Mines Maths 1 PC 2013

A 2013 MATH I PC

ECOLE DES PONTS PARISTECH.

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2013

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis a la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I _ PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Le flot de Toda

On note R l'ensemble des nombres réels, I la matrice unité d'ordre m et ej le 
j--ème
vecteur de la base canonique de R'" dont les composantes sont les %, i = 1, m. 
On
rappelle que 515 = 0 si j # i et 515 = 1 si j = i.

On note (u lv) le produit scalaire des vecteurs u et v de R. Les vecteurs de R'"
seront assimilés a des matrices colonnes; "u note le transposé du vecteur u.

L'expression : i = 1, m signifie "pour tout i entier tel que 1 S i 5 m."

1 Tridiagonalisation

Soit u un vecteur unitaire de R'" ; la matrice
H = I -- 2u "u, (1)

est la matrice de Householder d'ordre m associée au vecteur u.

Question 1 Montrer que Hu : --u et que Hv : v dès que v est orthogonal a u.
Question 2 Démontrer que H est symétrique et orthogonale.

Question 3 Soit g E R'", de composantes %, 1 S i 5 m, un vecteur unitaire non

colinéaire à el. On pose u = (g -- el) /«/2 (1 -- %)» montrer que u est 
unitaire et que
Hg=EUR1.

Question 4 En déduire que si a: est un vecteur de R'" non colinéaire à el, il 
eriste
un vecteur unitaire u et une matrice de Householder associée H telle que Ha:= 
Ha:H e1.

Soient c un réel, Q une matrice symétrique réelle d'ordre m -- 1, q21 un 
vecteur de

t
Rm_1 et Ô= ( qc ?? ) une matrice définie par blocs. Si H1 est une matrice de
21
C

1
ÇH1

1SiSm, 15j£m '

Householder d'ordre m -- 1 ; on pose HÏ= ( ) , où Ç note le vecteur nul dans

AAA

Rm_1, ainsi que @ : H1QH1 : (ay--)

Question 5 Montrer que @ est semblable a @ et qu'on peut choisir H1 de telle 
sorte
que 311 : 31i : () pouri : 3, m.

On dit qu'une matrice T= (TZ-j)
li -- jl > 1.

1Sz'Sm, 1Sy'Sm est tr1d1agonale s1 rij : 0 des que

Question 6 En déduire un procédé permettant de déterminer une matrice 
tridiagonale
symétrique semblable a @.

2 Matrices de J acobi

Une matrice tridiagonale symétrique réelle est encore appelée matrice de J 
acobi.

Soit
{bl al 0 0 \
a1 (92 a2 È
T0= () a2 0 (2)
\6 s' 'äÎl

une matrice de Jacobi d'ordre m. On pose ao : a... = 0 et on suppose que ai # 0,
i = l, m -- 1. On note 0 (TO) le spectre de T0, c'est--à--dire l'ensemble de 
ses valeurs
propres.

Question 7 Soit À EUR 0 (T0) et a: un vecteur propre associé de composantes
@, j = l, m. En raisonnant par l'absurde, montrer que EUR... # 0.

Question 8 Démontrer que les sous--espaces propres de T0 sont de dimension 1. 
Quel
est le cardinal de 0 (TO) ?

3 Paires de Lax

On remplace désormais les ai et les bi par des fonctions a valeurs réelles ou 
et &
de la variable réelle t. On pose alors

{sl(t) d1(t) () 0 \
041 (t) 52 (t) 042 (t) "' 3
T(t)= @ OE2(t) 0 - (3)

ainsi que

U(t)= 0 --a2(t) 0 (4)

\ 0 0 --a..._1(t) @ }

et on étudie le système différentiel non linéaire suivant :
T'(t)=U(t)T(t)--T(t)U(t), tEURR (5)
T (O) : TO donné par (2),

dont on admettra qu'il possède une solution et une seule T(t) définie sur R. Le 
couple
(T (t) ,U (t)) constitue une paire de Lait.

