Mines Maths 1 PC 2001

A 2001 Math PC 1

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÔNS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D'ADMISSION 2001

Émmrvs DE. MATHEMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES l--Filière PC.

Cet énoncé comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

NOTATIONS

Soit Vun espace vectoriel réel _; l'espace vectoriel des endomorphismes de 
l'espace vectoriel V

est désigné par L(V). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel V; 
l'endomorphisme noté f " ,
où k est un entier naturel désigne l'endomorphisme unité Id V si l'entier k est 
nul, l'endomorphisme

obtenu en composant f k--fois avec lui-même si l'entier k est supérieur ou égal 
à 1 :

f° =IdVÂfk+l =fk°f

Soit E l'espace vectoriel des polynômes réels ; étant donné un entier naturel 
n, soit E ,, l'espace
vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n :

E = R[X] ; E,, = R,,[X].

Soit D l'endomorphisme de l'espace vectoriel E = R[X] qui, au polynôme Q, fait 
correspondre
le polynôme dérivé Q'. De même, soit D,, l'endomorphisme de l'espace vectoriel 
E ,, = R,,[X] qui,

au polynôme Q, fait correspondre} le polynôme dérivé Q'.

L'objet du problème est de rechercher des réels ). pour lesquels 
l'endomorphisme ). Id E + D
est égal au composé d'un endomorphisme g de l'espace vectoriel E avec lui-même 
; ainsi que des
réels il pour lesquels l'endomorphisme À Id F,, + D,, est égal au composé d'un 
endomorphisme g de

l'espace vectoriel E ,, avec lui--même.

Tournez la page S.V.P.
- 1/8 --

Les troisième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des 
première et
deuxième parties ainsi que des préliminaires.

müünmmxmæs

Noyaux itérés :

Soient Vun espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V.

a. Démontrer que la suite des noyaux des endomorphismes f k , k = O, 1, 2, est 
une suite de
sous--espaces vectoriels de Vemboitée croissante :

kerf° (: kerjrl c: kerf2 <: c kerf" c kerf"'+1 c: b. Démontrer que, s 'il existe un entier p tel que les noyaux des endomorphismes f P et f ?" soient égaux (ker f P -- ker f 1" 1 ), pour tout entier q supérieur ou égal a p, les noyaux des endomorphismes f '1 et f '1+1 sont égaux (ker f '1 -- ker f q+1 ) , en déduire la propriété suivante : pour tout entier k supérieur ou égal à p, ker f " : ker f P. En déduire que, si l'espace vectoriel Vest de dimension finie n, la suite des dimensions des noyaux des endomorphismes f " est constante à partir d'un rang p inférieur ou égal à la dimension n (p 5 n). En particulier les noyaux ker f ", ker f "" sont égaux. c. Démontrer que, si l'endomorphisme u d'un espace vectoriel Vde dimension finie n, est tel qu'il existe un entier q supérieur ou égal à 1 (q__ > 1), pour lequel 
l'endomorphisme u'--' est nul
(uq= O), l'endomorphisme u" est nul (u" = O).

L'endomorphisme u est dit nilpotent.

IÆEMËOEEEMUÛ£

Le but de cette partie est d'établir des propriétés des endomorphismes g 
recherchés et de
donner un exemple.

1--1 Une caractérisation des sous--espaces vectoriels stables par g:
Soit À un réel donné.
a Étant donné un entier naturel 11 (n G N), soit p un entier naturel inférieur 
ou égal à l'entier n
(0 5 p 5 n). Démontrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace 
vectoriel E ,, = R,,[X],
tel que

g2 = Â Idg,, +D,,,
l'endomorphisme g commute avec D,,
g 0 D" = D" o g.

En remarquant que le sous-espace vectoriel Ep = R}) [X] est égal à ker(D,, )"1 
, démontrer que
E P est stable par l'endomorphisme g de E ,, ; soit g,, la restriction de 
l'endomorphisme g à E p.
Démontrer la relation :

oew2=xfig+Dp

.y&.

b. Démontrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E = 
R[X], tel que
g2 : À Id}; + D,
l'endomorphisme g commute avec D :
g 0 D = D o g.

