Centrale Maths 2 PC 2022

Mathématiques 2
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2022

Ce sujet en trois parties étudie la convergence des polynômes d'interpolation 
de Lagrange sous différentes
hypothèses et aborde le phénomène de Runge.

La partie I est consacrée à l'étude de deux familles de polynômes, les 
polynômes de Lagrange et les polynômes
de Tchebychev.

La partie II donne des résultats généraux de convergence des polynômes 
d'interpolation de Lagrange pour des
fonctions de classe C® ; elle utilise également quelques résultats de la partie 
I.

Enfin la partie IT présente le phénomène de Runge. Elle s'appuie sur les 
sous-parties IIL.A et IIL.B, qui portent
sur une intégrale généralisée et sont indépendantes des parties I et II.

Notations
Si k, et k, sont deux entiers tels que k, < k,, on note [k,,k,] l'ensemble des entiers k tels que k, < k < ka. Pour tout réel x, on note [x] la partie entière de x. Pour n EUR N, on note R,, [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans R de degré inférieur ou égal à n. I Étude de deux familles de polynômes Soit n EUR N° et (a,,...,a,,) une famille de n réels deux à deux distincts. on Pour tout à dans [1,n], on note L,; le polynôme de degré n -- 1 défini par 7% X--a;, L(X)=]] à +. (L.1) j=1 j ji > An

On dit que L,,...,L,, sont les polynômes de Lagrange associés à a,

I.A --  Polynômes de Lagrange
On définit l'application

Ry1 [X] X Ra-1 [X] --+ KR
(9: (P,Q) + D P(a)Q(a)
Q 1. Montrer que {:,-) est un produit scalaire sur R,,_1[X].
Q 2. Montrer que, pour tout à et k dans [1,n],

_ Ji sik=--i
Las) = À sinon

Q 3. Montrer que, pour tout à EUR [1,n] et tout PER,,_,[X],
(Li, P) = P(a;).

Q 4. Montrer que la famille (L,,.., L, ) est une base orthonormée de R,,_,[X] 
muni du produit scalaire (:,-).
Q 5. En déduire que, pour tout PER,,_,[X|,

Q 6. Montrer que, pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à n -- 2,

M050/2022-03-05 08:05:53 Page 1/5 [(@Ghsey-\c-sA
I.B --  Polynômes de Tchebychev
Soit n EUR N*. On pose

2]
= EC (r, Jarre x

p--0 2p
Q 7. En développant (1 + x)" pour deux réels x bien choisis, montrer que
[n/2]
p=0 2p
Q 8. Montrer que T,, est un polynôme de degré n. Expliciter le coefficient 
dominant de 7.
Q 9. Montrer que T,, est l'unique polynôme à coefficients réels vérifiant la 
relation

VO ER, T,,(cos(8)) = cos(nô).

2k--1)r

Q 10. Pour ke [1,n], on pose y, = cos ( 5 ). Montrer que
n

1) = TT(x 0.)

k=1
IC - Soit n EUR N* et W un polynôme unitaire de degré n. L'objectif de cette 
sous-partie est de montrer
que
1
sup |W(x)| > ni (L.2)
xE|-1,1]

puis d'étudier dans quel cas on a égalité.

Q 11. Montrer que sup |7,,(x)| = 1. En déduire un polynôme unitaire de degré n 
réalisant le cas d'égalité
xe|-1,1]
dans (1.2).

On pose Q -- Tu -- W et, pour tout k EUR [0,n], 2, = cos (T).

