Centrale Maths 2 PC 2019

Mathématiques 2 OO
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4 heures Calculatrice autorisée ON

Le sujet est composée de trois parties.

Dans la partie I, on définit une suite (a, ), d'entiers naturels via le 
développement en série entière d'une fonction
auxiliaire et on s'intéresse en particulier à la suite extraite (a:,,1), formée 
des termes de rang impair.

Dans la partie IT, on détermine un équivalent, lorsque n tend vers l'infini, de 
a,,,, en faisant appel à des outils
analytiques et notamment à la fonction zêta de Riemann.

Dans la partie IIT, on définit les permutations alternantes. On procède d'abord 
à leur dénombrement, avant de
s'intéresser à des aspects probabilistes.

La partie II fait appel, très ponctuellement, à des résultats de la partie I. 
La partie III utilise des résultats des
parties I et IT.

I Introduction d'une fonction auxiliaire

Soit l'intervalle ? = ]|-x/2,7/2[. On considère la fonction f définie sur I par
1 1
COS æ

On note f(7) la dérivée d'ordre n de f et, par convention, fl0 -- f.

IA --  Dérivées successives
Q 1. Exprimer les dérivées f', f" et f(%) à l'aide des fonctions usuelles.
Q 2. Montrer qu'il existe une suite de polynômes (P,),en à coefficients réels 
telle que
P,(snx)
VneN, Vrel, Gr) =
f() (cos x)"+1

On explicitera les polynômes F,, P,, P,, P, et, pour tout entier naturel n, on 
exprimera P,., en fonction de P,
et P'.
n

Q 3. Justifier que, pour tout entier n > 1, le polynôme P, est unitaire, de 
degré n et que ses coefficients
sont des entiers naturels.

Q 4. Montrer
Vzel, 2f'(x) = f(x)? +1.
Pour tout entier naturel n, on pose a, = fl"(0) = P, (0).
Q 5. Montrer 2a, = af + 1 et
k _ nm
Vn EUR N*, 2@,,1 = ÿ L ApAn_g
k=0

I.B --- Développement en série entière

2. A a
On note À le rayon de convergence de la série entière --x" et g sa somme.
y g
n!

neN
Q 6. À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer
LR
VNEN, Vrel0,r/2X, Jr" < f(x). es mi 2019-03-26 11:18:34 Page 1/4 CHELLES Q 7. En déduire la minoration À > x/2.

Q 8. Montrer

Q 9. Montrer
Vxel, f(x) = g(x).
Considérer les fonctions arctan f et arctan g.
Q 10. En déduire que R = x/2.
I.C -- Partie paire et partie impaire du développement en série entière

Q 11. Justifier que toute fonction h : [1 -- R s'écrit de façon unique sous la 
forme À = p+iavecp:1--R
une fonction paire et 2 : 1 -- KR une fonction impaire.

Q 12. En déduire

+00

a
Vxæe I, tan(x = 2 En ni ani et

-- ( (2n +1)! COS ZX 2

tr

SO

On note t la fonction définie sur 1 par t(x) = tan(x).
Q 13. Pour tout entier naturel n, exprimer #(0) en fonction des réels (a,);e\.
Q 14.  Rappeler, sans justification, l'expression de {" en fonction de t.

Q 15. En déduire

" 2n
Vn E N°, ni -- >, (au LE ) Xp_1 don_2k+1"
k=1

II Équivalent de @., 1]

IT. À -- La fonction zêta
Pour tout s > 1, on pose Ç(s) = > -- ,

Q 16. Montrer que Ç est continue sur |1, +oc|.

+00
I
Q 17.  Encadrer > -- par deux intégrales et en déduire lim Ç(s) = 1.
nd n° S8-->+00

Q 18. Déterminer C(s) tel que
+00 1
Vs EUR I, +00/; > OL JS -- C(s) G(s).
k=1

II.B --- Une formule pour la fonction cosinus

Pour tout entier naturel n et tout réel x, on pose L,(x) -- [cost (cos t)" dt.
0

Q 19. Montrer

Vn e [2,+o0[, VreR. (: _ =.) La) = 22Tr (à) et (: _ æ.) LU) _ Lot),

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Q 20. Montrer

ko

Vn EUR N°, Vz ER, SiN(TX) = T&

Bo (-%)

Q 21. En déduire

Vn e N°, Vxe |0,1{, COS(TX) = : ET pe II (: : =)

IT.C -- Un autre développement de tangente
Dans toute cette sous-partie IL.C, on pose J = [0,1/2[ et, pour tout entier 
naturel n et tout réel x de J,

