Mines Maths 1 PC 2002

Thème de l'épreuve Équations différentielles linéaires du deuxième ordre
Principaux outils utilisés théorème de Cauchy-Lipschitz, norme d'opérateurs, suites récurrentes linéaires, formules de Taylor
Mots clefs séries entières, transformation de Laplace, équivalent de sommes, norme d'opérateur

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J . 2074

A 2002 Math PC 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AERONAUIIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICAIIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MA'l'HÈMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE-ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 1-Filière PC.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

Soit F la somme de la série entière réelle de terme général

x2n

(nl)"

cette fonction F est définie par la relation suivante :

n = 0,1,2,...;

u,,(x) =

oe

F(x) = 2 6:32 .

n=0

Le but de ce problème est de rechercher une fonction équivalente à la fonction 
F à l'infini.

Première partie

1.1 Définition de la fonction F : ,
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction F. Etudier les variations de 
la fonction F et

la convexité de son graphe.

/5 Tournez la page S.V.P.
- 1 -

I.2 Encadrement de la fonction F :
Soient (v,,)neN et (w,,)nEURN les suites réelles définies par les relations 
suivantes :

v2 |2
v,: ("') 4n, wn----ÉÜ--'--l----4n;n=o,i,z,..., (0!=1).

(2n)! _ (2n+1)!

a. Démontrer que la suite (vn)...EN est monotone croissante. En déduire 
l'inégalité suivante :

1 < 4" - =012.... (n!)2" (2n)!'" En déduire une majoration, sur la demi-droite fermée [O, 00 [, de la fonction F à l'aide de la fonction x v--+ ch(2x). b. Démontrer de même une minoration, sur la demi--droite ouverte :|0, oo [, de la fonction F à l'aide de la fonction x .---> sh(2x)/2x.

Pour tout réel x strictement positif, soit G(x) la moyenne géométrique des 
réels ch(2x) et
sh(2x)/Zx. Soit (D la fonction définie, sur la demi-droite ouverte ]0, oo [, 
par la relation suivante :

_ e2x
d>(x) ---- JY .

c. Comparer les deux fonctions G et CD à l'infini.
Deuxième partie

Dans la suite il sera utile de considérer la transformation L suivante (dite de 
Laplace). À une
fonction f donnée t »----> f(t), définie et continue sur la demi-droite ouverte 
]0, oo [, intégrable sur

tout intervalle semi--ouvert 10, a :|, (a est un réel positif quelconque), la 
transformation L associe la
fonction L(f) qui, si elle existe, est définie parla relation suivante :

L(f)(x) = _[Îf(t) e'" dt.

II-l. Exemples : transformées de Laplace des fonctions F et (D :
a. Un résultat préliminaire : soit x un réel strictement positif donné (x > O) 
; calculer pour tout

entier naturel k (k E N), l'intégrale Ik suivante :

oe
Ik =_[ t" e'"dt.
0

b. Démontrer que la fonction t r---> F (t) e"" est intégrable sur la 
demi-droite fermée [O, oe[

dès que le réel x est strictement supérieur à 2 (x > 2). Déterminer la fonction 
L(F ) en calculant
L(F ) (x) au moyen de la somme d'une série.

L(F)(x) = J: F(t) e'"dt.

-2/5-

0. Soit g la somme d'une série entière définie par la relation suivante :

s(f) = 2 (Zn)! 12"-

n=0 (n!)2

Déterminer l'intervalle ouvert ]--R, R[ de définition de la fonction g. 
Déterminer au moyen de

fonctions élémentaires l'expression de g(t) en utilisant par exemple le 
développement en série
entière de la fonction

1 .
l+u

lil--+

d. En déduire l'expression, pour tout réel x supérieur strictement à 2, de la 
transformée de
Laplace de la fonction F.

e. Déterminer, en précisant son ensemble de définition, la transformée de 
Laplace de la
fonction (1), définie pour t > 0 par la relation suivante :

l

, . . °° x
Le resultat c1-contre est admis : [ e"2dt = --Jî_-- .
o

[1--2. Une propriété dela transformation de Laplace :
Etant donnée une fonction f définie et continue sur la demi--droite ouverte ]0, 
oo [, intégrable

sur tout intervalle semi--ouvert ]0, a ], (a est un réel positif quelconque), 
soit I(/) l'ensemble des
réels x pour lesquels la fonction 1 r----> f(t) e"" est intégrable sur la 
demi--droite ouverte ]0, oe|: :

