e3a Maths A PC 2007

C25M

e 3 5
Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PC

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Problème.

* Les deux parties de ce problème et les questions dans chaque partie sont très
largement indépendantes les unes des autres. Dans les rares cas où un résultat
précédent est utile pour traiter une question alors l'énoncé précise clairement 
le
numéro de la question où se trouve le résultat.

' * Dans différentes questions du problème, le candidat est invité à énoncer 
avec soin un
théorème de cours.

Dans tout le problème, on désigne par:

' 0
. f la fonction définie sur R par f(x)= e" --1 81 X #
1 si x = 0
1 1 .
------- SI x # 0
. t la fonction définie sur R par t(x)= th(x) x
Oäx=0

On note (C) la courbe représentative de f dans un repère (O,Î,Î) orthonormé du 
plan.

Partie A : Etude de la fonction f.

.
...........................

On considère l'équation différentielle (E) dont la fonction inconnue est y, de 
la
variablex: (E) (ex- -1)y' +e" y=1.

a) Après avoir déterminé les intervalles de résolution de (E), résoudre (E) sur
chacun de ces intervalles.

b) Montrer que (E) possède une unique solution (dérivable) sur R que l'on
déterminera.

2) Etude.def.en...Q.a

. x
a) Donner le développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction : x l---> X 1 
.
e ....
b) Peut--on déduire du développement limité du a), sans nouveaux calculs, que :

(justifier avec soin)
* fest continue en 0 ?
* fest dérivable en 0 et la valeur de f '(0) ?
* fest deux fois dérivable en 0 et la valeur de f "(O) ?

0) Montrer que f est de classe C1 sur R.
d) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0 et préciser

la position de (C) par rapport à T au voisinage de O.

3) Yad.athnâge.f.;

On considère la fonction définie sur R par g(x)=xe'--e"+1.

a) Dresser le tableau de variations complet de g et donner le signe de 9.
b) Donner les variations de f.
o) Donner les limites de f en +00 et --oo et préciser la nature des branches 
infinies

de (C) : montrer en particulier que (C) possède 2 asymptotes et préciser la

position de (C) par rapport à ses asymptotes.
d) Donner l'allure de (C) (faire apparaître les asymptotes et T).

4) Exme.sfi9n .hmerboli9ue .de. .f.;

8) Montrer que Vx<--:--lR', f(x)=Ë_ 2 "il--ë) b) Soit la fonction f1 définie sur R par : f,(x)=f(x)-1+Ë-. i) Montrer que deR : f,(x)=--Ë-t(ë) .(la fonction t est définie en préliminaire) ii) Montrer que f1 est une fonction paire. iii) Quelle propriété géométrique peut on en déduire pour (C) ? 5) tntê9rale .imnr9nne assomeeaf .:. a) Montrer que l= [ ;... f (t)dt existe. b) Justifier l'existence de J= [ 1 ln(u) du et montrer que J=l. 0 u ---1 0) On pose lk= -- L: uk ln(u)du pour kelN, calculer lk. d) Enoncer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions sur un intervalle l quelconque. +oo .... 1 e) En déduire que i=ZIk , puis que l=Ç(2) où -ç(2)= _-- 2 . k=0 k=1 k Partie B : Développement en série entière de f : ................................................................. On considère aælR" et la fonction 9, définie sur R par: * ga est 21: périodique. * Si te]--n,n], g,,(t)=ch(at). a) Donner l'allure du graphe de ga, ga est--elle continue sur R ? b) Si nalN, montrer, par exemple en utilisant une double intégration par parties, que [ fich(at) cos(nt)dt = (---1)" W . ° a2+ n2 c) Calculer pour new, les coefficients réels an et b,, de la série de Fourier associée à g,,. d) Enoncer les théorèmes de convergence simple et normale pour les séries de Fourier. La série de Fourier de gel converge--telle simplement vers 9EUR, sur R ? converge--t--elle normalement vers 9;, sur R ? e) En déduire que: VxeR", 2xÎ------£-------- : t(x) . (on pourra poser x=au). ,... x2 + n27t2 On considère: +® *la série numérique Ç(p)=Z---- pour pelN avec p22. ... k" (-- |) Ç(2k+2) * la série entière, h(t)=Îa2kt t2k où a2k= % 2 k=0 " et si NelN, on note SN(t) la somme partielle suivante : SN(t)= Za2kt2" k=0 * la série de fonctions définie pour teR par m(t) )=Z t2 1 ... +n2 7r2 3) Montrer que la série de fonctions définissant m converge normalement sur R. b) Enoncer le théorème de comparaison série--intégrale, en déduire l'existence- de Ç(p) pour tout pelN avec p22 et pour n ,,pelN-{O 1}: n n--1 (Î 1 --------) lsj ÊÏ-s -1--- k=l kp 1 tp k=l kp En déduire que 1.<. ;" (p) s 1 +----!---- et donner la limite de Ç(p) pour p--->+oe

p 1

c) Montrer que pour tout te]--n,n[, la série entière h(t)=Za,,,t2k converge.

d) En intervertissant soigneusement deux sommes, montrer pour NelN :

...1+(--1)N(ntfl] +
Vte]--1rn[ S,...) E....

,,__ t2 + n"7r2

N+l
t2
En déduire que : VNelN,Vte]-n,n[ : lSN (t)--m0)! S (----;) m(t).
7r
e) En déduire que les fonctions m et h sont égales sur ]--n,1r[.

3) D..éælçppç ment en sene entièresists.

a) Rappeler la définition d'une fonction développable en série entière en 0.
b) En utilisant B)1)e) et B)2)e) montrer que la fonction t est développable en

série entière en 0.
o) En déduire en utilisant la question A)4)b)i) que la fonction fest 
développable
en série entière en 0 et que son développement en série entière est :

+°° ---1 "" 2
VXEUR]-2fi,2fi[ : f(x)=l ---%+ 2 flux" où B"=L")î{èäîgl .
n=l 7T
d) Montrer que la fonction fest de classe C'" sur R et préciser si keW, f "(D).
e) Apglj_ç_a_tjgg_;_ Déduire de la question A)2)a) la valeur de Ç(2) et de la 
question

+oo t

A)5)e) la valeur de ---;------dt .
° 6 -----1

_Remargye__.: On peut obtenir ainsi en poursuivant le développement limité de 
f, les
valeurs de Ç(2n).