Mines Maths 1 PC 2010

A 2010 MATH I PC
ECOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PC).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).
CONCOURS 2010
PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Filiere PC
(Duree de l'epreuve : trois heures)
Sujet mis a la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
MATHEMATIQUES I - PC
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives
qu'il est amene a prendre.

Theoreme de la Limite Centrale.

Notations
On introduit les trois espaces vectoriels sur R de fonctions suivants
­ C0 (R), l'espace des fonctions continues u de R dans R telles que
lim u(x) = 0 = lim u(x).

x-

x+

On rappelle qu'une telle fonction u est necessairement bornee sur R.
­ C0 (R), l'espace des fonctions continues et de classe C  (sur R) u de R dans R
telles que
k  N, lim u(k) (x) = 0 = lim u(k) (x).
x-

x+

(k)

On a note u la derivee k-ieme de u.
­ P(R), l'espace des fonctions continues positives bornees de R dans R dont
l'integrale sur R est egale a 1.
On munit C0 (R) de la norme de la convergence uniforme kk : plus precisement, 
pour
toute fonction u  C0 (R), on pose
kuk = sup |u(x)|.
xR

On pourra utiliser librement le theoreme de Fubini admis ci-dessous :
Theoreme 1. (Fubini) Soit (x, y) 7 F (x, y) une fonction continue de R × R dans
R. On suppose que F verifie les trois proprietes suivantes.
R +
R +
1] Pour tous reels x, y, les deux integrales - |F (v, y)|dv et - |F (x, t)|dt 
convergent.
R +
R +
R +
2] Les fonctions y 7 - |F (x, y)|dx, x 7 - |F (x, y)|dy, y 7 - F (x, y)dx,
R +
x 7 - F (x, y)dy sont toutes continues sur R.
R +
3] y 7 - |F (x, y)|dx est integrable sur R, c'est a dire que l'integrale :
Z

+ Z +

-

-

|F (x, y)|dx dy

converge.
R +
R +
Alors dans ce cas, y 7 - F (x, y)dx et x 7 - F (x, y)dy sont integrables sur
R, et leurs integrales sur R sont egales. Autrement dit, on peut intervertir 
les deux
integrales :
Z + Z +
Z + Z +

F (x, y)dx dy =
F (x, y)dy dx.
-

-

-

2

-

I. Preliminaires
Pour f et g appartenant respectivement a P(R) et C0 (R), on definit le produit 
de
convolution f  g par la formule
Z +
x  R, f  g(x) =
f (t)g(x - t)dt.
-

On definit f  g(x) par la meme formule si f  C0 (R) et g  P(R).
R +
Q1 Soient f  P(R) et g  C0 (R). Montrer que l'integrale - f (t)g(x-t)dt converge
pour tout reel x. Puis montrer que f  g definit une Rfonction continue sur R. 
(On
pourra utiliser le theoreme de continuite sous le signe et on verifiera avec 
soin que
les conditions de validite sont remplies). Verifier de plus que
x  R, f  g(x) = g  f (x).
Q2 Montrer que lim f  g(x) = 0. (On considerera une suite reelle quelconque
x+

(xn )nN tendant vers +. On verifiera avec soin qu'on peut appliquer le theoreme 
de
convergence dominee pour etudier lim f  g(xn )). Montrer de meme que
n+

lim f  g(x) = 0.

x-

Q3 Soient f et g appartenant a P(R). Montrer alors que f  g definit une 
fonction de
P(R). Plus precisement, montrer que f g definit une fonction continue sur R, 
bornee,
positive et d'integrale egale a 1. (On appliquera le theoreme de Fubini a la 
fonction
(x, y) 7 f (y)g(x - y) et on pourra se contenter de ne verifier que les 
conditions 1] et
3]).
Dans la suite on admettra et utilisera librement le resultat suivant. Si f et g
appartiennent a P(R) et u est une fonction de C0 (R) alors,
f  (g  u) = (f  g)  u.
Soient f1 , . . . , fn des fonctions de P(R). On definit alors le produit de 
convolution
f1  . . .  fn par recurrence comme suit :
f1  . . .  fk = (f1  . . .  fk-1 )  fk , k  {3, . . . , n}.
Il est clair que f1  . . .  fn est une fonction de P(R).
Dans la suite, on notera f n la fonction f  . . .  f, la fonction f intervenant 
n fois.
II. Une classe d'operateurs sur C0 (R)
Soit f une fonction de P(R). On lui associe l'operateur Tf agissant sur C0 (R) 
defini
pour tout u  C0 (R) par
Tf (u) = f  u.
3

D'apres Q1 et Q2, Tf definit un endomorphisme de C0 (R).

Q4 Soit f une fonction de P(R). Prouver que pour tout u  C0 (R),
kTf (u)k  kuk .
Q5 Soient f et g deux fonctions de P(R). Prouver que pour toute fonction u de 
C0 (R),
Tf Tg (u) = Tg Tf (u)
ou Tf Tg designe la composee des operateurs Tf et Tg .
Q6 Soient f1 , f2 , g1 , g2 des fonctions de P(R). Prouver que pour tout u  C0 
(R),
kTf1 Tf2 (u) - Tg1 Tg2 (u)k  kTf1 (u) - Tg1 (u)k + kTf2 (u) - Tg2 (u)k
Q7 Soient f et g des fonctions de P(R). Prouver que si u  C0 (R), alors pour 
tout
n  N ,
k(Tf )n (u) - (Tg )n (u)k  nkTf (u) - Tg (u)k .
III. Lois normales
On introduit pour tout reel h > 0, la fonction
gh (x) =

x2
1
 e- 2h2 , x  R
h 2

dite loi normale de parametre h. On admet que g1 est une fonction de P(R).

