e3a Mathématiques PC 2023

SESSION 2023 (> PC8M

NES
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

. _ Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/5

Tournez la page S.V.P.
EXERCICE 1

Soient E un R-espace vectoriel de dimension n > 1 et u un endomorphisme de E, 
tel que :
u --3u+2ide =0 (x)

où 0 désigne l'endomorphisme nul 0;(p).

1. L'endomorphisme u est 1l diagonalisable ?
2. Déterminer les valeurs propres possibles « et B de l'endomorphisme u. On 
choisira « inférieure à
B.
3. On pose alors v = u -- «1d£ et w = u --- Bidg.
3.1. Déterminer l'endomorphisme v -- w et en déduire que E = Im(v)+ Im(w).
3.2. Préciser v o w et w o y.
3.3. Prouver que Im(w) EUR Ker(v) et que Im(v) EUR Ker(w).
3.4. Démontrer que E = Ker(v) & Ker(w).
4, Comment peut-on déterminer une base de E dans laquelle la matrice de u est 
diagonale ?

5. Application
Dans cette question, E est de dimension trois. On munit E de la base Z = (e:, 
e2, e3) et, dans cette

1 1 0
base, on définit l'endomorphisme w par sa matrice U =| O0 2 O|.
--1] 1 2

5.1. Vérifier que u satisfait à la relation (x). On fera apparaître les calculs 
sur la copie.
5.2. Déterminer les matrices V et W des endomorphismes v et w définis à la 
question 3.
5,3. Déterminer une base Z, de Ker(v) et une base Z, de Ker(w).

5.4. Déterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que 
U = PDP"!.

EXERCICE 2

Questions de cours

1. Soit « un réel non nul.
Donner un développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction x + (1 -- x)".
En déduire un équivalent de 1 -- (1 -- x)" lorsque x tend vers 0.

2. Soient a et b deux réels avec a > 0. Choisir sans justification l'expression 
correcte de a? :
( A) e? In(a) ( B) et In(b) ( C) eln(a) Mb)

RRREE

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10.

-- I n--1
. Soit g, la fonction définie sur R, par : Vr > 0, g,(9) = 1---(1-2) '=i- ( -- 
;)

Soit 7 un entier supérieur ou égal à 2.

Dk

n--|
. Pour tout k EUR N, on pose ax = 1 -- ( . % et pour k > Î,uy = ay_1 -- dy.

3.1. Montrer que la série de terme général u, est convergente et calculer sa 
somme.

3.2. Montrer que la série de terme général a, est convergente.
On notera S, sa somme que l'on ne cherchera pas à calculer.

. Étude d'une variable aléatoire

4.1. Démontrer que Y k > 1, uy > 0.

4.2. Dans l'espace probabilisé (Q, À, P), on considère la variable aléatoire X, 
à valeurs dans N°
telle que, pour tout k > 0, P(X, = k) = lu, où 1 est un réel. Déterminer 1.

4.3. Montrer que X, admet une espérance et que E(X,) = S ,.

. Pour tout r réel, on pose f{(r) = 0 et pour tout p EUR N°, f,(r) = 1--(1-e").

+00
5.1. Pour tout entier naturel p, montrer que l'intégrale 7, = [ JL) df est 
convergente.
0

5.2. Calculer Z,.,, -- 1, pour tout entier naturel p.
n--]

1
5.3. En déduire que : > LE = 1,1.
k=1

Un encadrement
| 1 "dr 1
6.1. Prouver que, pour tout entier naturel non nul k, EI < F < L- k 6.2. En déduire que : In(n) < 1,_, < 1 +In(n-1). Di Montrer que pour tout entier m > 2 :

D &< [ea < Va m k=1] k=0 = . Soit B un réel strictement positif, montrer que l'on a : 8 I 8 In(2) Î gn(v) dy = In(2) : În-1(u) du. 1, . Démontrer que : E(X,) -- 1 < _< E(X,). In(2) Donner un équivalent simple de S, lorsque ñn tend vers l'infini. 3/5 Tournez la page S.V.P. EXERCICE 3 Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On désigne par E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Le produit scalaire de deux vecteurs x et y de E est noté < x]|y > et |[x|| 
représente la norme du vecteur x.
Pour tout vecteur 4 non nul de E, on note w, l'application de E dans lui-même 
définie par :

< >
VxEeEËE, 2-2 UE,


1. Étude de l'application 6,

LI.
1.2.
1.3.
1.4.

1.5.

1.6.

Montrer que &, est un endomorphisme de E.
En calculant &, o @,, montrer que w, est un automorphisme de E et déterminer 
w,'.
Soit x appartenant à E, calculer { @,(x) | &@,(x) ).

En déduire que 4, conserve le produit scalaire, c'est-à-dire que :

VAMNEE, (Ale) =.

On note D, la droite vectorielle de base u et H, = D.
Déterminer l'image de D, par @,.
En déduire sans calcul que 77, est stable par @,.

Reconnaître alors la nature géométrique de l'endomorphisme vw, et en donner les 
éléments
caractéristiques.

2. Étude d'un exemple dans le cas nr = 3

Soit H le sous-espace vectoriel de R° muni de sa structure euclidienne 
canonique et constitué des

X

vecteurs À = |y|tels quex+y+z=0.

2.1.
2.2.

2.3.

Z

Donner la dimension et une base orthonormale de H+.

Écrire la matrice dans la base canonique de R° de la projection orthogonale sur 
H* puis celle
de la projection orthogonale sur A.

Soit v un vecteur unitaire de H-.
Écrire la matrice de w, dans la base canonique de R°.

3. Étude d'une réciproque

Soit ÿ un endomorphisme de E tel qu'il existe une droite vectorielle À de E 
vérifiant :

Vxe A, y(x)=x et Vxe A, y(x) = -x.

3.1. Montrer que w o W = id et que ÿ conserve le produit scalaire.

3.2. Montrer qu'il existe au moins un vecteur z de E tel que # = vw, .

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EXERCICE 4

Pour tout entier naturel n et tout réel x, on pose :

TS S S

1
1,(x) = [ (1 .: Ê) Cos(fx) df.
0

Étudier la parité des fonctions L,.
Prouver que les fonctions /, sont de classe C! sur R.
/ X
Démontrer que, pour tout réel x et tout entier naturel n, 1,(x) = -- An + D" 
(x).
n

Prouver par récurrence sur l'entier naturel k, que la fonction /, est, pour 
tout entier naturel n, de
classe C* sur R.

Soit nr un entier naturel fixé.

5.

. Calculer la somme : >

Calcul de 7,(0)

5.1. Déterminer, pour tout entier naturel p, une relation entre J,,1(0) et 
Z,(0).
5.2. En déduire l'expression de /,(0) à l'aide de factorielles.

_ (---1)°

par 2k+1)k!n-k!

Le résultat sera exprimé à l'aide de factorielles.

Donner le développement en série entière au voisinage de 0 et son domaine de 
validité de la fonc-
tion u > cos(u).

. Montrer que la fonction /, est développable en série entière au voisinage de 
0 et déterminer le

domaine de validité de ce développement.

Chaque coefficient sera donné sous forme d'une intégrale et on citera avec 
précision les théorèmes
utilisés.

. Quel résultat démontré antérieurement retrouve-t-on alors pour la fonction 1, 
?

FIN

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