En déduire que, pour tout entier naturel n, le sous--espace vectoriel E ,, : 
R,,[X] est stable par
l'endomorphisme g et que, si g,, est la restriction de l'endomorphisme g à E 
... il vient :

(gn)2 : ÀÏdE,, +Dn-

0. Soit g un endomorphisme de l'espace des polynômes réels E : R[X] tel que :
g 2 = ). Id E + D.

i/ Soit F un sous--espace vectoriel de l'espace vectoriel E de dimension n + 1 
stable par
l'endomorphisme D. Démontrer que l'endomorphisme D_p, restriction de D à F, est 
nilpotent.

En déduire que le sous--espace vectoriel F est égal à E ,, : Rn[X]. Déterminer 
ensuite tous les
sous-espaces vectoriels G de E (de dimension finie ou non) stables par D.

ii/ Démontrer que, pour qu'un sous-espace vectoriel G de E soit stable par 
l'endomorphisme g,
il faut et il sufiit qu'il soit stable par D.

I--2\. Une application immédiate : le cas A < 0 : a, A quelle condition nécessaire sur le réel À existe--t--il un endomorphisme g de l'espace vectoriel E 0 = R0 [X] tel que g2 : ÂIdEO +Do ? b. Soit ). un réel strictement négatif (À < 0), déduire des résultats précédents les deux propriétés : . Il n'existe pas d'endomorphisme g de E tel que : g2 = À Id E + D . Il n'existe pas d' endomorphisme g de E ,, tel que : g2 = ÀIdEn +Dn. 1--3. Une représentation matricielle simple de D" : Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 1, À un réel. Matrice A 1 : soit A À la matrice carrée d'ordre n + 1 définie par les relations suivantes : ses coefficients a,.j, i = 0,1,...n, j : 0,1,...,n, sont définis par les relations : aii=À, a =l, a,...=Osij4=iousijii+l. i i+l ] Tournez la page S.V.P. -- 3/8 - C'est--à--dire : À 1 0 0 0 À 1 0 Ag, == 0 0 Â 0 0 0 0 À. a. Soitf un endomorphisme d'un espace vectoriel Vde dimension finie n + 1 tel que l'endomorphismef"+1 soit nul sans que l'endomorphisme f " le soit : f"+1 : 0, f" $ 0. Démontrer qu'il existe un vecteur y de l'espace vectoriel Vtel que la famille B = (f" 07), j""1 (y), y) soit libre. Quelle est la matrice associée à l'endomorphisme f dans la baseB ? b. En déduire qu'il existe une base B ,, de l'espace vectoriel E n = R,,[X] pour laquelle la matrice associée à l'endomorphisme Dn est la matrice A0. Que vaut la matrice associée à l'application À IdE" + DM dans cette base En ? 1--4. Un exemple : Dans cette question l'entier n est égal à 2. a. Démontrer que les seuls endomorphismes h de E 2 qui commutent avec l'endomorphisme D 2_ sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en D2 : h = aIdE2 +b D2 +C (D2)2. a, b, c sont trois réels. b. En déduire qu'il existe des endomorphismes g de E 2 qui vérifient la relation suivante : g2 = Âldgz +D2. Déterminer les matrices carrées G d'ordre 3 qui vérifient la relation suivante : G2 ==A1. DEUXIÈME PARTIE L'objet de cette partie est d'étudier le cas où le réel À est nul. Dans cette partie l'entier n est supposé donné supérieur ou égal à 1. IL]. Existence d'un endomorphisme g tel que g2 = D" : a. Montrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E n = R,,[X] tel que g2 = D... alors l'endomorphisme g est nflpotent et le noyau de l'endomorphisme g2 a une dimension au moins égale à 2 (dim kerg2 Z 2). b. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme g de l'espace vectoriel E ,, = R" [X] tel que -4/8- c. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme g de l'espace vectoriel E = R[X] tel que 2 , g = D. Il--2. Existence d'un endomorphisme g tel que g" = D'" : . Soit 111 un entier supérieur ou égal à 1 (m 2 l) et k un entier supérieur ou égal à 2 (k 2 2). Soit g un endomorphisme de l'espace vectoriel E = R[X] tel que la relation ci--dessous soit vérifiée : gk : Dm . a. Démontrer que les deux endomorphismes D et g sont surj ectifs. b. Démontrer que les sous--espaces vectoriels de E, kerg'l ont des dimensions finies lorsque l'entier q est inférieur ou égal à l'entier k (0 5 q 5 k). 0. son p un entier supérieur ou égal à 2 et inférieur ou égal à k (2 S p _<_ k). Soit (1) l'application définie dans l'espace vectoriel kergP par la relation : (D :P r----> g(P).

