Mines Maths 1 PC 2023

A2023 --- MATH I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Quelques inégalités de convexité autour du déterminant

Notations et résultats admis

Dans tout le problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note
M, (R) (resp. M, 1 (R)) l'ensemble des matrices de taille n x n (resp. n x 1) à
coefficients réels.

La matrice identité de M, (R)) est notée J,.

Si À EUR M, (R), det (A) est le déterminant de la matrice À, Tr (A) sa trace, 
Sp (A)
son spectre et A! sa transposée.

On note S, (R)) l'ensemble des matrices symétriques à coefficients réels de 
taille
n xXn.

Sur Mi (R}", on définit l'application (:,:) par
V(IX,Y)EMa(R), (XY)=x'Y

où X | est la transposée de X. On admet que l'on définit ainsi un produit 
scalaire
sur M, 1(R). On note ||-| la norme associée.

On admet que l'application À EUR M, (R) + |A, = Tr (A'A) est une norme sur
M, (R).

On note ST (R) (resp. STT(R)) l'ensemble des matrices symétriques S EUR S, (R)
telles que
VX EM,1(R)\{0}, (SX, X) > 0 (resp. > 0).

Soit C une partie non vide d'un R-espace vectoriel Z. On dit que C' est convexe
si : pour tous x,y EUR Cet pour tout t EUR [0,1|, (1--t)x +tye C!

On admet que si C est une partie convexe d'un R-espace vectoriel Æ, alors pour

tout p EUR N*, pour tout (z1,...,%,) EUR CP et pour tout (A1,...,4,) EUR (R; }? 
tel que
p p
d -- 1, alors dt; EC.

-- Une application f : C -- R définie sur une partie convexe C' d'un R-espace 
vectoriel
E est dite convexe si

V(a,y) EC, VEELO,1], (tx +ty) < (16) f(x) +Ef (y). -- Une application f : C -- R définie sur une partie convexe C' d'un R-espace vectoriel E est dite concave si son opposé, -- f, est convexe, c'est-à-dire Viry) EC, VEELO,1], f((L---t)x+ty) 2 (16) f(x) +Ef (y). Partie 1 : Questions préliminaires 15> Montrer qu'une matrice S EUR S,(R) appartient à ST (R) si, et seulement si,
Sp (S) C R:.

De même, on admettra dans la suite du problème que : S EUR SYT(R) si, et 
seulement
si, Sp(S) EUR Ri.

2 > Montrer que S7 (R) et ST(R) sont des parties convexes de M, (R). Sont-elles
des sous-espaces vectoriels de M, (R) ?

3 > Montrer que, si À EUR STT(R), il existe S EUR STTR) telle que À = S*.

4 > Soit Î intervalle de R. Soit f : Î -- R une fonction convexe. Montrer que, 
pour

p
tout p EUR N*, pour tout (A,...,À,) EUR (R};)" tel que ÿ À; = 1 et pour tout
i=1
(t1,...,2) EUR LP, on à :

f 5 a) < ù x f(&). Indication : On pourra procéder par récurrence sur p. Partie 2 : Une première inégalité de convexité Soit M EUR ST(R) une matrice non nulle. Tr (M) 5 > Montrer l'inégalité > det !/" (M).

Indication : On pourra montrer que x > --In(x) est convexe sur R.

On pourra dans la suite de cette partie utiliser, sans la prouver, l'inégalité 
ci-dessous

V(xi,...,2») E(R:),

2
il 1 1 n 1 n

2max{21,...,Xn} are | > ÿ fs")
k=1 k=1 ;

k=1 3=1

Sir

6 > Exprimer ||W{|, en fonction des valeurs propres de M.
7 > En déduire que

(M) arr ag à dt ON) En],
n ' _ 2n [M |

Partie 3 : On continue avec de la convexité
8 > Soient À EUR SÛR) et B EUR S,(R). Montrer qu'il existe une matrice diagonale

D EUR M, (R) et Q EUR GL, (R) telles que B = QDQ' et À = QQ'. Que dire des
éléments diagonaux de D si B EUR SÈT(R) ?

Indication : On pourra utiliser la question 3.
9 > Étudier la convexité de la fonction {+ In(1 + et).
10 > Montrer l'inégalité

V(A,B)e S++(R}, det "(A+ B) > det /" (A) + det !/"(B).

11 > Montrer que, si À et B appartiennent ST (R), alors :
VtE [0,1], det((1--+) A+4B) > det(A) 'det(B)'.

Justifier que cette inégalité reste valable pour À et B seulement dans ST(R)).
12 > Que peut-on en déduire sur la fonction In o det sur ST (R)) ?

Partie 4 : Encore de la convexiteé !

Soit À EUR SÈT(R) et soit g:tE RH det (1, +tA).

13 > Exprimer, pour tout t EUR R, g(t) à l'aide des valeurs propres de À. En 
déduire que
g est de classe C© sur R.

145 Soit f:trIn(det (17, +tA)). Montrer que

VKER,, In(det(7, +tA)) < Tr(A)é. Partie 5 : Et pour finir... de la convexiteé ! Soient À EUR STT(R) et M EUR S,(R). Soit l'application f1 définie sur R par fa(t) = det(A +tM). 15 > Montrer que f1 est de classe C® sur R.
16 > Montrer qu'il existe £0 > 0 tel que, pour tout t EUR] -- &0,EUR0l, A+tM 
EUR SR).

17 > Montrer que f4(t) = det(A) + det(A)Tr(A- M }t + o(t).

Indication : On pourra commencer par traiter le cas où À -- 1,
18 > Déterminer f,(t) pour tout t EUR] -- &,EURol.

19 > On admet que la fonction  :t+ (A +4M) test de classe CT sur | -- £0,EUR0l. 
En
remarquant que (té) x (A+{tM) = 1,, montrer que

(ét) = A7 AMA 4 +o(t).

0
1
Soit à EUR [= +00 F\ {0}. On définit l'application @, par
n

1
Vt EUR] -- EURo, EURol, Pa(t) -- e det (A +tM).

20 > Montrer que w,, est dérivable sur | -- £0,£0l et que
VE EUR] -- 60,EUR0[ @4(4) = -Tr ((A+4M) M) det (A +4M).
21 > Montrer que &, est deux fois dérivable en 0 et que

2%.(0) = det"*(4) (aTr?(A-TM) + Tr (AM) ))

22 > Montrer que A 71M est semblable à une matrice symétrique réelle.
Indication : On pourra utiliser la question 3.

23 > En déduire que $/(0) > 0.

24 > Montrer que, si w"(0) > 0, alors il existe 7 > 0, tel que pour tout t EUR] 
-- », nl,

1 1
-- det"-*(A +4M) > ---det (A) --'Tr(A-'M)det (At.
a a

Fin du problème