.2) En utilisant la question II.B.2 montrer, pour n = 8, l'existence d'une application bilinéaire vérifiant (111.1). On ne demande pas d'expliciter une application bilinéaire Ba: mais seulement de prouver son existence. III.B -- Le théorème de Hurwitz Dans la suite on suppose que n > 3 et qu'il existe une application bilinéaire B 
telle que
VX,Y EUR IR", HXH >< HYH : HB(X,Y)H (111.2) Soit (el, ..., e,,) la base canonique de il?" et, pour 72 EUR [[1, n]], soit u,- l'endomorphisme de il?" défini par VX EUR IR", u,(X) : B(X,e,) La matrice de u,- dans la base canonique de IR" sera notée A,. III.B.1) &) Prouver que, pour tout X EUR IR", on a VY = (311. ---7yn) EUR 'an Z y,y,(u,(X)lu,-(X)) : |lel2 î:in ij=1 i=1 b} En déduire que les endomorphismes u,- vérifient les relations v... = 1. ...,n,VX @ nan. iiu.i = ... et 1=1= (u. n -- 1 où p(n) est défini dans la 
section 1.0.
III.B.3) Prouver que n est élément de {1,2,4,8}.

IV Représentation des parties de N et quelques algorithmes

Soient X et Y deux parties de IN. On note X + Y l'ensemble des sommes d'un 
élément de X et d'un élément
de Y, c'est--à--dire X+Y : {oe+y \ oe EUR X,y E Y} C IN.

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Dans les questions suivantes, on supposera que les parties X et Y considérées 
contiennent 0 de sorte que X + Y
contiendra toujours X et Y.

Soit N E l]\l*. On représente une partie X de [[O, Nl] par le tableau A indexé 
de 0 a N, tel que, pour 72 E [[O, Nl],
on ait Ali] : 1 si 72 EUR X, Ali] : 0 sinon.

I V.A -- Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure 
carres telle que, pour N E l]\l*,
carres(N) retourne le tableau associé a l'ensemble des carrés inférieurs ou 
égaux a N . On n'utilisera pas la
fonction racine carrée.

On note 5" = {l, 2, 3, 5, 7, ...} C IN la réunion de {l} et de l'ensemble des 
nombres premiers.

Le crible d'Ératosthène est l'algorithme qui, dans un tableau des entiers de 1 
a N, consiste a :

-- a l'étape 1, supprimer les multiples de 2 strictement supérieurs a 2 ;

-- a l'étape 2, supprimer les multiples de 3 strictement supérieurs a 3 ;

-- a l'étape k, supprimer les multiples stricts du plus petit entier pk qui n'a 
pas encore été supprimé.

À la fin du processus, les entiers supérieurs ou égaux a 2 qui n'ont pas été 
supprimés sont les nombres premiers
inférieurs ou égaux a N . (On ne demande pas de justifier ce résultat.)

I V.B -- Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure 
Eratosthene utilisant l'al--
gorithme ci--dessus et telle que, pour N E l]\l*, Eratosthene (N) retourne le 
tableau C associé a l'ensemble
X = {p EUR 5" l p < N} U {0}. On rappelle que C est un tableau de 0 et de 1, indexé de 0 a N et caractérisé par Clil=l <=> i=Oou(l<) un anneau commutatif. Pour p EUR l]\l*, on note C,,(A) l'ensemble des sommes de p carrés d'éléments de A. Prouver que pour tout anneau A, les ensembles C,,(A) sont stables pour la multiplication lorsque p vaut 1, 2, 4 ou 8. On pourra utiliser les formes bilinéaires B,, définies partie III et, éventuellement, se limiter au cas où l'anneau A est l'anneau Z des entiers relatifs. V.B -- Le théorème des quatre carrés On note @ : {me + y] + zJ + tK } a:, y, z, t E Z} l'ensemble des quaternions « entiers >>.

V.B.l) &) Montrer que G est un sous--groupe de [H pour l'addition et qu'il est 
stable par multiplication.

b} Montrer que pour tout (1 E [H, il existe ,a E @ tel que N(q -- u) < 1. c) Quel est l'ensemble des q E [H tels que Vu EUR @, N(q -- u) > 1 ?

V.B.2) Soit p un nombre premier impair. Pour tout entier 7" EUR Z, on note 
g0(r) le reste de la division euclidienne
de r2 par p. On a donc 0 < Sû("l") < p-- 1 et r2 -- g0(7") EUR pZ. &) Montrer que la restriction de go a {(), ..., 521} est injective. b) On considère les ensembles X = {p-- go(r) l 0 < r < %} et Y : {go(s) + 1l0 < 3 < %} Montrer que X et Y sont inclus dans {l, ..., p} et que leur intersection est non vide. En déduire qu'il existe U,?) E {O, ..., %} et m EUR {1,...,p -- 1} tels que u2 + 112 + 1 : mp. V.B.3) On suppose encore que p est un nombre premier impair. Justifier qu'il existe m EUR {1,...,p -- 1} et u : me + y] + zJ + tK EUR © \ {0} tels que N...) : mp. On choisit m minimal et on suppose que m > 1.

&) Montrer que si m était pair, un nombre pair des entiers m, y, z, t serait 
impair et aboutir a une contradiction.
/ . _ + 2+ 2
On pourra ecrire (%)2 + (%)2 = --OE ;" .
b) On suppose m impair. Montrer qu'il existe 1/ EUR @ tel que N(,u -- mu) < m2. c) Prouver que u' : %u(u -- mu)* est dans G \ {O} et que N (m') est un multiple de p strictement inférieur a mp. Oonclure. V.B.4) Montrer que tout entier naturel est somme de quatre carrés d'entiers. oooFlNooo 2014--02-10 12:32:41 Page 4/4 lËC BY-NC-SA