Centrale Maths 2 PC 2018

1, Mathématiques 2
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EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2018

Objectifs et notations

Le fil conducteur du problème est l'étude de certaines questions liées à la 
fonction zêta, notée Ç, définie par

00 1
@@ = n=1"_æ

-- Dans la partie l, on introduit la fonction EUR et on étudie son allure 
(variations, limites, courbe représentative).

-- La partie Il étudie une fonction f définie comme la somme d'une série de 
fonctions. Le développement en
série entière de la fonction f fait intervenir la fonction Ç.

-- La partie III utilise la fonction Ç pour construire une loi de probabilité 
sur IN* et montrer des résultats liant
les probabilités et l'arithmétique.

I Fonction zêta

On note Ç la fonction de la variable réelle 9: définie par

+00 1
C(OE) = Æ
n=l
On note DC son ensemble de définition.
Q 1. Déterminer DÇ.
Q 2. Montrer que C est continue sur ÿç.
Q 3. Étudier le sens de variation de C.
Q 4. Justifier que Ç admet une limite en +oo.
n+1 n
dt 1 dt
Q5. SoitæEURDçetsoitnEURNtelquen22.Montrer: /--<--< --. tOE nm 759" n nil Q 6. En déduire, que pour tout 93 EUR DC, 1 + 1 < Ç( ) < 1 + 1 (oe-1)2H \ oe \ oe--l Q 7. Déterminer la limite de Ç(3:) lorsque 3: tend vers 1 par valeurs supérieures. Q 8. Déterminer la limite de Ç(a:) lorsque 55 tend vers +oo. Q 9. Donner l'allure de la courbe représentative de EUR . II Étude d'une fonction définie par une somme Dans cette partie, f désigne la fonction définie par On note Df l'ensemble de définition de f. II.A -- Ensemble de définition et variations Q 10. Déterminer DJ». Q 11. Montrer que f est continue sur Dj et étudier ses variations. II. B -- Équivalents Soit [EUR EUR D\l*. Q 12. Calculer f(k). Q 13. En déduire un équivalent de f en +00. Q 14. Pour tout 33 EUR Df, vérifier que 33 + k EUR Dj, puis calculer f(3: + k) -- f(x). Q 15. En déduire un équivalent de f en --k. Quelles sont les limites à droite et à gauche de f en --k '? II.C -- Série entière On considère la série entière de la variable réelle ac donnée par 2 (--1)'"Ç(k + 1):ck . kEURN* Q 16. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière. Y a--t--il convergence en :c = ::R '? Q 17. Montrer que f est de classe C"'°° sur Dj et calculer f(k>(oe) pour tout 
33 EUR Df et tout k EUR *.
Q 18. Montrer qu'il existe A EUR IR*+ tel que

1
* _ (@ g ! A _
VkEURN,VoeEURl 1,1[, lf (OE)l k< +(OE+1)z...) Q 19. En déduire que f est développable en série entière sur ]--1, 1[ et que +oo Vsc EUR ]-1,1[, f(oe) = Z(--1)kç(k + 1)oek k=1 II. D -- Intégrales Q 20. Déterminer pour quels 35 EUR [R l'intégrale ci--dessous est convergente 1 1 tm-- dt /... 0 1 Q 21. En remarquant que, pour tout t EUR [0,1[7 m = 2 t", montrer que n=0 1 VæEUR]--1,+oo[, f(oe)=/1:tldt 0 Q 22. Déduire des questions précédentes une expression intégrale de Ç(k + 1) pour tout k EUR D\l*. Q 23. Montrer enfin que +00 1 VlEUREURlN*, ÇUEUR+1)=Ë/ '0 uk d e"--1 u III Probabilités Rappels d'arithmétique On rappelle ici quelques propriétés élémentaires d'arithmétique. -- Pour tout (a, b) EUR D\l*2, on dit que @ divise b s'il existe k EUR IN* tel que b : ka. On dit aussi que a est un diviseur de b, ou encore que b est multiple de a. Pour tout (1 EUR D\l*, on note alN* l'ensemble des multiples de a dans D\l*. Ainsi, et divise b si et seulement si b EUR aN*. -- Pour tout (a, b) EUR D\l*2, le plus grand commun diviseur (PGCD) de a et b est l'entier naturel noté 0. /\ b tel que a /\ b = max {n EUR D\l* tel que n divise @ et n divise b} -- Pour tout (a, 17) EUR IN*2 et tout n EUR N', on a l'équivalence n divise @ /\ b (=> n divise @ et n divise b

-- On dit qu'un entier naturel p supérieur ou égal à 2 est un nombre premier si 
ses seuls diviseurs sont 1 et p.
Soit ? l'ensemble des nombres premiers. On rappelle que ? est infini.

