Centrale Maths 2 PC 2020

Mathématiques 2

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PC ©
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 2 Hèures Calculatrice autorisée CN

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

Soit (Q,.4,P) un espace probabilisé, où 4 est une tribu sur Q et P une 
probabilité sur (Q,.4).
Toutes les variables aléatoires sont discrètes, à valeurs réelles ou complexes, 
définies sur (Q,.4).

Si la variable aléatoire X : Q -- R est d'espérance finie, on note E(X) son 
espérance.

Pour tout nombre complexe z, on note Re(z) sa partie réelle, Im(z) sa partie 
imaginaire et Z son conjugué.

sin æ .
six £O,

On appelle sinus cardinal la fonction définie, pour tout réel x, par sinc(x) --
1 si æ =(.
On admet que cette fonction est continue et que pour tout réel x, [sinc(x)| < 1. On étend aux variables aléatoires discrètes à valeurs complexes la notion d'espérance définie pour les variables aléatoires discrètes réelles. Ainsi, on dit qu'une variable aléatoire discrète à valeurs complexes Z : Q -- C est d'espérance finie si les variables aléatoires réelles Re(Z) et Im(Z) sont d'espérance finie et on définit alors l'espérance de Z par E(Z) = E(Re(Z)) +iE(Im(Z)). On admettra les résultats suivants qui étendent aux variables aléatoires complexes les résultats analogues sur les variables aléatoires réelles. -- Toute variable aléatoire Z complexe finie est d'espérance finie. Si Z(Q) = {z,,..., z,}, où les z, sont deux à deux distincts, alors T E(Z) = SZ P(Z = 23). k=1 -- Théorème du transfert (cas X(Q) fini). Soit X une variable aléatoire réelle d'image finie X(Q) = {x,,...,x,} où les x, sont deux à deux distincts et soit f une application à valeurs complexes définie sur X(Q). Alors f(X) est d'espérance finie et E(FC0) = D P(X = 2) fa). k=1 -- Soit Z une variable aléatoire complexe telle que Z(Q) soit dénombrable égal à {z,,n EUR N} où les 2, sont deux à deux distincts. Alors Z est d'espérance finie si, et seulement si, la série ÿ 2nP(Z = 2,) converge n2>0
absolument. Dans ce cas,

+00

E(Z) = D 2 P(Z = 2,).

n=0

-- Théorème du transfert (cas X(Q) dénombrable). Soit X une variable aléatoire 
réelle d'image dénombrable
X(Q) = {x,,n EUR N} où les x, sont deux à deux distincts et soit f une 
application à valeurs complexes
définie sur X(Q).

Alors f(X) est d'espérance finie si, et seulement si, la série ÿ P(X = x,)f(x,) 
converge absolument. Dans

n2>0
ce Cas,

E(F(X)) = SCP(X = x,)f(æ,).
n=0

-- Soit Z une variable aléatoire complexe et Z : w EUR Q H Z(w) sa variable 
aléatoire conjuguée.

Si Z est d'espérance finie, alors Z est d'espérance finie et E(Z) = E(Z).

-- Soit Z, et Z, deux variables aléatoires complexes d'espérance finie et soit 
À EUR C.
Alors Z, + Z, et AZ, sont d'espérance finie et E(Z, + Z,) = E(Z,) + E(Z2) et 
E(AZ,) = AE(Z,).

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I Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

À toute variable aléatoire réelle discrète X : Q -- R, on associe une fonction 
@ x, appelée fonction caractéristique
de X et définie par

VtER, py(t) =E(eit*).

IA - Premières propriétés
Dans cette sous-partie, À est une variable aléatoire réelle discrète.
Q 1. On suppose, dans cette question, que X(Q) est un ensemble fini de cardinal 
r EUR N*.

On note X(Q) = {x,,...,x,.} où les x; sont deux à deux distincts, et, pour tout 
entier k EUR [1,r], a; = P(X = x}).

T

Montrer que, pour tout réel t, ox(t) = > apeitrr,

k=1
Q 2. On suppose dans cette question que X(Q) est un ensemble dénombrable. On 
note X(Q) = {x,,n EN}
où les x, sont deux à deux distincts. Pour tout n EUR N, on pose a, = P(X = 
x,,).

+00
Montrer que ®, est définie sur R et que, pour tout réel t, ox(t) -- > a el tEn
n=0
Q 3. Montrer que ©, est continue sur KR.
Q 4. Soit a et b deux réels et Y = aX + b. Pour tout réel t{, exprimer ,{t) en 
fonction de y, t, a et b.
Q 5. Soit & EUR R. Donner une expression de ® ,;(--t) en fonction de o ,(t). En 
déduire une condition nécessaire

et suffisante portant sur l'image @,(R) pour que la fonction + soit paire.

I.B -- Trois exemples
Q 6. Soit n EUR N* et p EUR |0,1[. On suppose que X : Q -- R suit une loi 
binomiale B(n, p) et on note q = 1--p.
Montrer que, pour tout te R, ox({t) = (q + pet)".

Q 7. Soit p EUR |0,1|. Quelle est la fonction caractéristique d'une variable 
aléatoire suivant une loi géométrique
de paramètre p ?

Q 8. Soit À > 0. Quelle est la fonction caractéristique d'une variable 
aléatoire suivant une loi de Poisson
de paramètre À ?

IC --- Image de ®%

On se donne ici une variable aléatoire réelle discrète À : Q -- K, dont on note 
©, la fonction caractéristique.
Pour tout (a,b) EUR R°, a + bZ désigne l'ensemble {a + bk,k EUR Z}.

