e3a Maths 1 PC 2021

SESSION 2021 EUR y PC8M

NES
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/4
Exercice 1

_] n+]
1. Justifier que la série > converge.
n>1
2.
+00 1 1 dx
2.1. Démontrer que l'on a : > [[ x" (1 -- x) dx = [
120 0 0 1 +x
On pourra utiliser un théorème d'intégration terme à terme.
+00 (--1y"+!
2.2. En déduire la valeur de : >
n=] nl
+00 x"
3. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction 6 : x > (D --.,
n=]
Calculer w(1).
d,
Dt--x
4.1. Calculer l'intégrale : [ > dx.
0 1+x
+00 1
4.2. En calculant de deux façons différentes > (D [ x" (1 -- x) ax} déterminer 
la valeur
n=0 0
(1)

+00
de la somme : S = > après en avoir justifié l'existence.
n=0

Qn + 1)(2n +2)

Exercice 2

Question de cours
Soit f une fonction continue sur KR et intégrable sur ] -- co, --1].

1. Soient a e R et F; la fonction qui à tout x de R associe [ f(®) df.

Justifier que F, est de classe C' sur R et déterminer l'expression de F'(x) 
pour tout x de R.

X

2. Justifier que la fonction F qui à tout x de R associe [ f(®) df est de 
classe C ! sur R et déter-
miner l'expression de F"(x) pour tout x de KR. .
K © $K © ©

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on note E, l'espace vectoriel 
des fonctions polyno-
miales de degré inférieur ou égal à n.

Pour tout k EUR [[0, 7], on note e, la fonction réelle de la variable réelle 1 
+ À et Z -- (ex )rero. ny la base
canonique de E,.

On note D l'endomorphisme dérivation de FE, et Id l'endomorphisme identité de 
E,.
3. Soit k e N. Montrer que la fonction jf : 1 fe! est intégrable sur ] -- co, 
--1].

4, Soit f EUR E,. Montrer que l'on définit sur E, une application linéaire L en 
posant g = L{f) avec :

VxeR, g(x) =e* [ f(e) e' dr.

2/4
10.
11.
12.

. Soient (@,) et (b,) définies par bo = 0, b, = Îl'etles relations de 
récurrence : Vn EUR N\,

. soitg EUR E, tel que g = 1(f).

Montrer que g est solution sur R de l'équation différentielle : y" + y = f(x).

. En déduire Ker(L).

7.1. Calculer L(eo).
7.2. Montrer que pour tout entier naturel k EUR [0, n -- 1], L(ey:1) = eg: -- 
(K + 1) Lez).

7.3. En déduire que L est un endomorphisme de E,.

. Prouver que L est un automorphisme de E,.

. Recherche des sous-espaces propres de Z

Soient À une valeur propre de L et f un vecteur propre associé.

9.1. Justifier que 1 £ 0.
9.2. Montrer que f est solution sur R de l'équation différentielle : y" + (À -- 
1)y = 0 (+).
9.3. Résoudre dans KR l'équation différentielle (+).

9.4. Déterminer les solutions polynomiales de l'équation différentielle (+).

9.5. En déduire les valeurs propres de l'endomorphisme L et déterminer les 
vecteurs propres
aSSOCIÉS.

L'endomorphisme L est-il diagonalisable ?

Comparer L'! et D+ Id.
Déterminer la matrice M de L'! dans la base Z.

Déterminer les valeurs propres de L"!. Retrouver alors les valeurs propres de L.

Exercice 3

. On note y la racine positive du trinôme x° -- x -- 1. Justifier que y > 1 et 
que la deuxième racine

1
ESt ----.
y
n+1 -- bh

Daxi = An + Dh

2.1. Montrer que pour tout entier n strictement positif : b,41 = b, + by_1.

2.2. Parmi les réponses proposées, une seule est l'expression correcte de b, 
valable pour tout
entier naturel nr. Laquelle ?

y" (--1)1*! (--1) 1 1 y" (--1)1*!
+ ; (2) ------ + ; (3) +
V5 y" vs V5 y" V5 V5 y"Vv5

2.3. Exprimer, pour tout n EUR N, a, en fonction de n.

(D)

2.4. Démontrer que pour n EUR N, y" = a, + b,7.

3/4
dn
b, |
Déterminer une unique matrice M EUR .#(R) telle que : V,,1 = M V,.

3. On pose, pour tout n EUR N, V, =

4, Justifier que la matrice M est diagonalisable et déterminer ses éléments 
propres.
5. Montrer que l'ona:VneN, M'=a,L+b,M.

6. Pour tout n EUR N, on pose : C, = > Tr
k=0

Montrer que la suite (C, )yen converge et déterminer sa limite C à l'aide de y 
et des matrices LZ;
et M.

7 0
7. Démontrer que la matrice Cest semblable à la matrice À -- F el :

Exercice 4

SoientneN'etE =R,[X]. On note (P5(X) = 1, P,(X) = X,..., P,(X) = X") la base 
canonique de E.
Soit (&;) jeony une famille de réels distincts deux à deux.

Pour tout couple (P, O) d'éléments de FE, on pose : (PQ) = > P(a;)Q(a ;).
j=0
1. Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E.

2. Soit P un polynôme de E, calculer (P|P5).

X --
3. Pour tout j EUR [[0, 7], on considère le polynôme L;(X) -- IE "E
io dj -- dk
k£j
| _. > 1 Sii = j
3.1. Démontrer que, pour tout couple (4, j) EUR [0,n], L,(a;) = |
0 sinon

3.2. Prouver que la famille Z = (L;);eony est une famille orthogonale pour le 
produit sca-
laire ( |).

3.3. En déduire que .Z est une base de E et qu'elle est orthonormale.

3.4. Déterminer les composantes d'un polynôme P de E dans la base Z.

3.5. Déterminer > L;.
j=0

4, Soit H l'ensemble des polynômes P de E tels que > P(a;) = 0.
j=0
4.1. Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E.
4.2. Déterminer H- et en déduire la dimension de H.
5. Soit O un polynôme de FE.
5.1. Déterminer le projeté orthogonal de Q sur H-.

5.2. Déterminer la distance de Q au sous-espace vectoriel 7.

FIN

4/4

IMPRIMERIE NATIONALE - 211165 - D'après documents fournis