CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE
Epreuve de Mathématiques B PC
durée 3 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu
i'l est
amené à prendre. '
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé
Exercice 1
E est l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur R et à valeurs dans R.
E1 est le sous--ensemble de E formé des fonctions f telles que l'intégrale
impropre
+oo
f ( ) exp( t)dt
converge pour tout a: E R.
1. Etude de quelques exemples :
+oo
a) Montrer que / exp(---t)dt converge pour tout x appartenant a R.
a:
+oo
Plus généralement, soit n EUR N, montrer que / . t" exp(----t)dt converge pour
tout x appartenant à R.
113
_ +cx>
b) Soit 513 appartenant à R, l'intégrale impr0pre / cost exp(----t)dt
existe--t--elle'?
(E
c) En déduire des exemples de fontions appartenant à E1.
2. Montrer que El est un sous--espace vectoriel de E.
3. Soit :
E
f +----------> F
+00
où F(a:) == exp(oe) f(t). exp(----t)dt pour tout x appartenant à R.
(I)
a) Montrer que ça est une application linéaire.
10) Montrer que F est de classe C1 sur R et que : F = F' + f
c)
_ 0, alors :
pour tout a: _>_ a. ( f (k) désignant la dérivée k'emede la fonction polynôme f)
Exercice 2
2 3 ---2 3 -------2 1
Soient : A == ----1 -----2 2 et P = -----1 2 -------1
1 3 -------4 0 1 2
Soit ]" l'endomorphïsme de R3 canoniquement associé à la matrice A.
1. a) Montrer que A est diagonalisable.
b) Montrer que la matrice P est inversible.
2. Soit g un endomorphisme de R3. Montrer que si f et g commutent, les
vecteurs'propres de f sont des
vecteurs propres de g. '
3. En déduire que si f et g commutent, f et 9 sont simultanément
diagonalisables.
4. On considère l'équation matricielle :
(5) M2 ----- 6M : A
d'inc0nnue M, matrice carrée d'ordre trois à coefficients réels.
a) Montrer que si la matrice M est solution de (5), alors M et A commutent.
b) En déduire que l'équation (EUR ) est équivalente à. l'équation (S' )
d'inconnue D matrice carrée d'ordre
trois diagonale :
(S') 192 -- 6D 3 A
0
0
-----5
c) Résoudre l'équation (S'), puis déterminer les solutions de (EUR )
1
oùA= ()
0
COO
Exercice 3
__:--).__>
2
E est un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormal de sens
direct R==(O, , ' ). On choisit
___)
0 comme pôle et (0, z' ) comme axe polaire; a est un réel strictement positif.
1. Tracer la courbe P d'équation polaire p : a(1 + c039)
2. Déterminer la longueur de F.
3. On considère l'application
ga: ]----7r,+7r[ -----> K
0
9 +------> t=tan--2--
1--t2i 4at
a) Montrer que : a: : 2a sont des équations paramétriques de I'.
(1+t2)2 ' y: (1+t2)2
b) Montrer que la tangente à F en le point M de paramètre 7" a pour équation :
(7--3 ------- 37)y + (372 -- 1)oe + 2a == 0
0) Montrer que cette tangente recoupe I' en deux points P1 de paramètre t1 et
P2 de paramètre t2 si
et seulement si 7"2 ___>_ 3 et alors t1.t2 : 3.
On considère les tangentes à F en ces points P1 et P2 ; montrer qu'elles se
coupent en le point N de
coordonnées (cv, fl) si et seulement si t1 et 152 sont racines de : '
P(t) = (t3 ---- 3t)fi + (3t? ---- 1)oz + 2a
a-----2a
33 .
d) En déduire que l'ensemble des points d'intersection N lorque 7' décrit ] ---
oo, --JË[U] + \/3, +oo[ est
inclus dans la courbe dont une équation est :
et alors la troisième racine &; est 753 =
103:2 ... 54y2 -- 22cm: + 4a2 : 0
e) Reconnaître et déterminer les éléments remarquables de cette courbe. La
représenter dans le repère
---> ---->
orthonormal R=(O, 72 , j ).