Q 12. Montrer que Q est un polynôme de degré inférieur ou égal à n -- 1.
Q 13. Dans cette question, on montre (1.2) par l'absurde.
I
-- Si on suppose que sup I) < Gt montrer que, pour tout k EUR ]0,n -- 1], Q(z,)Q(2p11) < 0. TE, -- En déduire une contradiction et conclure. On suppose maintenant que sup [W{x)|] = _ xEURe|---1,1] 27 Q 14. Montrer que, pour tout k EUR [0,n], El (zx -- z;) 5=0 ÿEk Q 15. En déduire que Q = 0, puis que W -- Tu On pourra considérer la somme des inégalités de la question précédente et exploiter la question 6 appliquée à des données convenables. IT Interpolation et convergence des polynômes d'interpolation pour une fonction de classe C®© IT. À -- Interpolation d'une fonction de classe C" Dans cette sous-partie, n est un entier naturel non nul et 7 est un segment [ab], où a < b. On considère n nombres réels distincts a, < : < a, de 1. rt On note L,,...,L, les polynômes de Lagrange associés à a,,...,a,, définis par (1.1) et on note W -- I [4 -- &;). i=T M050/2022-03-05 08:05:53 Page 2/5 (cc) BY-NC-SA Pour toute fonction f définie sur I, le polynôme Tv If) = > J(a)L; (IL1)
i=1
est l'unique polynôme PER, .|[X] tel que P(a;) = f(a;) pour tout à EUR [1,n]. 
On l'appelle polynôme interpo-
lateur de Lagrange de f associé à a;,...,a,.
Q 16. Soit r une une fonction à valeurs réelles de classe EUR" sur I et 
s'annulant en n + 1 points distincts de
I. Montrer qu'il existe c EUR I tel que rl (c) = 0.
Q 17. Soit f une fonction à valeurs réelles de classe ©" sur I. Soit P = IT(f) 
le polynôme interpolateur de f
associé aux réels a,,...,a,, comme défini en (IL.1) ci-dessus. Pour tout x EUR 
1, montrer qu'il existe c EUR I tel que

Pour x distinct des a;, on pourra considérer la fonction r définie sur 1 par
rt) = JE) -- P(t) -- KW()

où le réel X est choisi de facon que r(x) = 0.
Q 18. En déduire que

M, (b-- a)"
sup [fe -- Po] < PP xe|a,b] LE où M, = sup [ft (x)|. xEUR|a,b] ITI.B -- Suites de polynômes interpolateurs On considère encore un segment J et une fonction f définie sur Î. De plus, pour tout entier naturel non nul n, on suppose donnés des réels distincts a;,, < ++ < a,, de I et on considère P, = Il, (f) le polynôme interpolateur de Lagrange de f associé à ces réels Ames À nn En notant L;,,L2,,....,L,, les polynômes de Lagrange associés à a:,,...,4,,, on a donc Tv i=1 et Il, (f) est l'unique polynôme P,, EUR R,,_,[X] tel que P,(a;,) = f(a;,) pour tout à EUR [1, n]. On s'intéresse à la convergence uniforme sur 1 vers f de la suite de polynômes (IL, ( f)) pour divers exemples de fonctions C®%. II.B.1) Convergence uniforme vers la fonction exponentielle Dans cette section, 1 = [ab], où a < b, et f est la restriction à 7 de la fonction exponentielle : Vx EUR I, f(x) = exp(x). Pour tout n EUR N*, on considère P, = IL, (f) le polynôme interpolateur comme défini par (IL.2). Q 19. Montrer que la suite (P,),+ converge uniformément vers f sur L. Q 20. Montrer qu'il existe une suite de polynômes (Q,,),en- qui converge uniformément vers f sur Z et telle que, pour tout n EUR N", la fonction Q,, ne coïncide avec f en aucun point de 7, sauf peut-être en zéro : VneN*, VxelI\#{0}, Q, (x) £ exp(x) IL.B.2) Convergence uniforme vers une fonction rationnelle Dans cette section, a est un réel strictement positif et { = [--a, a]. Soit KR -- K 1 + x° Q 21. Montrer que f est de classe C® et que, pour tout k dans N et tout t EUR [--7/2,7/2|, FN (tant) = klcos®t1(4) cos((k + 1)t + kr/2). Pour tout n EUR N*, on considère P, = Il, (f) le polynôme interpolateur de f sur 1 défini par (112). 1 k / Q 22. Montrer que, si a < 2° la suite de polynômes (P,,),a converge uniformément vers f sur [--a, a]. M050/2022-03-05 08:05:53 Page 3/5 (cc) BY-NC-SA II.B.3) Cas de la somme d'une série entière Soit Ù x" une série entière de rayon de convergence À > 0. On pose,

k20
+00 00
VxEÏ]-R,R|, f(x) -- D _ cat et Vxe]-1,1[, g(x) = da.
k=--0 k=0

Q 23. Montrer que g est de classe C®© sur |--1,1| et que
j!
VIEN, Vre}-Li, go)
Q 24. Soit r EUR |0, R[. Montrer qu'il existe C EUR R tel que

C

Q 25. En déduire que pour tout x EUR |-r,r| et pour tout n EUR N,
nlrC

UV (x)| < Q 26. On suppose que a < R/3. Montrer que la suite de polynômes (P,,),ew =(H,(f)) converge unifor- N* mément vers f sur [--a, à]. IL.B.4) Interpolation aux points de Tchebychev Cette section reprend l'étude des deux sections précédentes dans le cas de points d'interpolation particuliers, liés aux racines des polynômes de Tchebychev. On considère a > 0 et 1 = [--a, à.