Démontrer que cette application @ est une application linéaire de kergP dans 
l'espace vectoriel
kergP'l. Quel est le noyau de l'application  O) soitL_,, 
l'application de R dans
_ l'espace des matrices carrées réelles d'ordre n + 1, M ,... (R) qui, au réel 
: associe la matrice Ln
définie par la relation suivante-:

M) = Î<--l)"*l£,Ë-- (L,,(t))" :
a. Démontrer que, pour tout t réel, la matrice [... + tDn est inversible et que 
son inverse, noté

Tournez la page S.V.P.
-- 5/8 -

-1 , , . .
(I,... + tD,,) , s ecnt sous la forme suivante :

(l,... + m,)"1 = Za...) (D,,)".
k=0

Déterminer les fonctions ak : t u-----> ak(t) (bien sûr : (D")0 : ...).

b. Démontrer que l'application de R dans l'ensemble des matrices, réelles, 
carrées, d'ordre
--1 , . . , . , : , . .
n + 1 : t i----+ (I,... + 1D") est denvable ; exprimer sa denvee al aide des 
matrrces

(r,,+l +:D,,)'1 etD,,.

c. Démontrer que, pour tout réel t, la matrice L,,(t), élevée à la puissance n 
+ 1 est nulle :

(Ln(1))"+1 = 0-

d. Calculer la fonction dérivée t +---+ -â--L,,(t) de la fonction ! +--> L,,(t) 
au moyen des matrices
D,, et (In+1+tDn)--l.

Étant donné un entier naturel k donné, déduire des résultats précédents 
l'expression de la

fonction dérivée ! i--» %(Ln(t))k de la fonction ! +--+ (L,,(t))" à l'aide de 
l'entier k et des matrices

L,,(t), D,, et (I,... + tD,,) "l.

III--2. Matrice (p,,(t) : .
Etant donné un réel u, soit (p,,(t) la matrice définie par la relation suivante 
:

rpu = 2 %Ê--(Ln>k.
H) .

La matrice (Ln (t) )k est la matrice L,,(t) élevée à la puissance k.

a. Démontrer qu'étant donnés deux réels u et v le produit des matrices (p,,(t) 
et (p,,(t) est égal à
la matrice (p...(t) :

 O) ; en utilisant les résultats de 
la question précédente

-6/8--

et en remarquant la relation suivante

u......1 +Dn = A (I... + â--Dn),

démontrer qu'il existe une matrice carrée réelle d'ordre n + 1 telle que
[VP = À I,... + D...

Exprimer cette matrice M avec une matrice (pu(t). En déduire l'existence d'un 
endomorphisme
g de En tel que :

g2 : ÀIdËn +Dn.

b. Retrouver les matrices obtenues à la question 1--4.

QUATRÏÈME PARTIE

IV--1 Un développement en série entière:
a. Soit h la fonction définie sur la demi-droite [---1_ 00[ par la relation:

h(x) = J1 +x.

Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre dont une 
solution est cette
fonction h.

b. En déduire qu'il existe un intervalle ouvert ]--R,R[ dans lequel la fonction 
h est la somme
d'une série entière de terme général b _p xP , p = 0,1, 2, Déterminer le rayon 
de convergence R et
les coefficients b p.

pour tout réel x appartenant à ]--R,R[, h(x) = 2 EP xP.
p=0

c. Déterminer les valeurs des réels c... n = 0,1, 2, définis par la relation 
suivante :

= Eb,, bn_p.
p___0

lV--2 Existence d'un endomorphisme g de E tel que g2 = À IdE + D où /l est 
strictement
positif :

Soit ). un réel strictement positif donné (À > 0).

a. Soit T l'application définie dans E : R[X] par la relation :

pour tout P de E, T (P) = E --Ê% DPF.

Démontrer que T est un endomorphisme de E .

b. Calculer pour tout polynôme P de E son image par l'application composée T 0 
T = T 2.

Tournez la page S.V.P.
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c. En déduire l'existence d'un endomorphisme g de E qui vérifie la relation 
suivante :

g2 = Àldg+D.

d. En déduire, pour tout entier naturel n, l'existence d'un endomorphisme g" de 
l'espace
vectoriel E ,, = Rn[Xj tel que la relation ci-dessous ait lieu :

(gn)2 : ÀIdEn +Dn.

Exprimer l'endomorphisme g,, comme un polynôme de l' endomorphisme D,,. 
Retrouver les
matrices obtenues àla question 1--4.

FIN DU PROBLÈME

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