Mines Maths 2 PC 2006

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures)

L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la

copie :
MATHÉMATIQUES II --- PC.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'ênoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives

qu'il est amené à prendre.

L'objectif de ce problème est de montrer la propriété suivante: soient
deux familles de réels (ak, le : 1, -- -- ,n) et (bk, !: = 1,--- ,n) 
satisfaisant

O O.

I.

Préliminaires

Dans Cette partie, A est un élément de 8...

Montrer que A est positive si et seulement si les valeurs propres de A

sont toutes positives.

Montrer que A est définie positive si et seulement si A est positive et

inversible.

Si A est définie positive, montrer qu'il existe une matrice C, symétrique

définie positive telle que 02 =' A.

Si A et C sont symétriques définies positives et C2 = A, montrer que,

pour toute valeur propre À de A, on a:

Ker (A -- /\In) = Ker (C -- \/XIn).

En déduire que si A est définie positive, il existe une unique matrice
symétrique définie positive telle que C'2 = A et que dans toute base de

vecteurs propres de A, C est diagonale.

On notera désormais C : A1/2.

On suppose A définie positive. Montrer qu'il existe une unique matrice,
notée A"1/2, symétrique définie positive telle que A°1/2A"1/2 : A"1.

Prouver que (Al/2)"1 = A'1/2.

Soit B une matrice symétrique positive qui commute avec A. Est--ce que

A1/2 et B"2 commutent?

II. Inégalité de KANTOROVITCH

Dans cette partie, A est une matrice fixée de S... définie positive. On

range les valeurs propres de A, répétées suivant leur multiplicité, dans l'ordre
croissant: () < À1 _<_ . . . _<_ Àn. On note m et M deux réels strictement positifs tels quemî À1 et A,; _<_M. 9) Pour tout élément X EUR Mn1, montrer l'inégalité suivante: (XIX)? < (AX|X)(A"1X|X). (2) 10) Quelles sont les matrices pour lesquelles cette inégalité est une égalité pour tout X de M...1? Soit F la fonction polynomiale qui a tout s de IR associe F(s) = 52 --(m+M).s+mM. 11) Quelles sont, en fonction de celles de A, les valeurs propres de la ma-- trice F (A)? 12) Montrer que toutes les valeurs propres de F(A) sont de même signe. Préciser ce signe. 13) Soit N la matrice définie par N = -- (A-- (m+M)In+mM/l_l) . Montrer que N est symétrique positive. Pour tout élément X EUR Mn,1, on considère l'application polynomiale f de IR dans IR défini par: f(s) = (AX | X).s2 -- (m + M)(X | X).s + (A"1X|X)mM. 14) 15) 16) 17) 18) Calculer f(O) et f(l) et montrer que f(0)f(l) < 0. Établir que pour tout X EUR Mn,1, l'inégalité suivante est satisfaite: (m--l--M)2 (AXlX)(A'1XlX) _<_ 4mM (XlX)2-- (3) Soit D = {(...,M) EUR IR2 /0 < m 5 /\1 g ,\n 5 M}. Établir l'identité suivante: inf (... + M)2 _ (A1 + /\n)2 'D mM À1Àn On suppose que A n'est pas une homothétie. On considère X 1 (respecti-- vement X n) un vecteur colonne propre, de norme 1, pour la valeur propre À1 (respectivement An). On pose X = X 1 + X... Calculer (AX | X)(A--1X | X) (X | X )2 ' Que peut--on en déduire sur l'inégalité (3) ? III. Inégalité de PÔLYA-SZEGÔ On suppose dorénavant que A1 et A2 sont deux matrices symétriques, définies positives qui commutent. On note mi (respectivement AL), la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre de A), pour i = l, 2. On pose D : A1A'2'1. 19) Déterminer un réel oz tel que pour tout élément X de Mn,1, l'inégalité suivante soit satisfaite: (DX ) X)(D--1X | X) 5 a(X | X)? 20) Exprimer (D(A1A2)1/2X| (A1A2)1/2X) en fonction de A1X, pour tout X E M.... 21) Montrer que pour tout X EUR M...1, l'inégalité suivante est satisfaite: (A1X | A1X)(A2X | A2X) S 01 (A1X ' A2X)2. 22) Établir la relation (1). FIN DU PROBLÈME