Mines Maths 1 PC 2003

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUS SÉES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AER9NAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMÜNÏCAÏIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES l--Filière PC.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

L'objet de ce problème est d'introduire suivant une méthode originale la 
fonction 1" et de
déterminer, à l'aide de cette fonction, une expression de l'intégrale 1 
suivante :

1t/2
[: _[ ln(ln(tanx))dx.
1t/4
Première partie

Il est admis que, si la fonction réelle f, définie sur un intervalle I de la 
droite réelle R, est
convexe, pour toute suite croissante de trois réels xl, x2, x3, (xl < x2 < x3) appartenant à l'intervalle I, les valeurs prises par cette fonction en ces points vérifient la relation suivante : f(xz)--f(x1) < f(x3)--f(xi) < f(x3)--f(xz)_ X2--Xl --' x3--x1 -- X3--X2 Soit F une fonction inconnue, définie sur la demi--droite ouverte ]O, 00 [, prenant des valeurs strictement positives (F (x) > 0), qui vérifie les propriétés suivantes :
i. pour tout réel x strictement positif :

F(x+ 1) = xF(x).

ii. La fonction x n---+ lnF (x) est une fonction convexe.
iii. La fonction F prend la valeur 1 en 1 :

F(1) = 1.

Encadrement de F (n + x) et de F (x) :
Dans les quatre premières questions, x est un réel appartenant à l'intervalle 
semi--ouvert ]0, 1 ]

et n un entier naturel supérieur ou égal à 2 (n 2 2).
]. Démontrer les inégalités suivantes :

lnF(n +x) -- lnF(n)
___--___x _

lnF(n) -- lnF(n -- 1) _<_ _<_ lnF(n +1)---- lnF(n). 2. Calculer F (11). En déduire un encadrement de F (11 + x) à l'aide des deux expressions (n ---- l)".(n --1)!etn'.(n -- l)! . 3. Établir la relation qui lie, pour tout entier p supérieur ou égal à 1 (p 2 1), F (p + x) à F (x). 4. En déduire les inégalités suivantes : x | XÎ"F(x) S x(x+ln).Î(x+n) _<_F(x). Unicité de la fonction F : Dans les questions 5 et 6, il est admis qu'il existe une fonction F, positive (F (x) > O), définie
sur la demi-droite ouverte ]0, oo [, vérifiant les hypothèses i, ii et iii.

Étant donné un entier strictement positif n, soit un la fonction définie sur la 
demi-droite ouverte
10, oe[ par la relation suivante :

n".n!

u,,(x) : x(x+ l)...(x+n)'

5. Déterminer, en supposant le réel x appartenir à l'intervalle semi--ouvert 
]0, 1 ], la limite de
la suite (u,, (x))neNt lorsque l'entier n croît indéfiniment.

6. En déduire la limite de la suite (u,,(x))neN* lorsque l'entier n croît 
indéfiniment, pour tout
réel x strictement positif.

7. En déduire qu'il existe au plus une fonction F définie sur la demi--droite 
]0, oo [, strictement
positive, vérifiant les propriétés i, ii et iii.

Fonction l" :
Soit k la fonction définie sur le quart de plan ]0, °°[ x ]0, oe[ par la 
relation suivante :

k(x, t) = tx'1.e".

8. Étudier, pour un réel x donné, l'intégrabilité de la fonction : t |---+ t'" 
1.e" ' sur la demi--droite
ouverte ]0, oo [ .

Soit P la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]0, oo[ par la relation 
suivante :
F(x) : [°° f--1.e--f dt.
o
9. Établir que cette fonction F est strictement positive (F(x) > O).

10. Établir que cette fonction I' est deux fois confinûment dérivable sur la 
demi-droite ouverte
]0, oo [. Donner les expressions de ces dérivées. Préciser l'expression de la 
dérivée de la fonction

F pour x = 1, I"(1 ), au moyen d'une intégrale.

