Mines Maths 2 PC 2001

A 2001 Math PC 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRÇNAUÏÏQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇAÏIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTOENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNÏQUE (Filière STI).

CONCOURS D'ADMISSION 2001

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2--Filière PC.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

L'objet de ce problème est l'étude de l'équation différentielle suivante :
El: xy"+(l--x)y'--Ày=0.

Où la fonction y est une fonction inconnue deux fois confinûment dérivable de 
la variable x et À un
réel donné.

PREMIÈRE PARTIE

I--1. Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle :

Il est admis qu'il existe une fonction fa, somme d'une série entière de rayon 
de convergence R,
strictement positif, prenant la valeur 1 en O, (f1(0) : 1), solution dans 
l'intervalle ]--R,R[ de
l'équation différentielle E 1-- Cette fonction est définie par la relation : '

f, (x) = 1 + Z a,,x".
n=l

a. Déterminer les coefficients a... n 2 l, en fonction de l'entier n et du réel 
À. Préciser les
foncüonsfl , fo, f_1 , f_2.

Tournez la page S.V.P.
- 1/4 -

b. Pour quelles valeurs du réel il la fonction fz_ est--elle un polynôme '? 
Préciser son degré en
fonction de la valeur ----p donnée au réel À et le coefficient du terme de plus 
haut degré (le terme
dominant).

0. Quel est le rayon de convergence R de la série entière de terme général a,, 
x", n 2 1, lorsque
le réel A est différent des valeurs obtenues précédemment ?

Il est admis, dans la suite, que la fonction fg, est la seule fonction, 
développable en série entière
sur toute la droite réelle, qui soit solution de l'équation différentielle E a 
et qui prenne la valeur 1 en
0.

1--2. Solution de l'équation différentielle E 1 :
Dans cette question le réel À est égal à l :

El: xy"+(l---x)y'--y=0.

a. Déterminer la solution générale fl de l'équation différentielle E 1 sur la 
demi-droite ]0, oo [,
exprimer cette solution à l'aide de fonctions usuelles et de la fonction 
définie sur la demi--droite
]O,oo[, par la relation

x --2'
x r-----> J --e----dt.
1 l

b. Déterminer de même la solution générale de l'équation différentielle E 1 sur 
la demi--droite
]--°°, 0 [-

c. Déterminer enfin les fonctions solutions sur R de l'équation différentielle 
E 1.

1--3. Relation entre les fonctions fg, : ,
Etant donné un réel À, soit g 3_ la fonction. définie sur la droite réelle R 
par la relation suivante :

ga(x) = 6" fa(--X)-

a. Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par 
la fonction g 1.

b. En déduire, en admettant que le produit de deux fonctions réelles 
développables en série
entière sur la droite réelle R est encore une fonction développable en série 
entière sur la droite
réelle R, que, pour tous réels À et x, il vient :

fl--À(x) = exfz(--x)--

0. Préciser, lorsque p est un entier strictement positif, les fonctions fp. En 
déduire les fonctions

f2 CÎf3.

d. Soit p un entier donné supérieur ou égal à 1 (p _>_ 1) ; quelle est, lorsque 
le réel x croît
indéfiniment, la limite de l'expression ci--dessous :

j};+1(X) ?
XJ}(X)

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1--4. Application à une équation aux dérivées partielles :
Soit Q le sous-ensemble ouvert de R3 , rapporté à un repère Oxyz, obtenu en 
retranchant de R3
le plan Oxy :

Q : {(x,y,Z) | (x7yaz) EUR R3 9 2 $ 0}

Soit F une fonction inconnue, définie dans l'ouvert Q, vérifiant l'équation aux 
dérivées
partielles (P) suivante :

2 2 2
( ) 6x2 ôy2 822

Il a été posé dans cette relation :

r = ,/x2 +y2 +22.

Comment y a--t--il lieu de choisir le réel 2. pour que la fonction F définie 
dans l'ouvert Q par la
relation suivante

F = ----1fi--fa(r),

soit solution del' équation aux dérivées partielles (P) ?

SECONDE PARTIE

L'objet de cette seconde partie est l'étude de certaines propriétés de la 
fonction fl @. Dans ce
but soit (p la fonction, définie pour tout réel x, par la relation suivante :

15/2 _ 2
(p(x) = ! ex S'" 9a'9.
o
Étant donné un entier naturel p, soit Ip l'intégrale définie par la relation 
suivante :

1C/2
]p = [ sin2P6 dB.

0

lI--1. Détermination de l'intégrale IP :
Etablir une relation entre les intégrales Ip et I }... . En déduire la valeur 
de l'intégrale Ip.

II-2. Relation entre les fonctions (0 et fl @ :
a. Démontrer que la fonction (p est définie et continue sur toute la droite 
réelle R. Est--elle
plusieurs fois confinûment dérivable ?

b. Déterminer le développement en série entière de la fonction (p sur un 
intervalle ]---R, R [. En
déduire qu'elle est proportionnelle àla foncfionf 1/2. Préciser le coefficient 
de proportionnalité.

Tournez la page S.V.P.
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lI-3. Encadrements de (p(x) :
a. Démontrer que, pour tout réel u strictement inférieur à 1 (u < 1), l'inégalité ci-dessous existe : b. Soit x un réel strictement inférieur à l (x < 1 ) ; soit J(_x) l'intégrale définie par la relation suivante : 1r/2 619 J = ----------------. (x) "0 1----x sin29 Calculer l'intégrale J (x). c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel x strictement inférieur à 1 (x < 1), la fonction (p vérifie l'encadrement suivant : 0 _<_ «10: 5 £- ---4---1-----. . ) 2 r----1 __ x (1. Démontrer l'existence d'une constante A strictement positive telle que pour tout réel x inférieur ou égal à '--l (x _<_ -----1 ), la fonction (p vérifie la minoration suivante : A. JÎ--Î' e. Démontrer que la fonctionfuz admet une limite lorsque le réel x tend vers --00. Préciser cette limite. Est--ce que la fonctionf... est intégrable sur la demi--droite ]--oe,--l] ? W) Z II--4. Étude d'une fonction h : Soit h la fonction définie sur la droite réelle par la relation : h(x) = e--x/2f1/2(XÎ). a. Démontrer que la fonction h est paire et que la valeur de h(x) est donnée par la relation suivante : h(x) : k jZ" ch (x 00259 ) de. où k est une constante qui sera déterminée. b. Déterminer, lorsque le réel x croît indéfiniment, les limites des deux expressions suivantes : h(x) et h(;) . c. Étudier les variations de la fonction h et tracer la courbe représentative, lorsque le réel x varie sur la droite réelle R. FIN DU PROBLÈME .-4/4--