e3a Maths 1 PC 2020

SESSION 2020 \( D PCS8M

NS
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai :14h-18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.

1/4
Exercice li.

I] a 0
Soient a EUR R et la matrice M, =10 O0 ÏT.
O 1 O0

1. Pour quelles valeurs du réel a la matrice M, est-elle diagonalisable ?

2. Pour quelles valeurs du réel a la matrice M, est-elle inversible ?

--1 O0 0
3. Montrer que lorsqu'elle n'est pas diagonalisable, M, est semblable à la 
matrice | 0 I )

Exercice 2.

--1
Soient x un réel positif ou nul et &, la fonction qui à un réelf EUR R,, 
associe w,(f) =

l+xt
+00
On pose alors, pour tout x > 0, f(x) = [ @,(t) df.
0

1. Justifier que la fonction f est bien définie sur R..

2. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur R..
On pourra comparer f(x) et f(y) pour deux éléments x et y de R, tels que x < y. 3. Limite de f en l'infini 3.1. Démontrer que la suite (f(n)),., converge vers une limite £. 3.2. Déterminer la valeur de £. 3.3. En déduire lim f(x). X-- +00 2/4 Exercice 3. On considère la suite (a, ),ew définie par a = 1 et la relation de récurrence : 1 n VneN, ay = ---- A n + | in-k+2 1. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que : VneN,0 a, X'. Justifier que son rayon de 
convergence est supérieur ou

n>0

égal à I.
+00
Pour xe] ---1,11{,on pose f(x) = > An X".
n=0
3.
n
3.1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière >
int 2
+00 x"
3.2. Déterminer l'ensemble réel de définition de la fonction x > 72
=0

n +2

+00 +00 n +00
3.3. On pose, lorsque cela est possible, D dy » | > Y | -- > w, x", produit de 
Cauchy
n=0 n=0

n=0
x"
n +2

réel des deux séries > a, X' et >

n>0 n>0

Justifier que le rayon de convergence de la série entière > w, x est supérieur 
ou égal à 1

n>0
et donner pour tout entier naturel n, une expression de w, à l'aide de la suite 
(a,).

+00 n
3.4. En déduire que l'on a pour tout x EUR | --1,11[, f'(x) = f(x) > _ x
n
=0
+00 xl
4, Démontrer alors que pour tout x e [0,11[,In(f(x)) = > + Du 2)
n n

n=0

5. En déduire, pour tout x EUR [ 0, I [, une expression de f(x) à l'aide de 
fonctions usuelles.

1 _ 1 1
(n+l)n+2) n+1 n+2

On utilisera sans le redémontrer que l'on a :

= Un
6. Justifier que la série > D converge et calculer sa somme.

n>0

3/4
L.

2.

Exercice 4.

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et M EUR .Æ,(R), M Æ I, et M + 
51 vérifiant la

relation :
2M° = 3M - I,

1.1. On note F = Vect(L,, M, M°). Prouver que VkeN, M'EeF.

Déterminer la dimension de F et en donner une base.

1.2. Vérifier que F est stable pour la multiplication des matrices.

1
1.3. Soient À = M - 1, et B = M - ;În.

Justifier que Z = (A, B) constitue une base de F.
Déterminer les composantes des matrices AB, BA, A7 et B° dans la base Z.
1.4. Déterminer toutes les matrices T de F vérifiant : T° = M.
Soit X une variable aléatoire réelle telle que l'on a :
X(O)=NetVnenN, 2P(X =n+2)=3P(X = n+1)-P(X = n).
2.1. On note p, = P(X = n). Exprimer p, en fonction de n.
En déduire la loi de la variable aléatoire X.

2.2. Justifier que la variable aléatoire X possède une espérance et une 
variance et les calculer.

Exercice 5.

Dans cet exercice, E désigne l'espace vectoriel R;[X] des polynômes de degré 
inférieur ou égal à 2 et
à coefficients réels et Z = (1, X, X?) sa base canonique.

Pour tout couple (P, O) d'éléments de FE, on pose :

RE

< PIQ >= P()O(D + PQ) + P°(DQ"().
Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
Déterminer une base orthonormale de E pour ce produit scalaire.
Déterminer la distance du polynôme U = X°-4à R,[X].
Soit 4 l'ensemble des polynômes P de E tels que P(1) = 0.
4.1. Vérifier que H est un sous-espace vectoriel de E. Quelle est sa dimension ?

4.2. Soit v la projection orthogonale sur H. Déterminer la matrice de @ dans la 
base Z.

+ © 2% © *% %

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 201161 - D'après documents fournis