[(f) = {x | t r---+f(t) e"" est intégrable sur ]0, oe[} .

a. Démontrer que si le réel xo appartient à l'ensemble I (f), alors la 
demi-droite fermée
[x... col: est contenue dans [(I)

Soit E l'ensemble des fonctions f, considérées ci--dessus, dont l'ensemble [(f) 
n'est ni vide ni
égal à toute la droite réelle (IQ) :: G et [(f) =# R).

b. Démontrer que, pour toute fonction f appartenant à l'ensemble E, l'ensemble 
[(f) admet une
borne inférieure (10) :

a(f) = inf{x | x EUR I(f)}.
En déduire que l'ensemble [(f) est la demi--droite ouverte ]a(f), °°l: ou la 
demi-droite fermée

[a(f), oo[.

c. Démontrer que, pour toute fonction f appartenant à E, la fonction x H 
L(/)(x) est continue
sur la demi-droite ouverte ]a(f), oo [ .

Démontrer que, si la fonction f est positive, la fonction LU) est décroissante 
; en déduire que, si
a(f) appartient à I(/), la fonction L(/) est bomée sur la demi--droite fermée 
[a(/), 00 [.

Tournez la page S.V.P.
-- 3 / 5 -

d. Soit g une fonction positive appartenant à l'ensemble E, dont la transformée 
de Laplace L(g)
est bomée sur la demi-droite ouverte ]a(g), oo [ Démontrer les propriétés 
suivantes :

i/ il existe une constante positive M, telle que, pour tout réel x strictement 
supérieur à a(g)
(x > a(g)) et tout réel positif A :

A
[ g(t) e""dt 5 M.
0

ii/ En déduire que la transformée de Laplace de la fonction g est définie sur 
la demi--droite
fermée [a(g), oo[.

II-3. Comparaison des transformées de Laplace de deux fonctions équivalentes :
Soient g et h deux fonctions, positives, appætenant à l'espace E. Ces deux 
fonctions sont
supposées croître vers l'infini lorsque le réel t tend vers l'infini et être 
équivalentes à l'infini

(g :: h).
a Démontrer que les deux réels a(g) et a(h) sont égaux.
b. Ici a(h) n'appartient pas à 1 (h). Quelle conclusion y-a--t--il lieu d'en 
tirer sur L(h)(x) lorsque

le réel x tend vers a(h) (par valeurs supérieures) ? Démontrer que, pour tout 
réel positifs, il existe
un réel A tel que, pour ! supérieur àA, il vienne l'inégalité :

|g --h| : -â--lh| e-x' dt + %-- J°°|h 
k(t) la fonction définie
par la relation suivante :

oo
_ _£î_ int
k(t) -- 2 n! e .
pp.--0

a. Démontrer que, pour tout réel x fixé, la fonction k : t r--+ k(t) est 
définie et continue sur la
droite réelle R, périodique et de période 27z.

--4/5-

En déduire la valeur de l'intégrale J ci--dessous au moyen du réel F (x).

21!
J = ] |k(t)|2dI.
0

b. Calculer k(t). En déduire une expression de |k(t) |2.

c. En déduire l'expression de F (x) au moyen de l'intégrale [; exp (2 x cost) 
dt.

III-2. Trois fonctions auxiliaires :
Etant donné un réel x strictement positif, soient h1 , h; et h3 les trois 
fonctions suivantes :

h1(x)=J:/Zexp(x cost) dt ; h;(x) : [; î'--f=Ï_--? dt ;

h3(x) = [lexp(xt) J1--tdt.

a. Justifier l'existence de ces trois intégrales.

b. En effectuant d'abord le changement de variable u : Jl ---- t dans 
l'intégrale servant à
calculer h2(x), déterminer un équivalent de h2(x) lorsque le réel x tend vers 
l'infini.

c. Déterminer de même un équivalent de h3 (x) lorsque le réel x tend vers 
l'infini.

, . . °° ::
Le resultat cr-contre est adrms : I e"" Jï du = --'/-2----
o

d. Établir la propriété suivante : il existe une constante C telle que, pour 
tout réel u de
l'intervalle semi--ouvert [O, 1 [, la relation ci--dessous soit vraie :

S CJ] ----u.

__Î_____L__
J] --u2 J2(1 --u)

e. Déduire des résultats précédents un équivalent de h1 (x) à l'infini.

III-3 Équivalent de la fonction F à l'infini :
Déduire des résultats précédents un équivalent de la fonction F à l'infini.

FIN DU PROBLÈME

--5/5--