e3a Maths B PC 2008

V66G

e S a
CONCOURS ENSAM - ESTP -- ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PC

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.
Premier exercice

Cet exercice a pour but d'étudier les extrémums d'une fonction lié--e à une 
matrice symétrique.
L'e5pace vectoriel IR3 est muni de son produit scalaire canonique noté {, ), 
dont la norme
associée est notée |] H.

1. Étude d 'un exemple.
(a) Vérifier les inégalités :cy _<_ %(sc2 + 3/2) et --%(m2 + 312) __<_ æy pour tous réels a: et y et préciser, dans chaque cas, les situations d'égalité. (b) En déduire que --% est un minoran--t de la fonction :try + 22 ?" = (Jay, Z) ** ... sur B3 \ {(0, O, O)} et montrer que c'est son minimum. (c) Trouver de même le maximum de 7° sur Æ3\ {(0,0,0)}. (cl) Comparer ce minimum et ce maximum à la plus grande et à la plus petite valeur pr0pre de la matrice o%o A=%OO. 001 2. Étude du cas généraf. Soit M une matrice symétrique réel le d'ordre 3 et f i'e*n=dom..orphisme canoniquement associé à M . On rappelle qu'il existe une base orthonormée BO =i(?î1,û2,ä3) de vecteurs propres pour f, chacun des vecteurs fä'k étant associé à la valeur pro-pre À;,,. On suppose À1 < À2 < À3. (a) Soit ii? un vecteur non nul de Æ3, que l'on écrit 73 : ay£Z1 + (L2'1Ï2 + agiîg dans la base Bg. Vérifier que iii .u7 a2-À ------/\ (1,2 A ------À--  =)"°'+ 1(HiñH2 % 2(nÎñn2 3)'

(b) En déduire que /\3 est le maximum de la fonction

(f(iîî)flïi>

rlf:fuîi--> __+ 2
HH)!

sur IR3 \ {Ô}.
(c) Déterminer de même le minimum de 7*_f sur IR3 \ {5}.

(d) Vérifier que l'on retrouve ainsi les résultats de la question 1.

3. Une application. On considère la matrice

_---1 0 0
Al== ' 0 1. 2 .
' () 2 4

et l'on note f son endomorphisme canoniquement associé.

(3) Déterminer les valeurs pro-pres et une base de chaque sous--e5pace pr0pre 
de f .

(b) En déduire le maximum et le minimum de la fonction *ch sur IR3 \ {Ô} et 
préciser les
vecteurs en lesquels ils sont atteints.

(c) Soit 9 la fonction définie sur B3 \ ((O, O, O)} par

----:L' +y + 2z

9< ?! .) = """???" et P la partie de ]R3 \ ((O, O, O)} constituée des triplets (cc, y, 2) tels que .:z: + y + 223 = 1. Soit (37,31, 25) E P et 75 = (53,3), 2). Vérifier que g(æ, y, z) = 7'f(ifi). (d) En déduire que g possède un minimum et un maximum sur P, que l'on calculera et préciser les points en iesquels ils sont atteints. Deuxième exercice On note A = (O, 1} >< (0, +00}. Cet exercice a pour objet l'étude de l'existence et de l'unicité, sous certaines conditions, de solutions à i'éq--uation des ondes 62F' 62F' V(a:, t) EUR A, ôt2 (cc,t) ---- 85172 (a:,t) = o. (1) Toutes les fonctions intervenant dans cet exercice sont à valeurs réelles. 1. Soit F : (:x, t) +--> F (.r, t) une fonction définie et de classe 02 sur lR2 
et vérifiant (1). On
considère alors la fonction Ep définie sur (0, +00} par:

EF(t) : à]; ((%n,n)2 + (%î--(m,t))î dac.

(a) Montrer que E F est de classe 01 sur tout segment (a, b}- incius dans [(), 
+oo[. On précisera
avec soin le théorème utilisé. La fonction E F est--elie de classe 01 sur (0, 
+oo{?

(b) Montrer que

OF ôF dF ÔF

...(133 ()...--- (1 t) = =-------(0 t)----------(O t)

W Z 0" EHÉ): ôt ():: dt

2. On se donne deux fonctions g et h définies et continues sur ]0, 1] ainsi que 
deux fonctions
a. et _,(3 définies et continues sur ]O,+oo]. On cherche à résoudre le problème 
suivant,
d'inconnue f, fonction de classe 02 sur Æ2, vérifiant le système (S):

62f ô'2f

---------(æ,t) -- -------(a:, t)- -- 0 (2)

v f,t-EUR.A... _Aæ
(£ :) ' zn2 âæ2

... Voee(o,1(.f(æ,0)=g(æ), {{(æ0>= h(æ> (3)
Vt20, f(o.t> = a(t). f(L(>=fl(ti (4)

Les fonctions 9 et 11 sont appelées données initiales et les fonction--s & et 5 
valeurs aux bords.
(a) On suppose que f1 et f2 sont deux solutions de (S) et l'on pose F = f1 
«------- f2. Vérifier
que F satisfait (1).
(b) Montrer que E%(t) == 0 pour tout t 2 0.
(c) Montrer que E p(0) == 0 et en déduire que (S) possède au plus une solution.

