e3a Maths A PC 2006

 

Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PC

durée 4 heures

' '

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le 
signale-sur sa
' copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives 
qu'il est
amené à prendre.

, L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

partie I

Un entier naturel n > 2 étant fixé, on note lR[X] le R--espace vectoriel des 
polynômes à coefficients
réels et Rn[X] le sous-espace vectoriel des polynômes de degré au plus n.

On définit alors pour tout polynôme P = z pk X k de R[X] :
k;0

. n
---- le polynôme tronqué de P au degré n : Tn(P) : Z pk Xk;
k-O

---- le polynôme composé de P et X + X2 : 90(P) : z pk (X + X2)k.
k>0
On confondra tout polynôme P E R[X] avec sa fonction polynomiale réelle 
associée : a: l--> P ($)

1. (a) Établir que Tn' : P +--+ Tn(P) définit un projecteur de R[X].
(b) Déterminer l'image de Tn.
(c) Montrer qu'un polynôme P de R[X] appartient au noyau de Tn si et seulement 
si :

P(oe) OEî0 o(oe").

2. (a) Déterminer, pour tout P de R[X] une relation entre le degré de P et 
celui de 90(P).
(b) Prouver que 90 définit un endomorphisme injectif de R[X] ; 
< 5). (b) Montrer que, pour tout entier naturel n > 2, la matrice Mn est triangulaire 
inférieure, et
expliciter son terme général mi,j lorsque 0 { j { i < n. 1 ' Tournez la page S.V.P 4. (a) Inverser la matrice M4. (b) Montrer que, pour tout entier naturel n> 2, la matrice M,, est inversible. 
Que peut- on en
conclure pour l'endomorphisme (,on? .

(c) Montrer que la matrice inverse de M... notée Q,, : [Qi,j]0 R une application 
admettant un développement
limité d'ordre n > 2 en O, de partie régulière P E R,,[X] ; c'est--à--dire que :

f(OE) = P(OE) + O(OE")-

æ-->O

(a) En utilisant éventuellement le 11°C, montrer que l'application ac 1----> f 
(a: + æ2) admet en 0
un déve10ppement limité d'ordre n de partie régulière go,,(P), c'est--à--dire 
que :

f(æ + 5132) oeî0 T,,(P(oe + æ2)) + 0(æ").

(b) Si P = po + p1X + -- -- - + ann, déterminer à l'aide des notations de la 
partie 1, un calcul
" Vmatr1ciel fournissant directement le développement limité d'ordre n de :c 
1--> f (a: + 5172) en 0
a partir du vecteur colonne formé de po, . . . , p,, ; expliciter alors ce 
déve10ppement limité.

2. (a) Appliquer le Ill°b pour obtenir le déve10ppement limité d'ordre 4 en 0 
de l'application :
1

1+OE+a:2°

(b) Vérifier ce résultat par un calcul direct de déve10ppement limité que l'on 
détaillera.

g:a:+---->

3. Soit une application f, somme d'une série entière de rayon de convergence R 
> O, fini ou non:
* VoeEUR e.] R R[, =Î ,\ a:"

(a ) Déterminer le plus grand ensemble ouvert Q C R tel que, pour tout oe EUR 
(2, la série numérique

"EO )... (+ W) converge (il faudra distinguer différents cas selon les valeurs 
de R).

N
(b) Pour tout 33 EUR R et pour tout N E N, on pose : gN(oe) : nî: An (51: + 
332)". Montrer que :
=0

min( (lc, N)
... =î( z .,,_( £...)
71: k/2
(Dans une telle somme, 71 ne prkend que les valeurs entières entre les bornes 
indiquées.)

(c) Soit, pour tout k E N : ..., _ Z )... (k ΰn)

n= [9/2
Pour tout a: E R et pour tout N E N, on pose hN(æ) : }: ..., acl". Montrer que :
' ' k=0
N
th(OE) --ÿN(OE)I < 2 lf\nl(âî2 + (TI)"- n=N/2 (d) Déduire de ce qui précède que, sur un intervalle a préciser, on a : f (a: + 5132) = 2 ,u.;, m'". Retrouver alors le développement limité d'ordre n en 0 de a: 1----> f(a: + 332) 
obtenu en II 1°b.

4. (a) En remarquant que 1 ---- 5123 = (1 ------- æ)(l + ZB + 1132), déve10pper 
en série entière au voisinage de
1 .

W et préciser le rayon de convergence de cette série entière.
ac ac

() l'application g : a: 1---->

(b) Utiliser ce résultat et celui de la question Il 3°d pour évaluer, selon k E 
N, les sommes :
k

S,: E <--1>"(kÎ...)--

n=k/2

partie III

1.- (a) Déterminer des intervalles ouverts ] et J, contenant 0 et aussi grands 
que possible, tels que
a : sc 1----> u = a: + 562 définisse une bijection de 1 vers J. Exprimer alors 
af"1(u) pour U E J.

(b) Montrer que cette fonction (1 :J ----> I est développable en série entière 
au voisinage de 0,
+oo *

et préciser le rayon de convergence de la série entière associée que l'on 
notera 2 [);EUR u'EUR .
, k=0

(c) Montrer, a l'aide du 15°a, que les coefficients bo, b1, . . . , bn sont les 
termes de la deuxième
colonne de Q,, = (M,,)'"' (colonne d'indice 1).

(d) Calculer directement le déve10ppement en série entière de a"1(u) au 
voisinage de O et
comparer les résultats obtenus à ceux résultant du I5°e.

2. On considère maintenant l'application oz : z +--+ w -- z + 22, définie sur 
le demi- plan ouvert II
formé des z- ---- :1: + iy tels que (oe, y) E R2 et oe > -----1/2.

On identifie @ a R2, si bien que en posant w = u + i ?} avec (u, @) EUR R2, 01 
est aussi l'application
(a:, y) +----> (u, @) définie sur l'ensemble II des (oe, y) de R2 tels que a: > 
--1/2.

(a) Établir que lorsque 111 décrit @, les solutions dans C de l'équation z + z2 
111 restent
symétriques par rapport a un point fixe, puis montrer ensuite que l'application 
oz définit un
%14difféomorphisme entre II et le plan @ = R2 privé d'une demi--dr0ite a 
préciser.

(b) Soient dans II les droites D;,, d'équations oe : k (k E K, k > --1 / 2). 
Montrer que ces droites
ont pour images par oz des paraboles d'axe Ou et toutes de même foyer F, a 
préciser.

+00
3. On pose maintenant fi ( )= 2 b;., w"EUR lorsque cette série converge, les bk 
étant définis au III1°b.

16: 0
Montrer que, sur son disque de convergence, cette série a pour somme & 1(w).

(On pourra considérer, sans le calculer, le développement en série entière au 
voisinage de 0 de
l'application w 1--> (6(w))2 + fi(w) -- w.)

Æg@JÆJLÆÀ_M--QÀ ; r 1