Mines Maths 2 PC 2004

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAU'I'IQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TÉLÉCOMMUNIÇAÏIÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICAI'IONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, lNT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie:
MATHÉMATIQUES 2--Filière PC.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Dans tout le problème l'entier n est strictement positif (n 2 1 ) ; 
l'expression C£ désigne le
nombre des parties ayant p éléments d'un ensemble de n éléments. Autre notation 
:

......

Première partie

Soit (un)"EN et (P,, ) "SN les suites de polynômes définies par les relations 
suivantes :

u,,(x)=x"(x--l)" ; P,,(x)--«---- ", 1£nun(x).

Intégrale de la fonction u,, sur le segment [(= [0,1]:
l. Étant donnés un réel strictement positif et (a > O) et un entier naturel k 
(k & N ), démontrer
l'existence de l'intégrale Ia, ,, définie ci--dessous et la calculer:

I
!" == L}x""' (x-- 1)"dx

2. Déduire du résultat précédent la valeur de l'intégrale de la fonction u,, , 
étendue au segment
K : [O, 1], en fonction du coefficient du binôme Câ " :

fx" (x--l)"dx

0

Polynômes P,, :
3. Déterminer le degré du polynôme P,, et préciser le coefficient de son terme 
de plus haut

' degré.

4. Déterminer de deux manières différentes le polynôme P,, : la première, par 
dérivation de
l'expression de u,, obtenue après développement ; la seconde, par dérivation du 
produit
x" (x ------- l)" ; le résultat sera exprimé en fonction d'expressions du type 
x" (x --- 1 )"" ".

5. En déduire la relation :
== Z(C£: >'
M
Deuxième partie

Étant donnés deux réels a et b, strictement positifs (0 > 0, b > O) , soit J 
(a, b) l'intégrale
suivante :

d.t

J(a, b)= [;f"*

1+t"

Intégrale J(a, b) :
6. Étudier l'existence de r intégrale J(a, b).

7. Démontrer que l'intégrale J (a, b) est égale à la somme de la série de terme 
général
(------1)"/(a+kb),k EUR N:

J(a b)== Ê%

8. En déduire la somme de la série suivante :

Étant donné un réel a strictement compris entre ------1 et 1 (----1 < a < 1 ), soit ça,, la fonction définie sur l'intervalle ouvert ! = ]----l , l [ par la relation suivante : 'Pa(x) " ............l... (l ---- a x) Jl --- x2 9. Démontrer que la fonction «pa est intégrable sur l'intervalle ouvert 1. Soit K(a) l'intégrale de la fonction (p,, étendue à l'intervalle I : K ..........l... (a)== I'" (] ---ax)de IO. Démontrer, pour tout réel a appartenant à l'intervalle ouvert 1 = ]--l , l [, la relation suivante : l K(a):Za2k ...Â%L.dx M "' l---x2 Il. Déterminer, en admettant le résultat suivant K(a) --== ---------------'£..., J] -------a2 le développement en série entière de la fonction K : a 1----+ K(a) dans un voisinage de l'origine. Préciser le rayon de convergence. 12. Exprimer, pour tout entier n strictement positif, la valeur de l'intégrale L,, ci--dessous en fonction du coefficient du binôme Cg " : 1 2 n Ln : ...«L..... dx I"' J] ---- x2 Troisième partie Soit f la fonction définie sur la demi--droite ouverte ]--oe, 1 [ par la relation suivante : Développement en série entière de la fonction f dans un voisinage de 0 : 13. Déterminer le développement en série entière de la fonction f dans un voisinage de l'origine 0. Préciser le rayon de convergence de la série entière. Déterminer des coefficients a... n e N * , de façon que ce développement s'écrive sous la forme suivante : 1 oo ! ==...=1+2 a,,C" t". fl) J---_--_--t n»! 211 Développement en série entière de la fonction g dans un voisinage de 0: 14. Établir que la fonction g vérifie une équation difl'érentielle linéaire du premier ordre. 15. En déduire le développement en série entière de la fonction g dans un voisinage de 0. Préciser le rayon de convergence R de la série entière obtenue. 16. Établir, lorsque le réel x appartient à l'intervalle ouvert de convergence de la série entière, l'expression ci--dessous de g(x) : g(x) : Z 22"...--1 x2n--l_ " nul "C2" 17. Déduire des résultats précédents la somme 23 de la série suivante : .. 21 2.4 1 2.4.6 ___1___ 2 1+32"" 3.522 3.5.7 23 Soit 11 la fonction définie sur l'intervalle ouvert 1 m ]----1 , 1 [ par la relation suivante : + __ x2 x arcsin(x) h(x) ...1----x2 + ...(1--x2)m . 18. Démontrer que la fonction h est développable en série entière dans un voisinage de 0 ; déterminer des coefficients B... n EUR N'" , de façon que ce développement s'écrive sous la forme suivante : 19. Déduire des deux dernières questions la somme de chacune des séries de termes généraux v... n EUR N'", et w... n 6 N'", définis respectivement par les relations suivantes : 1 . 1 v = , w == . " n C 3 n " C; ,, Quatrième partie Le but de cette partie est de montrer que, plus généralement, étant donnés une fonction F, définie et continue sur le segment K % [O, 1 ], et un réel a strictement positif, il existe des coefficients c,,(a ), k EUR N, permettant d'écrire la relation suivante : 1 Ft °°_ 1 1, : [OÎÎÊË)--Îdt= ëck(a) jo F(t) zk dt. Étant donné un réel et strictement positif (a > 0), soit f,, la fonction 
définie sur la demi--droite
ouverte ]--oo, ] [ par la relation suivante :

fn") ""'" Îï"%"ïj"â".

Développement de la fonction fi, en série entière :

20. Déterminer le développement en série entière de la fonction f,, dans un 
voisinage de 0 ;
préciser le rayon de convergence. Soit c,,(a) t", k & N, le terme général de la 
série entière obtenue.
Démontrer que les coefficients ck (a ), k 6 N, sont strictement positifs.

L'intégrale la est égale à la somme d'une série.
21 . La fonction F étant une fonction définie et continue sur le segment K = 
[O, 1 ], étudier,

lorsque le réel 0: est strictement compris entre 0 et 1 (0 < a < 1), l'existence de l'intégrale la : Ia :J1._Æ_dL (» (l...--t)" 22. Démontrer, lorsque le réel 0: est strictement compris entre 0 et 1 (0 < a < 1), la relation suivante : °° 1 I.,, z % 67,01) [0 F(t) t" dt. 23. Application : démontrer que le coefficient du binôme C; n est égal à la somme d'une série dont le terme général dépend de coefficients C choisir, par exemple, la fonction F et le réel a définis par les relations suivantes : k . 2k' F(t)"=t"'Jï ; (Ix--%. FIN DU PROBLÈME