Q 9. Montrer que pour toutt ER, [dx(t)| < 1. 2 Q 10. Montrer que, s'il existe a EUR R et t, EUR R* tels que X(Q) C a + --Z alors lo x(to)l = 1. 0 On suppose réciproquement qu'il existe {, EUR R* tel que [dx(to)l = 1. Dans la suite de cette sous-partie LC, on suppose de plus que X(Q) est dénombrable et on reprend les notations de la question 2. +00 Q 11. Montrer qu'il existe a EUR K tel que > an eXP(i(totn -- toa)) = 1.
--0
+00 |
Q 12. En déduire que > an (1 -- cos(toth -- toa)) = 0.
n--=0
2
Q 13. Montrer que pour tout n EUR N, si a, Æ 0, alors x, EUR a + --Z
0

2
Q 14. En déduire que P (x ca+ 2) = 1.
0

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IT Fonction caractéristique et loi d'une variable aléatoire

L'objectif de cette partie est de montrer que la fonction caractéristique d'une 
variable aléatoire détermine sa loi.
Deux méthodes de démonstration sont proposées.

IT. À --- Première méthode

Soit À une variable aléatoire réelle ee discrète et m EUR KR.

Pour T EUR R°, on pose ,,( D 3 ft ent dé.

II.A.1) On suppose que X(Q) st fini et on reprend les notations de la question 
1.
Q 15. Montrer que, pour tout T'ER',ona V., ( =} sine -- m))P(X = x,,).

Q 16. En déduire que V,,(T') Ts? P(X = m).
= +00

II. A.2) On suppose que X(Q) est dénombrable et on reprend les notations de la 
question 2.

Pour n E Net À ER", on pose g,(h) -- sinc (-- -- . PCX = x,,).
Q 17. Montrer que pour tout T' EUR R', on à V,,( Yu G =)
Q 18. Montrer que la fonction g,, se prolonge en une fonction & 9n définie et 
continue sur R".
Q 19. Montrer que la fonction G -- S 9, est définie et continue sur R".
=0
Q 20. Établir que V,,(T) ------> PCX = M).

T'-- +
II.A.3) Application

Q 21. Soient À : (0 -- Ket Y : ( -- R deux variables aléatoires discrètes 
telles que d, = @,. Montrer que,
pour tout mER, PIX = m) = P(Y = m), autrement dit que X et Y ont la même loi.

I1.B --- Deuxième méthode
ei tb ___ Aita
5 sit £ 0,
Si a et b sont deux réels, on note K, , la fonction définie pour tout réel { 
par K, ,(t) = it
? ? b --_
; si t -- Ü.
Q 22. À l'aide de séries entières, montrer que X a. est de classe C® sur K.
Soit N un entier naturel et soit F,, la fonction définie, pour tout réel x, par 
F\(x fa. K, »

Q 23. Montrer que Fy est de classe CT sur R et que, pour tout réel x, F(x) = 
Nsinc(Ne).

N Nb
Q 24. Montrer que [Et t) dt -- [ sinets ds.
--N Na
+00

Q 25. Montrer que l'intégrale | sinc(s) ds est convergente.

0
+00
On admettra dans la suite que | sinc(s) ds -- 5
0
N
Q 26. En déduire l'existence et la valeur de Vi K',.5(t) dt dans le cas où a < b. --7 +00 _N Q 27. Soit X : Q -- R une variable aléatoire telle que X(Q) est fini. On suppose que les réels a et b n'appartiennent pas à X(Q). Montrer que à Jéxcox CE dt Pa < X  0 associe f(h)
la limite de f en 0 ?

. Quelle est

+00 . 92
h
Q 32. Montrer que pour tout À EUR R*, f(h) -- > 0, En)

n=0

Q 33. En déduire que X admet un moment d'ordre 2.

TII.C --

On fixe dans cette sous-partie IIL.C un entier naturel 4 EUR N et on suppose à 
la fois que 4 est de classe C?FT2
sur R et que X admet un moment d'ordre 2k. On note a = E(X**).

Q 34. Que peut-on dire de À si «& est nul ?
On suppose dorénavant que le réel a est strictement positif.
Q 35. Soit Y : Q -- KR unc variable aléatoire vérifiant Y(Q) = X(Q) ct, pour 
tout n EUR N,

Montrer que @, est de classe C? sur R.
Q 36. En déduire que À admet un moment d'ordre 2k + 2.

Q 37. Soit & EUR N*. Déduire des questions précédentes que si D, est de classe 
C'* sur R, alors X admet un
moment d'ordre 2k.

IV Développement en série entière de 0%
Soit À : ( -- R une variable aléatoire réelle.

IV.A --
On suppose que X(Q) est fini et on reprend les notations de la question 1.
+00 /.
it)"
Q 38. Montrer que D, est développable en série entière sur R ct, pour tout réel 
t, oy(t) = > E(X").
n!
n=0

IV.B -
On suppose que X(Q) est dénombrable et on reprend les notations de la question 
2.

On suppose également que, pour tout entier n EUR N, À admet un moment d'ordre n 
et qu'il existe un réel À > 0
tel que

E(IX}?) = 0O (= | quand n -- +oo.

R"
n : sk n+1l
Q 39. Montrer que pour tout ne Net tout ye R, le? -- (y) < ES pres k! (n +1)! 1 / kR R Q 40. En déduire que pour tout réel t EUR |----,--1|, e EUR +00 /.,\k 14 6x = D EL EC) k=0 ' ee eFINee.e 2020-02-17 16:13:24 Page 4/4 CIEL