+0 f +0 92p+1,2p-1
CIE re)

p=l \k=n+1

Q 22. Montrer

+00
vn EN", Vs EUR 1, +00, ) ------ < TT k=n+1 (2k -- 1) 2(5--1) (2n--1)S1 Q 23.  Justifier que, pour tout entier naturel n, la fonction $, est définie sur J. Q 24. Montrer que la suite (S ,) converge simplement sur J vers la fonction nulle. Q 25. En dérivant x + In(cos(rx)), montrer 21,027) Lt) = 8x 1 Vx EUR J, 7 tan(rx) -- HS 2 , 2 + LG nt HR (2k -- 1) Q 26. Montrer 21,,(2x) 1, (x) +00 Vn e N°, Vz ed, rtan(rx) + S,(x) = + T2) Le 2227 --1)(2p)at p=1l Q 27. Montrer l'inégalité { cos(t) < sin(t), pour tout t de [0,x/2|. Q 28. En déduire , 4x Vn e N*, Vx e [0,1 O<--L(x) < --1,(x) n O1 limite Im EUR . puis, pour x EUR |0,1/, la limite Em TL (x) Q 29. En déduire l'égalité +00 Væ EUR J, rtan(rx) = > 2(27 --1)C(2p)x "1.
p=1l
IT.D -- Un équivalent de @,.,;
Q 30. Montrer
2 (277 -- 1) (2n +1)!
Vn EUR N, Qoni1 = ) (n + ) en + 2).

rn2r+2

Q 31. En déduire un équivalent de @:,.,, lorsque n tend vers l'infini.

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III Permutations alternantes

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit (æ,,%,...,x,) une liste de n 
nombres réels. On dit que la liste
(t,,...,2%,) est alternante montante si (--1)'(x;, -- x;_,) > 0 pour tout à EUR 
[2,n]. On dit qu'elle est alternante

descendante si (--1)'(x, -- x; _,) < 0 pour tout à EUR [2,n|]. Autrement dit, la liste (x,,......,x,) est alternante montante si elle vérifie les inégalités x, < %9 > æ3 < %4 > +
Elle est alternante descendante si elle vérifie les inégalités inverses.

Par exemple, (1,5,3,11,8,9) est alternante montante car 1 < 5 > 3 < 11 > 8 <9et (7,4,5,2,12) est alternante descendante car 7 > 4<57>2< 12. On dit qu'une permutation o de l'ensemble [1,n] est alternante montante (respectivement alternante descen- dante) si la liste (o(1),...,o(n)) est alternante montante (respectivement alternante descendante). Par exemple, avec n = 7 et en représentant toute permutation © par la liste des images (o(1),..,o(7)), on constate que (1,5,4,6,2,7,3) représente une permutation alternante montante et (3,2,6,4,7,1, 5) une permu- tation alternante descendante. ITT. À --- Dénombrement des permutations alternantes Q 32. Déterminer les permutations alternantes montantes de [1,n] pour n =2,n=3,n=4. Q 33. Montrer, pour tout n > 2, que le nombre de permutations alternantes 
montantes est égal au nombre
de permutations alternantes descendantes.

Sin > 2, on note B, le nombre de permutations alternantes montantes de [1,n], 
et on convient que £, = B, = 1.

Q 34. Soient k et n deux entiers tels que 2 < k < n et À une partie à k éléments de ]1,n]. On considère les listes (x1,......,x,) constituées de k éléments deux à deux distincts de À. Montrer que le nombre de ces listes qui sont alternantes montantes est égal à 5,. Le nombre de celles qui sont alternantes descendantes est le même, mais on ne demande pas de le justifier. TL n Q 35. Montrer, pour tout entier n Z 1, 26,,1 -- > (.) Brbn_x:
k=0

Pour k EUR [0,n], dénombrer les permutations o alternantes (montantes ou 
descendantes) de ]1,n +1]
telles que o(k +1) = n +1.

Q 36. En déduire que B, = à,, pour tout n EUR N.
ITII.B - Permutations aléatoires

Pour tout entier n > 2, on munit l'ensemble Q,, des permutations de [1,n] de la 
probabilité uniforme. On note
p, lR probabilité qu'une permutation dans (?, soit alternante montante. On 
convient de plus que po = p, = 1.

Q 37. Montrer que la suite (p,,) tend vers 0. Donner un équivalent de p,,,, 
quand n tend vers l'infini.
On définit une variable aléatoire M, sur Q,, en associant à toute permutation o 
EUR Q, l'entier M, (0) tel que :

-- M,{o) =2 si o(1) > o(
-- M,{o) =3 si o(1) < o(2) < o(3): -- M,{o) = 4 si o(1) < o( N Sn D V À. E V À E -- M,(o) = n+1si cest alternante montante. En d'autres termes, M,{(o) = k+1, où k est le plus grand entier tel que (o(1),...,o(k)) soit alternante montante. On note E(M,,) l'espérance de M... Q 38. Pour tout à EUR ]0,n], montrer P(M, > à) = p,.

in (1 I
Q 39.  Exprimer E(M,,) en fonction de po, p1, ..., p,. En déduire lim E(M,,) = 
--
n--00 COS

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