Centrale Maths 2 PC 2016

Mathématiques 2
PC

4 heures Calculatrices autorisées

2016

Dans tout le texte, N est l'ensemble des entiers naturels, [R l'ensemble des 
réels, n désigne un entier naturel
supérieur ou égal à l et [R,JX] est l'ensemble des polynômes à coefficients 
réels de degré au plus n.

Pour a < b dans Z, on note [[a, b]] l'ensemble (a, b] 0 Z. Pour le EUR D\l*, on note Pk le polynôme ka1. On rappelle que IRn(X] est un [R--espace vectoriel de dimension n+l dont la famille (Pk) kEUR[Ü'n +1l] est une base. Pour P EUR Gîan], on note deg(P) le degré de P et, lorsque P est non nul, cd(P) désigne le coefficient dominant de P, c'est--à--dire le coefficient du monôme Xdcg(P>.

k: le!
Pour le EUR N et j EUR [[0, le], le coefficient binomial _ vaut _.
] J!(k -- J)!

Pour un ensemble E et f : E + E, on définit par récurrence sur k; EUR Ù\l 
l'application fk : E --> E de la façon
suivante :
f() : ldE et fk+l : f 0 fk

Si f est bijective, on note fi1 la réciproque de f et pour le EUR N, on note 
fik : (fil))?

Pour p EUR N*, on note Mp(lR) l'ensemble des matrices carrées réelles de taille 
p.

I L'opérateur de translation et l'opérateur de différence

I.A -- L'opérateur de translation

L'opérateur de translation est l'endomorphisme T de [Ran] donné par

, . {MX} --> MX}
' P(X) |--> P(X+l)
I.A.1) Pour un polynôme non nul P EUR Üîn(X], exprimer deg(r(P)) et cd(r(P)) a 
l'aide de deg(P) et cd(P).
I.A.2) Soit P EUR [RÆX]. Pour le EUR N, donner l'expression de 7'k (P) en 
fonction de P.

I.A.3) Donner la matrice M : (M

...-)1 "?anl
' P(X) l--> P(X + 1) -- P(X)

I.B.1) Pour un polynôme non constant P EUR R,,]X], exprimer deg(ô(P)) et 
cd(6(P)) à l'aide de deg(P) et
cd(P).
1.8.2) En déduire le noyau ker(6) et l'image lm(ô) de l'endomorphisme 6.

I.B.3) Plus généralement, pour j EUR []l,n]], montrer les égalités suivantes :
ker(ôj) : [RJ--ÿl]X] et Im(cW) : [R...,--]X] (1.3)

I.B.4) Pour [EUR EUR IN et P EUR lR,,]X], exprimer 5'"(P) en fonction des Tj(P) 
pour j EUR ]]0, k]].
I.B.5) Soit P EUR [RnEUR1le- Montrer que

Î<--1>W(")PU> = 0 (L4)

j=0

I.B.6) Dans cette question, on se propose de montrer qu'il n'existe pas 
d'application linéaire u : R,, ]X ] % [Rn ]X ]
telle que u 0 u : 6 . On suppose, par l'absurde, qu'une telle application u 
existe.

a ) Montrer que u et 52 commutent.
b) En déduire que [Rl]X ] est stable par l'application u.
c) Montrer qu'il n'existe pas de matrice A EUR M2(IR) telle que

2* 0 1
A --(0 o)
d) Conclure.

I.B.7) Dans cette question, on cherche tous les sous--espaces vectoriels de R,, 
]X ] stables par l'application 5 .

a) Pour un polynôme non nul P de degré d < n, montrer que la famille (P, 6 P), 5d(P)) est libre. Quel est l'espace vectoriel engendré par cette famille '? b) En déduire que si V est un sous--espace vectoriel de [R,,]X ] stable par 5 et non réduit à {0}, il existe un entier d EUR ]]Û,n]] tel que V : Rd]X]. II Applications en combinatoire Pour tout couple (p, k) d'entiers naturels non nuls, on note S (p, [EUR) le nombre de surjections de ]]1, p]] dans ]]1, k]]. De façon cohérente, pour tout p EUR N*, on pose S(p, O) = O. II.A * Quelques cas particuliers II.A.1) Que vaut S(p,n) pour p < n ? II.A.2) Déterminer S(n, n). II.A.3) Déterminer S(n + 1,71). II.B * Recherche d'une empression générale II.B.1) Combien y a--t--il d'applications de []1, p]] dans []1, n]] '? II.B.2) Pour p 2 n, établir la formule nP= " (Z)S(p,k) (111) où S(p, O) = 0 par convention. II.B.3) En déduire une expression de S(p, n) pour p 2 n. II.B.4) En relisant la question I.B.5, commenter la cohérence de cette expression pour p < n. II. C -- Simplifier autant que possible les expressions suivantes : Z(_1)nfk (Z) ku et Z(_1)nfk: ("> kn+1
k=0 k=0 "'

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III Étude d'une famille de polynômes

On considère la famille de polynômes
H0 : 1

k'+1
Hk : % H)(X--j) pour % EUR [[LTLl
]:

III.A + Généralités

III.A.1) Montrer que la famille (Hk)ke[[0.nfl est une base de Ûîn{X].

