A 2007 MATH. II PC
ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de la
copie :
MATHÉMATIQ UES II _ PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives
qu'il est amené à prendre.
Étude d'une série trigonométrique
On rappelle que pour tout réel 3: > 0,
+00
l'(a:) : / toe_1e_t da:.
0
Par ailleurs, pour tout réel t,
et e_t
cht : +--
On pose, pour tout réel 3: et tout 04 EUR]O, + oo[,
Sa(a:) : Z sinqîgæ). (1)
L'objectif de ce problème est d'étudier différentes propriétés de cette
fonction.
Dans tout le problème, u représente un réel de ] -- 1,1[.
I Deux représentations de Sa
D 1 -- Prouver que pour tout oz > 1, la fonction Sa est continue sur R.
Cl 2 -- Étudier, en fonction du paramètre v E R, l'intégrabilité sur ]0, + oo[,
de la fonction
t"_1
J : tl--> .
et -- u
Soit t 2 0. On pose,
u N--1
_ --t --t n oz--1
RN(t,u) -- (et _ u -- ue â(ue ) )t .
D 3 -- Simplifier l'expression de RN, en l'écrivant sous forme d'une fraction.
D 4 -- Prouver que pour tout u 6] -- 1,1[,
+oo
II
Exprimer, en fonction de l'(oz), la constante K (oz) EUR R+ telle que pour
tout oz > O,
'n
+OOutOA--l +OOu
dt=K -- t t e-1,1. 2
/0 ZW ... ou u l [ <>
et--u
n=1
On admet que l'identité (2) reste vraie aussi pour u = e":" où a: EUR]0,27T[.
En déduire pour a: E R \ 27TZ, l'identité suivante:
sina: +°° tO'_1
Sa = -- _ dt.
(a:) 2F(d) /0 ch t -- cosa:
Montrer, pour tout M > O, pour tout u 6] -- l, 1[, l'égalité suivante:
M toc--1 +OO M toc--1
dt = "-- dt
[@ cht -- u Z/O u (cht)"+1
n=0
Établir, pour tout u 6] -- l, 1[, l'identité
+oo
M toc--1 +OO +OO toc--1
l° "' _ dt = "" _ dt.
Mig--100 ; u /0 (ch t)"+1 g u /0 (ch t)"+1
0
Pour a: E R \ 7TZ, exprimer Sa(a:) en fonction de fonctions trigonomé--
triques et de Ga où
+oo
Ga(u) = Zanu" pour u 6] -- 1,1[
n=0
avec
+00 toc--1 d 3
n = _ t.
CL /0 (Ch t)n+1 ( )
Comportement asymptotique
Soit B :]O,--l--oo[--> R une fonction continue telle que:
/0 00 lB(s)l ds < +00. (4) B(s) = asÀ_1(l --l-- 0(1)), 8 --> 0+, & > 0, À EUR]0, + oo[. (5)
10--
11--
12--
13--
Prouver que pour tout 6 > 0, il existe 5 > 0 tel que, pour tout n 2 1,
5
|/ (B(s)e_ns -- asÀ_1e_ns) ds < 6 & Î(À). 0 n)\ Prouver que pour tout 5 > 0, il existe une constante C(5) > 0 ( que
vous exprimerez sous la forme d'une intégrale indépendante de n ) telle
que pour tout n > 1
+00
| / (B(s)e_ns -- asÀ_1e_ns) ds 5 Ce_("_1)ô.
5
Prouver que, sous ces hypothèses,
+oo _ r()\)
B(s)e "3 ds : & À (1 --l-- o(1)), quand n --> +00.
0 n
Montrer que pour tout entier n, on peut écrire
&" = /... °" (63 + "623_--1>>a--1
623--1
e_"3 ds,
où an est défini dans (3).
On pose dorénavant, pour tout s > O,
D 14--
Ü15--
(m (as + «2-- -- 1>>"5
623--1
B(s) :
Donner un équivalent de la fonction B au voisinage de O+.
Déterminer la limite de anna/2 quand n tend vers l'infini.
FIN DU PROBLÈME
