Mines Maths 1 PC 2006

A2006 MATH. IPC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3' heures)

L'uSage d'ordinateur ou de calculette est interdit._

Sujet mis à la disposition des concours :
EN STIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la

copie :
MATHÉMATIQUES I - PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve,' un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énonCé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives

qu'il est amené à prendre.

On rappelle que la fonction Gamma est définie pour tout réel 2 > 0 par

F(z) = / t""1e_t dt.
0

Cette fonction possède les deux pr0priétés suivantes:
--- pour tout réel 2 strictement positif, P(z + 1) : zF(z);

-- il est admis que

lug--1 _ u 5...1 u _ P(O4)P(fi>
[@ (1 ) d _F(a+fi)'

pour tous réels & > 0 et fi > O.

I. Fonctions hypergéométriques

1). Soit 2: un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires

et suffisantes sur les réels oz et 5 pour que la fonction

soit intégrable sur IR+.

2) Soit z un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires

et suffisantes sur les réels &, ,5 pour que la fonction
tl_> (_t)a--1(l + t)fi_16_2t?

soit intégrable sur ] -- 17 0 [.

On fixe maintenant deux réels Oz > O, [3 > 0 et on définit les fonctions

pour tout réel strictement positif z.

Montrer que Il et 12 sont continûment dérivables sur ]RÏÎr et que

1{ = --K et 15 = ----K + 12. (E)

Montrer que zK : oz]1 + 512.

11(Z)

En déduire que le vecteur I(z) : ( ] ( )
2 Z

) est solution d'un système

différentiel linéaire sur Rî :
l'(Z> = «4(2)1(2), (S)

où A(z) est une matrice que l'on explicitera.

Montrer que K satisfait sur R'; une équation différentielle linéaire d'ordre

2 que l'on explicitera.

On définit les fonctions

Montrer que les fonctions J1, J2, L satisfont les mêmes relations que

respectivement, 11, 12, K définies dans l'équation (E), que le vecteur

J
J = ( J1 ) est solution du même système différentiel que 1 (voir (S))
2

et que L satisfait la même équation différentielle que K (trouvée à la

question 6).

II.

...)

11)

12)

Calcul du Wr0nskien de (8)

Montrer que pour tout t > O et z 2 1
t - ._ '
t 5_1 ; l5--1l<1+t>5--2781Û227
@ _) _ 1 < z t '"lÛ--ll,Sl/3S2 Z En déduire que peur tous réels & > 0, 3 > 0
+00 _
/ t°"1(1 + r)Ü--1e"zt dt
0

est équivalent à P(d)z"° quand 2 tend vers +00, c'est--à--dire que

(/O+oeta--l(i +t)5"1e"zt dt -- F(a)z--a> : o(z--a),

quand 2 tend +00.

Montrer7 pour tous réels & > 0 et 5 > 0 et pour tout réel z, l'identité:

1
"î ' 2
/ (----t)°'_l(l + t)fi"1e_Zt dt : EURZZ--fi/ ufi"1(l -- Ï)O'_1e""du.

1 0

En déduire que cette intégrale est équivalente à P(fi)eZz--Ü quand :: tend

vers +00.

En déduire que
0
/ (--t)°"1(i + t)fi_1e--Zt dt,
. --1

est équivalent à Î(5)ezg_fi quand 2 tend vers +00.

Pour tous réels & > O, 5 > 0, z > 0 on définit le VVr0nskien

]1(Z> J1(Z))
12(Z) J2(Z) '

513)

14)

15)

Donner un équivalent de w(z) quand z tend vers +00.

Montrer que w satisfait une équation différentielle linéaire d'ordre 1 que

l'on explicitera.

Montrer que, pour tout z réel strictement positif, w(z) : I'(a)I'(fi)z"a"fiez.

III. Développement en série

16)

17)

18)

Montrer que si fi est un entier strictement positif
OO
/ t" 1(1 + t)51 e"'Z't dt= z"û*5+1P(z)
0

où P(z) est un polynôme de degré 5 ---- 1 en la variable 2, que l'on expli--

citera.

Pour tout réel :1: et tout entier positif n, on pose

n--1

(...) = H(æ + k),

k=0

pour n > 0 et (33,0) : 1.

Soient @ et b deux réels. On suppose de plus que 19 n'est pas un entier

négatif. Calculer le rayon de convergence de la série entière de terme

général
!:
Uk :____ (a, )
k!(b,k)
On note alors pour tout réel oe

F(a,b,oe)

Montrer pour tout réel strictement positif z, l'identité suivante:

0 a----- , --1 --zt __ FF()3)
/--1(--t) 1(1+Ë)B EUR dÉ----- mF(OE,Q+/Ü,Z>.

19) Montrer directement (sans utiliser la partie 1) que la fonction y(æ) :

F (a,b,æ) est solution sur R de l'équation différentielle suivante

OE@/'(OE) + (b -- OE)y'(æ) -- ay(OE) = 0-

20) Montrer que si () n'est pas un entier, on peut trouver des réels a' et b'
tels que y(z) : z1"bF(a', b', 2) soit solution sur R*+ de la même équation

différentielle.

FIN DU PROBLÈME