Pour tout n EUR N°, les points de Tchebychev d'ordre n dans 7 sont :

An -- COS (er) , pour kEUR [1,n].

On pose W*(X) = [ [(X -- a;.,).

k=1
Si f est une fonction définie sur 1 et si n EUR N°, on définit comme au (IL.2) 
le polynôme interpolateur P* = IF (f)
de f aux points de Tchebychev d'ordre n.

C'est l'unique polynôme PF ER, :(X) tel que P#(ar ,) = f(a; ,) pour tout k EUR 
[1,n]].

?

Tv
Q 27. Pour tout x EUR [--a,a], montrer que [W*{x)| < 2 (5) Q 28. On reprend dans cette question la fonction f étudiée dans la section IL.B.2 : f(x) -- 1 pour x EUR KR. _l+x Montrer que, si a < 2, la suite (I (f)),aw converge uniformément vers f sur | --a, à]. Q 29. On reprend dans cette question la fonction f somme de série entière étudiée dans la section IT.B.3. Montrer que, si a < 2R/3, la suite (I (f)),av converge uniformément vers f sur [--a, à]. III Phénomène de Runge III. A -- Étude d'une intégrale généralisée 42 Pour tout réel à > 0, on considère la fonction h,, :t+ In IT .
a? +1?

Q 30. Montrer que h,, est une fonction continue décroissante intégrable sur [0, 
1{.
1

On pose J,, = fr. (é) dé.
0

1 1 1 2 1
Q 31. Justifier que J, -- Jua-o dt+ [mti+o dt intes + +?) dt = Jin) du f into + 
+?) dt.
0 0 0 0 0

Q 32. En déduire que J, = 21n(2) -- In(1 + a°) -- 2a arctan (2).
a

Q 33. Montrer qu'il existe 7 > 0 tel que, pour tout a EUR |0,y{, J, > 0.

M050/2022-03-05 08:05:53 Page 4/5 (cc) BY-NC-SA
ITI.B -- Application à une somme de Riemann
2k +1]
2n

Pour tout n EUR N*, on considère dans ]0,1[ les points a, donnés, pour k EUR 
[0,n -- 1], par a;,, -- et on

pose

S, (he) = LE (ans) = : (n. () LR, () Let, (a ) |

k=0

Q 34. Pour tout n EUR N*, montrer que

(2n--1)/2n (2n--1)/2n
I 2n -- I I I
h 1 <  0. On considère
1,1) -- KR
fa: 1
L R
a? + x°

On reprend les points a;, définis dans la sous-partie TIT.B :

Vn eN*, VkefÏ0,n--11|, Bone =
n

On note, pour n EUR N°, R,, EUR R2,_[X] le polynôme interpolateur de f,, aux 2n 
réels {+ax,, EUR 1} kEUR [0,n--1]}.
Autrement dit, À, est l'unique polynôme de degré au plus 2n -- 1 qui coïncide 
avec f,, aux points
n--l  2n--3 3 1 1 3 2n--3 2n--]I
2n 2n 2n In 2n 2n 20 In
On pose Q,(X)--=1-(X°+a*)R,(X).
Q 37. Montrer que À, est un polynôme pair et déterminer Q,, (ai).
Q 38. Montrer quil existe À,, EUR K tel que

Vx EUR [-1,1} Q, (x) = À, I [ (+ L En):

Q 39. En déduire que, pour tout x EUR [--1,1|,

n--1 2 2
CUT TT Ten
fatx) -- R, (x) = --
x + a k=0 a + UE n

Q 40. On suppose que a < y. Montrer que im |fa(1) -- R,(1)] = +ce. n-- +00 eeoeFrINeee M050/2022-03-05 08:05:53 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA