Centrale Maths 2 PC 2024

Mathématiques 2 T
4 heures Calculatrice autorisée ON

Notations

Dans ce problème, on introduit la notion de produit infini et on l'utilise pour 
obtenir diverses propriétés.

-- La partie I permet d'obtenir des résultats qui seront utilisés dans tout le 
problème.

-- La partie II étudie quelques exemples de calcul de produit infini, dont 
celui de Wallis, et donne par ailleurs
une illustration en probabilités.

-- La partie III permet de montrer, sous certaines conditions, la continuité ou 
le caractère C! d'une fonction
définie par un produit infini de fonctions.

-- La partie IV à pour but d'exprimer la fonction sinus sous forme de produit 
infini et, en s'appuyant sur la
partie III, d'en tirer quelques conséquences.

-- Enfin, la partie V étudie la fonction l°. Elle utilise quelques résultats 
des parties I, IIT et IV.
Pourte R, on note [t] la partie entière de t.

une suite de nombres réels. On pose pour tout n EUR N tel que n > p,
nm
k=p

est la suite des produits partiels du produit infini El Un

n>2p

Soit pe Net (u,)

n>p

On dit que la suite (P,)

n2p

Si la suite (P,,),>, converge, on dit que sa limite est la valeur du produit 
infini et on pose :

+00

u = lim P,.
Il k n=+oo ?
k=p

I Résultats préliminaires

LA - Soit n EUR N*.
Q 1. Montrer que, pour tout (x,,.,æ,) EUR R",

(Lo +a)) | l < (TIa + tal) 1. k=1 k=1 Q 2. Montrer que, pour tout (æ1,...,x,) EUR [--1,+o/[", JIG +2) < exp (> a) .

k=1

LB - Soit z EUR C. Pour tout n EUR N*, on pose

um = (1+2) :
n

Le but de cette sous-partie est de montrer que la suite (u,,),-n converge vers 
ef.
Q 3. Montrer que, pour tout te C,

1+4)--etl < [Hl2ell. | +4) --etl< [#l Q 4. Soit (a, b) EUR C? et n EUR N*. On note M = max{|al, |b|}. M063/2024-05-07 10:39:22 Page 1/6 (cc) BY-NC-SA Montrer que {a -- b"| < nM"-Tla -- b|. Q 5. Montrer que, pour tout n EUR N", PANEL bi) n Q 6. Conclure que la suite (u,,),ey- Converge vers ef. IT Exemples de calcul de produit infini IT. À -- Q 7. Calculer II (- =) et (+ ----). N On pourra, pour tout ÎV > 2, établir une expression de Il (- =) et de ET (+
n--2

1)T1

1)+1

II.B -- Pour tout n EUR N, on pose

Q 8. Montrer que, pour tout n EN, (n+2)W

Lo

42 = (n+1)W, et en déduire que, pour tout n EUR N,

22n (m1)2
(2n +1)!

Won --

+00
1
Q 9. Déterminer un équivalent de la suite (W2,,,1)1en et en déduire Il É + =) .
Ti --

n=1

IT.C - On considère ((,.4,P) un espace probabilisé et (A,,),-N une suite 
d'événements indépendants tels
que la série numérique D» P(A,,) diverge.

n>0
+00

Q 10. Soit n EUR N. Montrer que IT 1 -- P(A,)) = (0.

On pourra utiliser |' inégalité démontrée en Q 2.

Q 11. En déduire que F [] ) À,

neN p>2n

III Étude d'une fonction définie par un produit infini
On considère dans cette partie :

-- a et b deux réels tels que a < b et le segment $ = [a, b|. -- (f,)h>1 une suite de fonctions définies sur $ à valeurs dans |--1, +00|.

-- Pour tout n E Net res:

LL LL
= Il (1 + f(x Il (1+/|f,(æ)|), et sous condition d'existence À, ( -Y FC
IIT.A -- On suppose dans cette sous-partie que (f,),, est une suite de 
fonctions continues sur & et que la

série de fonctions Ù |f,| converge uniformément sur $ vers la fonction À,.
n>1

Q 12. Montrer qu'il existe M EUR K° tel que, pour tout x EUR 6 et n EUR N",

Q,41(x) -- Q, (x) < fut). Q 13. Montrer que, pour tout x EUR $ et n EUR N*, Pit) -- P, (2) < Qt) -- Q, (x). M063/2024-05-07 10:39:22 Page 2/6 (cc) BY-NC-SA Q 14. En déduire que la suite de fonctions (P,,),+ converge uniformément sur & vers la fonction P définie sur © par : S --R P . +00 ze [[(+/f,(x)) n=1 Q 15. Montrer que la fonction P est continue et ne s'annule pas sur 6. +00 * --nx? III.B -- Pour tout x EUR K°, on pose f(x) -- El (1 -- EUR ): n=1 Q 16. Montrer que jf est définie et continue sur KR'. Q 17. Dresser le tableau de variations de f sur KR, puis calculer les limites de f en 0 et en +c. ITI.C -- On suppose dans cette sous-partie que (f,),-, est une suite de fonctions de classe C1 sur & telle que : -- la série de fonctions ) |f,| converge uniformément sur &. n21 / -- la série de fonctions ) -- converge uniformément sur 6. l+f n>l nm

Q 18. Montrer que, pour tout n E Net x ES,

-- f(x)
P'(x) = P, È
Q 19. En déduire que la fonction
S --RkR
P: +00
zh [[U+7,(x)
n=1l

est de classe C! sur $ et que

P'(x) _k
EN 4, 'I (tan (in) (2[t] + 1)) |

sit < k. Montrer que, pour toutte KR, et k EUR N tel que k 3 2, Q 25. 72 k  Ck-1 N 799 1°k-1 ' DOUCE = CU) Q 26. Montrer que, pour tout t EUR KR, et k EUR N", k_ 2 (| < lelexp 5 Fe) | Q 27. En déduire que la série de fonctions ) (VU, -- Vy_,) converge uniformément sur R,. k>2

Q 28. Calculer, pour tout k EUR N*, lim vw,(t)et, pour toutteR,, lim v,(t).
t--+00 k--+0o

Q 29. En déduire que :

IV.C --

Q 30. Montrer que, pour tout x EUR --

cos(x) 1 5 2x
sin(x) x pe (in)? -- x°
+00 1 T2
Q 31. En déduire que > EG
n=1
; .. æCos(x) -- sin(x)
On pourra dans un premier temps déterminer lim -
x--0 x? sin(x)

V Autour de la fonction [L

Pour tout x EUR KR, on pose

V.A --
+00
l'(x) = | te tdt.
0
Q 32. Montrer que [est une fonction définie et continue sur R°..

Pour tout n EUR Net tout x EUR KR; on pose

g, (x) = Î ul (1-- uw)" du.

Montrer que, pour tout n EUR N° et tout x EUR K°,

Q 33.
|
GT) = ---
I [( + k)
k=0
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Q 34. Montrer que, pour tout x EUR KR,

Q 35. En déduire que, pour tout x EUR KR, F(x) = lim

k=0
V.B - Q 36. Soit x EUR [0,1]. Montrer que L'(x)[' (1 -- x) = -- T
sin(Tx)

V.C - Q 37. Montrer qu'il existe 7 EUR R tel que

SE -- Inn+7+o(l).

k n--+00

k=1

Q 38. En déduire que, pour tout x EUR R°;
P(x) = = Ile" (1 + 2)

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