On note pl < 192 < p3 < < p,, < pn+1 < la suite des nombres premiers rangés dans l'ordre croissant. Ainsi, pl : 2, p2 : 3, 193 = 5, etc. -- Si n EUR D\l*, si (11, ..., q,, sont des nombres premiers distincts et, alors pour tout @ EUR D\l*, on a l'équivalence n (Vi EUR [[1,n]], q, divise a) (=> Hq, divise a
i=1

-- Pour tout 0. EUR IN* tel que a. 2 2, il existe p EUR ? tel que p divise a.

III.A -- Loi zêta

Q 24. Soit 50 EUR [R tel que ce > 1. Montrer qu'on définit la loi de 
probabilité d'une variable aléatoire X à
valeurs dans W en posant

1
Ç(OEW

On dira qu'une telle variable aléatoire X suit la loi de probabilité zêta de 
paramètre x.

VnEUR D\l*, [P(X=n) :

Dans les questions suivantes de cette sous--partie III.A, on suppose que X est 
une variable aléatoire qui suit la
loi zêta de paramètre x > 1.

Q 25. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $ pour que X 
admette une espérance finie.
Exprimer alors cette espérance a l'aide de C.

Q 26. Plus généralement, pour tout [EUR EUR IN, donner une condition nécessaire 
et suffisante portant sur x pour
que X k admette une espérance finie. Exprimer alors cette espérance a l'aide de 
Q.

Q 27. En déduire la variance de X.

1
Q 28. Montrer que, pour tout @ EUR D\l*, [P(X EUR aN*) : Ê'

III.B -- Mutuelle indépendance

Soit 3: un réel tel que sc > 1 et soit X une variable aléatoire qui suit la loi 
zêta de paramètre 93.
Soit enfin (gl, ..., q,,) EUR ?", un n--uplet de nombres premiers distincts.
Q 29. Montrer que les événements (X EUR q1D\l*), ..., (X EUR q,,N*) sont 
mutuellement indépendants.

Cela entraine, et on ne demande pas de le démontrer, que leurs complémentaires 
sont mutuellement indépen--

dants.
n

Pour tout n EUR D\l*, on note Bn l'événement B,, = m (X (;Ë pkù\l*).

k=1
Q 30. Montrer que lim IP(B,,) : IP(X : l). En déduire que
"*)00
l _ " l
VoeEUR]l,+oo[, _: lim 1----
Ç(OE) "n+°° k=1 p£

III.C -- Deus: variables indépendantes suivant une loi zêta

Soit 95 EUR [R tel que oe > 1. Soient X et Ydeux variables aléatoires 
indépendantes suivant chacune une loi de
probabilité zêta de paramètre 35. Soit A l'événement « Aucun nombre premier ne 
divise X et Ysimultanément ».

Pour tout n EUR N', on note C,, l'événement
0. = 0 ((X $ p.N*> u (Y & p.N*>)
k=1

Q 31. Exprimer l'événement A à l'aide des événements C'". En déduire que

II.D -- Dean: variables indépendantes suivant une loi uniforme

Soient Un et Vn deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme 
sur |Ïl, n]]. On note Wn : Un AV".
Q 32. Pour tout [EUR E W, montrer que

71

[Pan EUR klN*) : (ln/M )2

On admet que, pour tout [EUR E W, la suite (IP(W

" = k)),OEW converge vers un réel @.
Q 33. Montrer que

VE>Û, EMEN*telqueVmEURN*,màM=>l--e< êkg1 k=l Q 34. En déduire que (Æk)kEURw définit une loi de probabilité sur D\l*. On note W une variable aléatoire sur IN* qui suit cette loi de probabilité. En adaptant la méthode de la question 33, on peut établir que, pour tout partie B de D\l*, [P(W E B) : lim [P(Wn E B). On ne demande pas n-->oo

de démontrer ce résultat.

Enfin, on admet le résultat suivant : si X et Ysont deux variables aléatoires à 
valeurs dans IN* et si, pour tout
a E W, IP(X EUR alN*) : [P(Y EUR alN*), alors X et Yont la même loi de 
probabilité.

Q 35. Préciser la loi de W. En considérant Ë1, que peut--on alors en conclure ?

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