Existence dela fonction F : ,
11. Démontrer que la fonction I' est la fonction F étudiée dans les questions 
précédentes.

11 est admis, dans la suite, que la constante d'Euler )! est définie par la 
relation suivante :

y=lim ( -}-(----lnn).
n--+oe k=l

Valeur de I"(1) : .
Soit (g,,),,21 la suite des fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou 
égal à 1 (n a l), sur
la demi--droite ouverte ]0, 00]: par la relation suivante :

g,,(x) = x lnn------lnx--Êln(l + -î--)
k=l

12. Déterminer, à l'aide des résultats obtenus précédemment, la limite de g,, 
(x) lorsque l'entier
n croît vers l'infini et que le réel x appartient àla demi-droite ouverte ]0, 
oo [.

Soit (v,,)n21 la suite de fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou 
égal à 1 (n 2 l), sur
la demi--droite ouverte ]0, oo[ par les relations suivantes :

vl (x) : gl (x) ; pour tout entier n supérieur ou égal à 2, v,,(x) : g,,(x) --- 
g,,_ 1 (x).

13. 11 est admis que chaque fonction v,,, 11 G N* , est conünûment défivable ; 
démontrer que la
série des fonctions dérivées, de terme général v,, '(x), n G N* , est 
convergente pour tout x
strictement positif puis uniformément convergente sur tout segment [a, b ] 
contenu dans la

demi--droite ouverte ]0, oo [

14. En déduire la limite de la suite des fonctions dérivées g,, '.

15. Que vaut F'(l) au moyen de la constante d'Euler y ?

Seconde partie

Soit s un réel donné strictement positif (s > 0).

Fonction L :

16. Etudier la convergence de la série de terme général w,,, n EUR N, défini 
par la relation
suivante : --

.. (--1)"

""' " (2n+1)'°

Soit L la fonction définie sur la demi-droite ouverte ]0, Go!: par la relation :

17. Démontrer que la série entière de terme général

H)" 2...
2n+1 x ' neN,

est uniformément convergente sur le segment [O, 1 ]. Soit rp(x) la somme de 
cette série :

Déterminer la fonction (p définie sur le segment [O, 1 ] En déduire L(l ).
18. Soit hs la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]0, oo [, par la 
relation suivante :

hs(x) : ln

x
xs'

Étudier les variations de la fonction hs sur son ensemble de définition. Soit 
xs l'abscisse du
maximum de cette fonction. Préciser les variations de la fonction s o----> xs.

19. Démontrer que la fonction L est confinûment dérivable sur la demi-droite 
ouverte ]0, oo [
Exprimer la valeur prise en 1 par la fonction dérivée L', L'(1 ), au moyen de 
la somme d'une série.

Expression du produit L(s).F(s) :
20. Calculer, pour tout entier n strictement positif (n e N* ), au moyen d'une 
valeur prise par
la fonction I' , l'intégrale suivante :

®
],1 = I e"'" ts°1dt.
o
21. Démontrer la relation :

L(s).fls) = [: Î--ÎËÏÎ tS"1 dt.

Calcul de l'intégrale ] :

Il est admis que la fonction s r--+ L(s).F(s) est confinûment dérivable et que 
sa dérivée est
donnée par la relation suivante :

°° e"' Int
0 l+e""

%(L(s).f'(s)) = [ :... dt.

22. Après avoir donné au réels la valeur 1, effectuer le changement de variable 
u = e' dans
l'intégrale. Effectuer un nouveau changement de variables pour obtenir 
l'intégrale I définie dans le
préambule :

1r/2
I = " ln(ln(tanx)) dx.

1!

En déduire une expression de l'intégrale I à l'aide de la constante d'Euler et 
de la somme d'une
série.
Remarque : un calcul de L'(l) permet d'obtenir le résultat :

1r/2

_ _ F(3/4)
[_ mln(ln(tanx))dx .. %'n(Ær(1/4))

FIN DU PROBLÈME