SESSION 2024 (D PC8M
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POLYTECH
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC
MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
.< Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. . Ne pas utiliser de correcteur. « Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. 1/6 Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. 1/5 EXERCICE 1 Soit n un entier naturel non nul. On note E = R;,[X] l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 2n. Pour tout ke [0, 2n], on note e = X* et Z = (ep, ..., en) la base canonique de E. 1 Pour tout polynôme P et O de FE, on pose (P|Q) = [ P(r) Q(r) df et on rappelle que l'on définit ainsi --1 un produit scalaire sur E. Soit L l'application définie sur E par : SE 1 VPEE, LP)= | P(?) dt --] Montrer que L est une forme linéaire sur E. Déterminer L(e,) pour tout k EUR [0, 2n]|. Déterminer la dimension de Ker(L). Prouver qu'il existe une base 77, que l'on ne cherchera pas à expliciter, de Ker(L), dont le premier vecteur est ei. 5. Montrer que : 1) Vect(e,) et Ker(L) sont deux sous-espaces orthogonaux, 1) E = Vect(eo) @ Ker(L). 6. Soit À un réel. On considère l'application 7, définie sur E par : 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. VPEE, T{P)=P+AL(P)X Vérifier que T, est un endomorphisme de E. Soit PE E. Calculer (Lo T;,)(P). Déterminer la matrice de T, dans une base de Æ adaptée à la décomposition obtenue aux questions 4, et 5. Déterminer les valeurs propres de T1. L'endomorphisme 7, est-1l diagonalisable ? Justifier que T}, est un automorphisme de E. Pour tous réels «& et B, préciser 7, o Ts. Déterminer T}". EXERCICE 2 On considère une variable aléatoire X définie sur l'espace probabilisé (Q, 7(Q), P) et qui suit la loi de Poisson de paramètre À > 0.
1. Questions de cours
1.1.
1.2.
1.3.
Rappeler sans démonstration la loi de X, son espérance et sa variance.
Ecrire les développements en séries entières des fonctions sh et ch ainsi que
leurs do-
maines de validité.
Soit X, et X, deux variables aléatoires discrètes sur Q.
Rappeler la définition de « X, et X, sont indépendantes ».
2/5
2. Soit Y une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que X
et définie par :
Y = 0 si X est paire et Y = 1 si X est impaire.
2.1. Exprimer les événements {Y = 0} et {Y = 1} à l'aide d'événements {X = j}
où j EUR N.
2.2. En déduire la loi de Y et son espérance.
On donnera les résultats en utilisant les fonctions exp, sh, et ch.
3. Soit Z une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que X,
indépendante de X
Il
et telle que : Z(Q) = {1,2}, avec P(Z = 1) = P(Z = 2) = 5:
On pose T = XZ.
3.1. Préciser T(Q).
3.2. Soit k un entier naturel.
En utilisant le système complet d'événements ({7Z = 1}, {7 = 2}), exprimer la
probabilité
P(T = k) à l'aide de probabilités d'événements {X = j} et {2X = j} où j EUR N.
3.3. Déterminer la loi de 7.
3.4. Quelle est la probabilité que T prenne des valeurs paires ?
On donnera le résultat en utilisant les fonctions exp, sh, et ch.
EXERCICE 3
Question de cours
1. Soit x un réel positif. Comparer x et x'.
RARE
Soit & EÏ0, I[.
2 . oo sin (n°)
On se propose d'étudier la série de terme général a, = ,n> ].
n
sin (1°)
2. On pose pour tout f > 1, @(f) =
2.1. Justifier que la fonction f + sin(f") est dérivable sur [1, +col[ et
déterminer sa dérivée.
2.2. Justifier que v est dérivable sur [1, + et déterminer @".
l+afr
2.3. Montrer que l'on a : VfE [1,+co[, [w'(r)| < 2 2.4. En déduire que pour tout entier n > 1 :
1
Vren,n +11, [(r) -- o(n)| < É + _ Jr -- n|. n n ® 3/5 n+] 3. On pose, pour tout n > 1 : u, = [ o(t) df.
| 02
Prouver que l'ona:Vn2>l,l{|u, -- al < = + n n°4 +00 à: , sin(f 4, Convergence de l'intégrale [ @ df l COs(f) [2 4.1. Démontrer que f est intégrable sur [1, +ocol. T© sin(?) 4.2. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer alors que [ df converge. 1 7% sin (r*) Démontrer, à l'aide d'un changement de variable, que l'intégrale [ 1 df converge. En déduire que la série de terme général , converge. Prouver que la série de terme général #, -- a, converge absolument. RAS Déduire des questions précédentes que la série D dn CONVerge. n>1l
9. On suppose que la série la,| est convergente.
n>l
. 2, à
. sin (n°)
9.1. Montrer qu'alors la série est convergente.
n
n>1
On pourra utiliser la question de cours.
" cos(2x)
dx converge.
X
On procédera comme à la question 4.2.
h
9.2. Prouver que l'intégrale [
1
?' ?' ?' ?' ° cos(2 n°)
9.3. On admet alors, en procédant comme précédemment, que la série D est conver-
n
n>l
gente.
Conclure sur la nature de la série D An.
n>1l
On pourra utiliser la formule de duplication : cos(20) = 1 -- 2 sin"(0).
EXERCICE 4
Soit E = R[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
1. Soient P et Q deux éléments de E.
P q
On note : P -- > ax! et Q = De où a, # 0 et b, # 0.
k=0 k=0
Prouver que la série D 2°" P(n) Q{n) est absolument convergente.
n>0
+00
2. On pose pour tous P et Q dans E : (P|Q) -- D 27" P(n) O(n).
n=0
4/5
2.1. Montrer que : (SSS)=0 > S est le polynôme nul.
2.2. Démontrer alors que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
. Quelques calculs de sommes
+00
3.1. Rappeler l'ensemble de définition de la fonction f : 1H D f' et sa somme.
n=0
3.2. Justifier que la série D e " converge pour x EUR R'.
n>0
+00
3.3. Exprimer g : x D e "" à l'aide de la fonction f et en déduire que £ est de
classe C"
n=0
sur R.
3.4. Soit x > 0. Exprimer à l'aide des fonctions usuelles, g(x), g'(x) et g"(x).
+00
3.5. Soit a un entier naturel, on pose S, = D n°2".
n=0
Calculer So, S 1 et So.
On pourra utiliser les questions précédentes avec une valeur de x bien choisie.
On admettra que S ; = 26 et S4 = 150.
. On cherche à calculer la distance du vecteur X° au sous-espace vectoriel
R;[X] dans Æ muni du
produit scalaire défini dans la question 2.
4.1. Déterminer les réels a et b tels que X° -- aX -- b soit orthogonal à 1 et
à X.
+00
4.2. Prouver que l'ensemble D 2 "(n° -- cn - dY, (c,d) E R° | possède un
minimum.
n=0
4.3. En déduire la distance recherchée.
FIN
5/5
