e3a Maths A PC 2008

    

(« ._.;.--:ZÏZËEË}É}Ë'
">.ï.<$" 3 Concours ENSAM - ESTP -- ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques A PC Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques A PC Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Le problème comporte quatre parties qui peuvent être traitées de façon largement indépendante. Notations : n est un entier supérieur ou égal à 2. Rn [X ] est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à. n à coefficients réels. ï est l'ensemble des réels strictement positifs. et est un paramètre réel. Objectifs : Etude d'une famille d'applications linéaires et d'équations différentielles associées à ces applica-- tions linéaires . 1 Première partie : Etude de l'application : A..: R3[X] _> Rg[X]
P ...--.. X(X+1)P"(X) + (aX-1)P'(X).

1.1 Propriétés élémentaires de A...

1.1.1) Montrer que Aa est un endomorphisme de R3 [X ]
1.1.2) Ecrire la matrice Ma de Aa dans la base canonique de R3 [X ], (X "" , 0 
_<_ le S 3). 1.1.3) Etude du cas particulier a = -----4. 0 -----1 0 0 a) La matrice M_4 : 8 34 ----(-)6 3 est-elle diagonalisable'? 0 0 O --6 b) Déterminer les valeurs propres et les sous--eSpaces propres de A...4. 1.1.4) a) Déterminer en fonction du réel & les valeurs propres de Aa. b) Pour quelles valeurs de @ l'endomorphisme Aa admet--il des valeurs propres doubles? c) Existe--t--il une valeur du réel & pour laquelle Aa admet une valeur prepre triple ? 1.1.5) Pour quelles valeurs de &, Aa est-il diagonalisable '? 1.1.6) Pour quelles valeurs du réel 0. le degré du polynôme Aa(P) est-il égal au degré de P, pour tout polynôme P non constant de R3 [X ] ? 1.2 Etude de cas particuliers. On suppose dans tout ce paragraphe que & n'appartient pas a {----2, ----1,0}. 1.2.1) Déterminer Ker(/la) par la donnée d'une de ses bases. 1.2.2) Montrer que (-----1 + a.X, X2, X3) est une base de Im(Aa). 1.2.3) Discuter selon 1) E N , 0 __<__ p _<_ 3, l'ensemble des polynômes de R3{X] solutions de l'équation : X(X + 1)P"(X) + (aX -- 1)P'(X) == XP. 2 Deuxième partie : Quelques propriétés de l'application : A(a'n)î Rn]X] ---> Rn]X]
P .__+ X(X+1)P"(X) + (aX--1)P'(X).

2.1) Justifier rapidement que A(a,n) est un endomorphisme de R,, [X ]

2.2) Ecrire la matrice Ma de A(a,n) dans la base canonique de R,,[X ], (X '" , 
0 5 k: _<__ n). 2.3) Soit A EUR R. Montrer que A est une valeur propre de A(a,n) si et seulement si il existe k EUR N, 0 _<__ k 5 n tel que A : k(a + k---- 1). 2.4) Montrer que si & EUR R* , l'endomorphisme A(a,n) est diagonalisable. Dans le cas particulier où a = O, A(O,n) est -il diagonahsable ? 3 Troisième partie : Recherche de solutions développables en série entière d'une équation différentielle. Soit 8 l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles définies dans l'intervalle ouvert ] ---- 1, +1[ et qui sont des sommes de séries entières dans cet intervalle : ainsi f appartient à. 8 s'il existe une série entière z ana?" +oo telle que pour tout 33 EUR] ---- 1, +1], f(æ) : Z ancc". n=0 3.1) Montrer que si f EUR 8 alors f est de classe 000 sur ] ---- 1, +1]. On considère alors dans toute cette partie l'endomorphisme '!)a de 8 Da:£--+ 5 f "'--""' Da(f) ou Da(f)(oe) : a:(oe + 1)f"(æ) + (acc ---1)f'(æ) pour tout 56 EUR] -- 1, +1]. +00 3.2) Soit f EUR EUR telle que Da(f) : af. On pose pour tout :1: EUR] ----- 1, +1], f(æ) = Zanæ". n=O a) Montrer que : Vn EUR N, (77. --1)((n + a)an + (n + 1)an+1) : 0. b) Montrer que pour tout 77. EUR N, n 2 3 : et dans le cas particulier où ao = cm = 0 et CL2 == 1, donner les valeurs de a pour lesquelles la série entière est un polynôme; on déterminera alors son degré et son coefficient dominant en fonction de a. c) Déterminer, selon 0. EUR R, le rayon de convergence de la série entière }: anoe". 3.3) En déduire l'ensemble des solutions dans 8 de Da( f ) = a f . 3.4) Comparer, selon @ EUR R, les dimensions des sous--espaces propres Ker(A(a,n) ---- aIan[x]) et Ker(Da ------- aIdg). 4 Quatrième partie : Résolution d'une équation différentielle On note 600 l'espace vectoriel des fonctions de classe C°° sur lRÎ'TL et Aa l'endomorphisme de (300 : Aa: C°° ----> C°°
f *""""' Aa(f)
où pour tout cz: EUR R* , Aa(f)(oe) : æ(:13 +1)f"(æ) + (aæ ---- l)f'(oe).

4.1) On considère l'équation différentielle :
(E) :c(æ + 1)y" + (aa; --- l)y' ---- 2(a + l)y : 0 .

Montrer que toute solution sur R; est de classe 000 sur Ri}...

4.2) Soit 90 une solution sur R*+ de l'équation (E), on pose go(æ) : æ2.w(oe) 
pour tout a: E R*+. Montrer

. ' . , . . , . . , .
que ?,b est une fonction de C'", et que $ est solution sur RÎ}_ d'une equat10n 
differentielle lmea1re du
premier ordre. Peut-on prévoir ce résultat ?

Déterminer cette équation différentielle.

4.3) Résoudre sur R*+ l'équation différentielle linéaire du premier ordre :
(El) oe(oe + l)u' + ((4 + a)oe + 3)u : 0.

En déduire «p'.
4.4) On se place dans le cas particulier a = ----4.
a) Résoudre (E).
b) Comparez les dimensions des sous-espaces propres Ker(A_4 + 61dR3[X]) et 
Ker(A_4 + 61dgoe).