3. Le but de cette question est de construire quelques solutions de (S) On 
considère à cet
effet une suite bornée (an)n_>_1 de nombres réels. On définit les fonctions h 
et f par

+oo (...
l1(:I:) : 71" z ;L--äsin n7roe,)
+:--;n _

f(1: t) : ;ï:ï ;;ï sin(nwzz:) sm(mrt).

(a) Montrer que 11 est définie et continue sur ]0, 1].

, , --- - _ 2 , ,\ + -, , ' » 52.f 32f 2
(b) Montrer que f est defi--me sur Æ et possede des d--envees partielles--2-- 
ôt , à}; sur Æ. On
admettra que f est de classe C'2 sur Æ2.

(c) Montrer que la fonction f satisfait

- 2 2
V(:(:, t) EUR A %----2--tf(T t) -- %(æ, t)== () (5)
w 610,11, f(æ(0)= {{ o>= (( > (6)
W __>_ O, f(0,t) : 0, f(1, t) = 0. (7)

Troisième exercice

Ce problème a pour objet l'étude des solutions maximales d'un système 
différentiel non
linéaire.

1. Question préliminaire. Soit a, et !) deux réels avec a < 1), I = (a, bi et f une fonction définie et de classe C'1 sur I, à valeurs réelles. On suppose que f et ]" sont bornées sur [a,bl. (3) Montrer qu'il existe une constante M telle que la fonction g:tr---->f(t)+fifÏt

soit croissante sur 1

(b) En déduire que f possède une limite finie en (>.

On donne un réel t0 et (arg, 3...) un point de 1R2. On rappelle qu'une solution 
du problème

de Cauchy

%=----æ+æy

(S) : % = --2y ----- 552
' ($(to), y(to)) = (330, 3/0)
est un triplet (I,X,Y) où [ =]o,fll est un intervalle ouvert contenant t(), X 
et Y deux
fonctions définies et de classe C'1 sur I vérifiant, pour tout t EUR I :

- X'(t) = ----X(t) + X(t)Y(t)

: Y'(t) : ----2Y(t) ----- X2(t)

Ï (X(t0)= YU0)) = (OE0, yo)

et que ce problème possède une unique solution maximale (LX, Y) c'est à dire 
que pour

toute autre solution (J,X1,Y1) de (S') on a .] C I, X1(t) : X(t) et Y1(t) : 
Y(t) pour
tout t E J.

Par la suite, le point (a:... yo) est donné, on pren--d t() = 0 et (I , X , Y) 
est la solution maximale
du problème de Cauchy (b ) corre5pondant. Que ses extrémités soient finies ou 
infinies, on
notera [ :la, ,8[. Les questions suivantes ont pour but de déterminer 
l'intervalle ] . Soit u
la fonction définie sur 1 par u(t) =...-- X2(t) + Y2(t).

2. On suppose dans cette question que (3 est un nombre réel.
(a) Vérifier que la fonction u est décroissante sur I .
(b) En déduire que les fonctions X , Y puis X ' et Y' sont bornées sur (0, fil.
(c) En déduire que X et Y possèdent des limites finies en [3, que l'on notera 
respectivement
371 et 311.
(cl) On considère la solution maximale (11, X 1, Y1) du problème de Cauchy

%=--æ+xy

(SI): % == --2y ---- :L'2
(îË(fi)>y(fi)) = (9313311)--
On note 11 =]a1, [7'1( et l'on définit les fonctions X2 et Y2 sur la, [31( par
\Xt slt a , Yt- SiÉEQ,-
X2... : ixi si t ÎziirÏfli1i YZ") : inii) si t eiifl,flriii
Montrer que (]o, [31 [, X2, Y2) est une solution de (S). En déduire une 
contradiction. Que
peut--on en conclure?
3. On considère la fonction u définie sur I par v(t) : 8%" (t)

(3) Vérifier que 't) est décroissante sur I .
(b) En déduire que u(t) 5 (æä + yâ)e"2t pour tout t 2 0 puis que (X(t),Y(t)) 
----> (0,0)

lorsque t ------> +00.

4. Montrer que a = -----00 (dans le cas contraire, on pourra utiliser la 
fonction w : t l------> e4tu(t)
et en déduire que les fonctions X, Y puis X' et Y' sont bornées sur ]o, O)).