Question 9 Etant donnée T(t) solution de (5), et donc U(t), démontrer que le 
sys--
tème différentiel

v'(t)=U(t)v(t),teR (6)
v (O) = 1,
admet une solution et une seule V(t) sur R.

Question 10 Montrer que pour tout t E R, la matrice V(t) solution de (6) est
orthogonale.

Question 11 Montrer que"V(t)T(t)\/(t) est une matrice constante que l'on 
détermi--
nera. Les valeurs propres de T(t) dépendent-elles de t ?

On montre facilement, et on admettra, que le système différentiel (5) peut 
s'écrire
sous la forme suivante :

{ a; (t) = a. (t) (5... (t) --e- (..., z'= ..._ 1 (,,
a (t) = 2 (a? (t) -- aä_1(t)) . z'= ...

avec oz,-(O) : a,, i : 1,7n-- 1, fi,-(O) : b,, i : 1,7n et d0(t) : 0 : a...(t) 
Vt E R.
C'est le système de Toda.

4 Etude asymptotique

Pour tout réel t, on pose
1
L(t)=ZOEÎ(t)+îzfiz-Z(t)- (8)

Question 12 Montrer que la fonction L est constante. En déduire que les 
fonctions
5,- sont bornées sur R, soit par D.

Question 13 Pour 1 S i 5 m -- 1, montrer que 2 f0t 04,2 (t) dt : zj=l,i (5,-- 
(t) -- b,) et
en déduire que les 04,2 sont intégrables sur R.

Question 14 En déduire que les &- (t) , i = 1, m possèdent une limite quandt + 
ioo.

Question 15 Déduire des résultats des questions précédentes que la fonction 
oz,ozâ est
intégrable sur R. En déduire la limite de oz,- (t) lorsque t + ioo.

On note xt (À) : det (ÀI -- T (t)) le polynôme caractéristique de la matrice 
T(t) et
À,-, i = 1, m les valeurs propres de T rangées dans l'ordre décroissant.

Les limites de &- (t) pour t + +00 ou t + --oo seront respectivement notées @+
et 5,-- ; l'ensemble des fi,-+ , i = 1, m sera noté B+ et celui des 5,-- sera 
noté BÎ

Question 16 Montrer que pour tout À E R, xt (À) tend vers H,=Lm (À -- 5Ï) (res--
pectivement vers H,=Lm (À -- 55)) lorsque t --> +oo {respectivement --oo).
Question 17 En déduire que 0 (T) : B+ : B_.

On rappelle que, par hypothèse, oz,- (O) = a,- 7£ 0, i = 1, m -- 1.

Pour i fixé compris entre 1 et m -- 1, on note A+ : {t > 0 la,- (t) = O} et
A_ ={t<0lor,(t) =D}. Question 18 On suppose que A+ n'est pas uide et on pose r : inf {t lt EUR A+}. Dé-- terminer la valeur de oz,- (r) et montrer que pourt EUR ]0, r[, oz,- (t) est du même signe que a,. Question 19 En supposant toujours que A+ n'est pas vide, montrer que Vt EUR [O,rl, ln la,- (t)l -- ln la,- (O)l S 2Dr. En déduire que nécessairement A+ : @, puis que oz,- ne s'annule en aucun point de R. Question 20 En raisonnant par l'absurde, montrer que Æ,ÎH < fi,-+ , i = 1, m -- 1 ; en déduire que @+ : À,-, i = 1, m. Question 21 Montrer que si 5 est choisi tel que 0 < 5 < fi,-+ -- ,ÎH, i = 1, m-- 1, alors il eriste S et C strictement positifs tels que Vs > S, la,- (s)l < C'e_53, i = 1, m -- 1. En déduire que pourt > S, EIC" > 0 tel que lÀ,- -- &- (t)l < C'e_25t, i : 1,m. Fin de l'épreuve