Q8 Pour tout reel h > 0, montrer que gh est une fonction de P(R), puis calculer 
les
deux integrales suivantes :
Z +
Z +
xgh (x)dx,
x2 gh (x)dx .
-

-

Soient h1 > 0 et h2 > 0 deux reels strictement positifs. On admettra que :
gh1  gh2 = gh ,
p
ou h = h21 + h22 .

Q9 Soit h > 0. Etablir les deux egalites suivantes entre operateurs :
n

n  N , Tgh = Tg h
= T(g h )n .
n

n

IV. Convergence faible sur P(R)
Definition : Soit (fn )nN une suite de fonctions de P(R). On dira que (fn ) 
converge
faiblement vers f , f etant une fonction de P(R), si pour toute fonction u de 
C0 (R),
lim kTfn (u) - Tf (u)k = 0 .

n+

4

Soit u une fonction de C0 (R). On fixe un reel h > 0 et on considere la fonction
Tgh (u) : R  R definie pour x reel par :
Z +
Z +
(gh  u)(x) = Tgh (u)(x) =
gh (t)u(x - t)dt =
gh (x - t)u(t)dt,
-

-

ou gh a ete defini au debut de la partie III.
Q10 Soit h strictement positif fixe et k  N. Demontrer qu'il existe un polynome 
Pk,h
dont on precisera le degre tel que :
x  R, (

2
dk
- x2
2h .
g
)(x)
=
P
(x)e
h
k,h
dxk

Q11 Soient h, a  R+ et k un entier positif ou nul. Prouver qu' il existe une 
fonction
k : R  [0, +[ continue par morceaux et integrable sur R telle que :
x  [-a, a], t  R, |Pk,h (x - t)e-

(x-t)2
2h2

|  k (t).

La fonction k ne depend que de h, a et k. (On pourra majorer |Pk,h (x - t)e-
(x-t)2
-
4h2

independamment de (x - t). Ensuite on pourra majorer convenablement e
|t|  2a et x  [-a, a]).

(x-t)2
4h2

|

pour

Q12 Soient h strictement positif fixe et u  C0 (R). Demontrer que Tgh (u) est 
une
fonction de classe C 1 sur R. Puis montrer que Tgh (u) est de classe C  sur R.
Q13 Pour h strictement positif fixe et u  C0 (R), demontrer que Tgh (u) est une
fonction de C0 (R).
Z -
Z +
gh (t)dt et lim+
gh (t)dt.
Q14 Soit  un reel strictement positif. Determiner lim+
h0

-

h0

Q15 Soit u  C0 (R). Prouver que
lim kTgh (u) - uk = 0.

h0+

Pour cela on utilisera la question precedente ainsi que le resultat admis 
suivant, valable
pour tout u  C0 (R) :
 > 0,  > 0, x, y  R, |x - y|    |u(x) - u(y)|  .
Q16 Soit (fn )nN une suite de fonctions de P(R) et f une fonction de P(R). On
suppose que pour toute fonction u de C0 (R),
lim kTfn (u) - Tf (u)k = 0.

n+

Prouver alors que (fn ) converge faiblement vers f . (On pourra utiliser les 
questions 4
et 15).
5

2
Dans la suite, f est une fonction
R + de P(R) telle que x  x f (x) est aussi
R + dans P(R).
On admet que l'integrale - tf (t)dt converge et on supposera que - tf (t)dt = 0.
Pour tout n entier strictement positif, on introduit les deux fonctions fn et 
fn# definies
par :

x  R, fn (x) = nf ( n x), fn# (x) = nx2 fn (x).

On admettra que fn et fn# appartiennent a P(R).

u(x - t) - u(x) + tu (x)
Q17 Soit x  R et u 
Verifier que t 
se prolonge
t2

continument en t = 0. Puis montrer que pour tout n  N on a :
!
Z +

 1 
u(x - t) - u(x) + tu (x) 1 
n Tfn (u)(x) - u(x) - u (x) =
- u (x) fn# (t)dt,
2
2
t
2
-
C0 (R).

ou u designe la derivee premiere de u et u designe la derivee seconde de u.
Q18 Demontrer que pour toute fonction u de C0 (R),
lim

n+

 1 
n Tfn (u) - u - u
2

= 0.

R +
R - R 
(On pourra considerer les trois integrales - , - et  , avec  > 0 bien choisi,
dans le second membre de la formule de la question precedente).
Q19 Montrer que pour toute fonction u de C0 (R),
lim kTfnn (u) - Tg1 (u)k = 0,

n+

ou g1 a ete definie au debut de la partie III. (On pourra utiliser les 
questions 7, 9
et 18). Conclure que la suite (fnn ) converge faiblement vers g1 ; on rappelle 
que la
notation f n a ete definie juste apres la question 3.
FIN DU PROBLEME.
Ce dernier resultat intervient en theorie des probabilites. Il constitue une 
version
faible du theoreme de la limite centrale dans le cas de variables aleatoires a 
densite
de probabilite f continue bornee sur R.

6