Mines Maths 1 PC 2021

A2021 - MATH I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion

Dans tout le sujet, on fixe un espace probabilisé (Q, À, P) sur lequel toutes 
les variables
aléatoires considérées sont définies. On utilisera systématiquement la locution 
« variable
aléatoire » pour parler d'une variable aléatoire réelle discrète, et « variable 
aléatoire
entière » pour parler d'une variable aléatoire à valeurs dans Z. On pourra noter

X(Q)={x,, nel}
où J est un sous-ensemble fini ou dénombrable de N et x, EUR R pour tout n EUR 
I.

Définition 1 (Dispersion d'ordre a) On fixe un réel a > 0. Soit X : Q -- R une
variable aléatoire. On dit que X vérifie la condition (D,) - dite de dispersion 
d'ordre
a - lorsque, quand n tend vers +00,

P(IX| > n) = +0(--) (1)

Définition 2 (Variables aléatoires symétriques) On dit que X est symétrique
lorsque --X suit la même loi que À, autrement dit lorsque

Vxe X(Q), PIX = x) = PIX = ---x). (2)
On admet le principe de transfert de l'égalité en loi :

Théorème 1 Étant donné deux variables aléatoires X et Y prenant leurs valeurs 
dans
un même ensemble E, ainsi qu'une application u : E -- F, si À et Y suivent la 
même
loi alors u(X) et u(Y) aussi.

Dans tout le sujet, on se donne une suite (X,),-1 de variables aléatoires 
entières,
mutuellement indépendantes, toutes de même loi, symétriques, et vérifiant la 
condi-
tion (D,). On admet que sous ces conditions la variable X,:1 est indépendante de
X,+---+X, pour tout n EUR N*.

On pose, pour tout n EUR N*.

Nr

appelée n-ième moyenne empirique des variables X,. L'objectif du sujet est 
d'établir la
convergence simple d'une suite de fonctions associées aux variables M.
Les trois premières parties du sujet sont totalement indépendantes les unes des 
autres.
Questions de cours

1 > Soit À une variable aléatoire. Rappeler la définition de « X est 
d'espérance finie ».
Montrer alors que X est d'espérance finie si et seulement si [X| est d'espérance
finie.

2 > Soit À une variable aléatoire. Montrer que si À est bornée, autrement dit 
s'il existe
un réel M > 0 tel que P(IX] < M) = 1, alors X est d'espérance finie. Généralités sur les variables aléatoires 35> Soit À une variable aléatoire entière vérifiant (D,). Montrer que X n'est 
pas
d'espérance finie, et que X? non plus.

4 > Soit À une variable aléatoire symétrique, et f : R -- R une fonction 
impaire. Mon-
trer que f(X) est symétrique et que si f(X) est d'espérance finie alors E(f(X)) 
--
O.

5 & soit À et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. En 
comparant
la loi de (--X, --Y) à celle de (X, Y), démontrer que X + Y est symétrique.

Deux sommes de séries

On fixe ici un nombre complexe z tel que z £ 1 et |z] < 1. On introduit la fonction U Z Litis | du. o L-- UuZ 6 > Montrer que, sur le segment [0,1|, la fonction L est convenablement définie 
et de
classe C®. Donner une expression simple de sa dérivée n-ième pour tout n > 1.

7 > Justifier que pour tout t EUR 0,1], on a 1 --t < [1 --tz|, et plus précisément encore que 1--t<|1--#t2|. 8 > En déduire successivement que

f

1 --t
l -- {2

n 1 .n+1I 1--1+)?
dt -- 0 et | 2 ) d --> 0.
n--+00 0 (1 -- tz}nt1 n--+00

10 > Montrer que la fonction

_JR° --R
tu) 1 + ue

est continue. En déduire qu'il existe, pour tout a EUR |0,7|, un réel m, > 0 
tel que

V(t,u) E[-a,al x [0,1], [1+ue*| > m,

11 > Montrer que la fonction

1 et
F:tel-rr|----

o 1 +ueît

est de classe CT et donner une expression de sa dérivée sous la forme d'une 
intégrale
à paramètre.

12 > Montrer que

VLE -x,x|, F(t) -- = AU +

et en déduire la valeur de F(t) pour tout t EUR |--T,7|.

13 > Soit 0 EUR |0,2r|. Déduire des questions précédentes que

+00 OO 4: _
ÿ cos(nÛ) L -m(2 in c) t sin(nÛ) _T-0

n n 2

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire
symétrique

On fixe dans cette partie une variable aléatoire symétrique À. On pose

G... R --RkR
F4 -- E(cos(iX)),

appelée fonction caractéristique de X.

14 > Montrer que ® x est bien définie, paire et que VER, [®x(t)| < 1. 15 > En utilisant le théorème du transfert, montrer que ® x est continue.

Dans la suite de cette partie, on suppose que À est une variable aléatoire 
entière
symétrique vérifiant la condition (D,). Pour tout n EUR N, on pose

Rn:= P(IX| > n).

16 > On fixe un réel t EUR [0,27{[. Montrer successivement que

+00

Px(t) = D (Rs -- Ray) cos(nt)

n=0
puis
+00

Px(t)=1+ R, |cos(nit) -- cos((n -- 1)t)|.

n=1l

On pourra établir au préalable la convergence de la série DR, cos(nt).

17 > Montrer qu'il existe un nombre réel C tel que

+00 a |
D(R, _ =) ent sc
n=1 nm t--0+

et en déduire que, quand t tend vers 07.

+00 T2

Sd RAcos(nt) = O(lnt) et ÿ R, sin(nt) -- _. + o(1).

n=1l n=1l
18 > Conclure que, quand t tend vers 0?,
Px(t)=1- + ot).

La fonction ® + est-elle dérivable en 0 ?

Convergence simple de la suite des fonctions
caractéristiques des variables M,

19 & Soit X et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. Montrer 
que

VEER, Dray (t) = Px(t)Dy(t).
20 > Démontrer que pour tout entier n > 1, la variable 17, est symétrique et
VER, ®u,(t) = (Ex(t/n)) :

21 > En déduire que pour tout réel f,

Put) -- exp(-T 2.

n-- +00 2

22 > La convergence établie à la question précédente est-elle uniforme sur R ?

À partir de là, des théorèmes d'analyse de Fourier permettraient de démontrer 
que
la suite (M,),>1 converge en loi vers une variable de Cauchy de paramètre ©, ce 
qui
signifie que pour tout segment [a, b] de R,

bd
Pa