III.A.2) Calculer 5(H0) et, pour [EUR EUR [[1,n]], exprimer 5(Hk) à l'aide de 
ka1-

III.A.3) La matrice M définie à la question l.A.3 et la matrice M' de taille 11 
+ 1 donnée par

1 1 0 0
0 .. --. s

M': = 0
1

0 0 1

sont--elles semblables ?
III.A.4) Montrer que, pour k, l EUR [[O,n]],

ôk--{a

III.A.5) Montrer que, pour tout P EUR Rn{X],

P = (ôk(P))(0)Hk

k=0
III.B + Étude d'un eæemple

III.B.1) Donner les coordonnées du polynôme X3 + 2X2 + 5X + 7 dans la base (H0, 
H1, H2, H3) de [Rng].
III.B.2) En déduire un polynôme P EUR [R5{X] tel que

62(P) : X3 +2X2 +5X+7
III.B.3) Déterminer les suites réelles (uk)kEURN telles que
uk+2--2uk+l+uk=k3+2k2+5k+7 (keN)

III.C + Polynômes à valeurs entières

III.C.1) Soit [EUR EUR Z. Calculer Hn (k). On distinguera trois cas : [EUR EUR 
[[O,n -- l]], le 2 n et [EUR < 0. Pour ce dernier cas, on posera k : --p. III.C.2) En déduire que Hn (Z) C Z, c'est--à--dire que H" est à valeurs entières sur les entiers. III.C.3) Soit P EUR Rn{X] à valeurs entières sur les entiers. Montrer que 5(P) est aussi à valeurs entières sur les entiers. III.C.4) Montrer que P EUR [R,JX] est à valeurs entières sur les entiers si et seulement si ses coordonnées dans la base (H k) kEUR[lÛml sont entières. III.C.5) Soit P EUR MX] de degré d EUR D\l. Montrer que si P est à valeurs entières sur les entiers alors d!P est un polynôme à coefficients entiers. Étudier la réciproque. IV Généralisation de l'opérateur de différence et application Pour une application f : [Rî --> [R de classe 600, on définit l'application

[Rî-->[R
5U)îlm-->f(m+D--f@)

IV.A +
IV.A.1) Montrer que 5(f) est de classe 800 sur [Rî. Comparer (5(f)), et 5(f').

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TL

_) et des f(oe+j) (où

IV.A.2) Pour 71 EUR N et a: > O, exprimer (6"(f))(oe) a l'aide des coefficients 
binomiaux (
.?

l'indice j appartient à [[O,n]]).
IV.A.3) Expliquer pourquoi, pour tout a: > 0, il existe un 111 EUR ]0, li tel 
que

(5(f))(OE) = f'(OE + %)

IV.A.4) En déduire que pour tout 95 > O, pour tout 71 EUR D\l*, il existe un 
y,, EUR ]0, nl tel que

]

" (--1)"_j (?) f(OE+J') = f("'(æ+yn)- (IV-1)
=()

On pourra procéder par récurrence sur n EUR W et utiliser les trois questions 
précédentes.

I V.B * On considère dans toute la suite de cette partie un réel &. On suppose 
que pour tout nombre p premier,
pa est un entier naturel. On se propose de montrer que oz est alors un entier 
naturel.

IV.B.1) Montrer que pour tout entier le strictement positif, k°' appartient à 
D\l*.
IV.B.2) Montrer que oz est positif ou nul.

IV.B.3) On considère l'application fa définie sur [R*+ par fa (SC) : 33". 
Montrer que oz est un entier naturel si
et seulement si l'une des dérivées successives de ]",l s'annule en au moins un 
réel strictement positif.

I V.C * On applique la relation (l\/l) a la fonction fa et à l'entier n = La} + 
1 (où U désigne la partie
entière). On choisit désormais 33 EUR N*.

IV.C.1) Montrer que l'expression

.. (--1>"*fl'(">fi.<æ + j) -=O .] J est un entier relatif. IV.C.2) Les notations sont celles de la question IV.A.4. Quelle est la limite de l'expression fg"(oe + yn) quand 25 EUR IN* tend vers +oo '? IV.C.3) Conclure. oooFlNooo 2016--01--05 11:12:58 Page 4/4 ("à BY--NC-SA