Mines Maths 2 PC 2008

A 2008 MATH. II PC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Stabilité d'un polynôme trigonométrique
Définition 1. On appelle polynôme trigonométrique toute fonction c de la 
variable
réelle x de la forme
c(x) =

X

cn einx

n=-

où les cn sont des nombres complexes, tous nuls sauf un nombre fini d'entre 
eux. On
appelle degré de c, noté deg c, le plus petit entier K tel que cj = 0 pour tout 
|j| > K.
On désigne par E l'ensemble des polynômes trigonométriques ; on tiendra pour 
acquis
que E est un C-espace vectoriel stable par la multiplication des fonctions.
Pour un nombre complexe z, (z) représente sa partie réelle et (z) sa partie
imaginaire.

I

Stabilité d'un polynôme trigonométrique
1. Montrer que l'on définit une norme sur E en posant
kck =

X

|cn |

n=-

pour tout c  E.

2. Soit c  E, établir pour tout entier p de {- deg c, · · · , deg c}, l'identité
1 Z
cp =
c(x)e-ipx dx.
2 -
3. Montrer que pour tout c  E, on a
sup |c(x)| 6 kck 6 (2 deg c + 1) sup |c(x)|.
xR

xR

Définition 2. On dira que le polynôme trigonométrique c est stable lorsque la 
suite
kck k des normes de ses puissances successives est bornée quand k décrit N.
4. Montrer que s'il existe x0  R tel que |c(x0 )| > 1 alors c n'est pas stable.
Le but de la suite de ce problème est de montrer que la condition |c(x)| 6 1 
pour
tout réel x n'est pas suffisante pour que c soit stable.
2

II

Un polynôme trigonométrique particulier

Dorénavant,  désigne une constante réelle telle que 0 <  < 1 et a désigne le polynôme trigonométrique a(x) = 2 cos x - i sin x + 1 - 2 . Pour tout entier k > 2, on note ak,n les nombres complexes tels que la 
puissance k-ième
de a(x) s'écrive
ak (x) =

k
X

ak,n einx .

n=-k

5. Établir, pour tout réel x, l'identité
x
|a(x)|2 = 1 - 4(2 - 4 ) sin4 ·
2
En déduire que a vérifie les propriétés a(0) = 1 et |a(x)| < 1 pour tout x appartenant à ]0, ]. 6. Donner les développements limités à l'ordre 4 au voisinage de 0 des fonctions g et h définies par ! (a(x)) g(x) = ln(|a(x)| ) et h(x) = arctan . (a(x)) 2 7. En déduire que l'on a, au voisinage de 0, la relation suivante : a(x) = exp -i x + i - 3 3 2 - 4 4 x - x + o(x4 ) . 6 8 Il existe donc trois réels ,  et  strictement positifs et une fonction  : [-, ] C, tendant vers 0 quand x tend vers 0 tels que l'on ait, pour tout x dans un voisinage de 0, a(x) = exp -ix + i x3 - x4 (1 + (x)) . On admet que la fonction  est définie et de classe C 1 sur [-, ]. Dans toute la suite, on posera d(x) = exp -ix + i x 3 et b(x) = exp -x (1 + (x)) , de sorte que a(x) = d(x)b(x) et |a(x)| = |b(x)|. 3 4 III Majoration des coefficients de ak Soit [r, s] un segment de longueur non nulle de R, soit f une fonction de classe C 2 sur R à valeurs réelles. On suppose qu'il existe K > 0 tel que |f  (t)| > K 
pour tout
t  [r, s] et que de plus f  (t) > 0 pour tout t  [r, s].
8. Montrer l'inégalité
Z s
r

f  (t)
2
dt 6 ·

2
(f (t))
K

9. En intégrant par parties l'intégrale
Z s
r

1
f  (t) cos f (t) dt,

f (t)

établir que
Z s

cos f (t) dt 6

r

4
·
K

Dans les question 10 à 12, [u, v] désigne un segment de longueur non nulle de R
et f une fonction de classe C 2 sur [u, v], à valeurs réelles. On suppose cette 
fois que
f  (t) > M > 0 pour tout t appartenant à [u, v].

10. On suppose que f  (u) > 0. Établir, sur [u + 2/ M , v], l'inégalité suivante

f  (t) > 2 M .

11. En déduire que
Z v
u

4
cos f (t) dt 6  ·
M

On admettra que le résultat est identique lorsque f  (v) 6 0.

12. On suppose que f  (u)f  (v) < 0. Montrer qu'il existe un unique réel w de ]u, v[ tel que f  (w) = 0. En déduire que Z v u 8 cos f (t) dt 6  · M 4 Dans les questions 13 et 14 ,  désigne un nombre réel, k un entier naturel non nul et Jk, la fonction définie par Jk, (x) = Z x cos(t + kt3 ) dt, 0 où  est le nombre réel non nul défini après la question 7. 13. Montrer, pour tout x appartenant à [k -1/3 , ], l'inégalité : 8k -1/3 · cos(t + kt3 ) dt 6 6 k-1/3 Z x 14. En déduire qu'il existe une constante C1 > 0, indépendante de  et k, telle 
que
pour tout x de [0, ] on ait la relation
|Jk, (x)| 6 C1 k -1/3 .
On admet que l'on peut démontrer de la même manière qu'il existe une constante
C2 , indépendante de k et , telle que pour tout x de [0, ] on ait la relation 
suivante :
Z x

sin(t + kt3 ) dt 6 C2 k -1/3 .

(1)

0

15. Montrer qu'il existe une constante  > 0 telle que pour tout x de [-, ], on 
ait
|b(x)| 6 exp(-x4 ).
16. Montrer qu'il existe une constante C3 > 0 telle que pour tout x de [-, ], 
on ait
|b (x)| 6 C3 |x3 |.
17. À l'aide d'une intégration par parties et en utilisant les résultats 
précédents,
montrer qu'il existe une constante C4 indépendante de n et de k telle que pour
tout entier non nul k et pour tout entier relatif n, on ait l'inégalité :
Z 

-

Jk,k+n
(x)(b(x))k dx 6 C4 k -1/3 .

5

18. En déduire qu'il existe une constante C5 > 0 indépendante de k et n telle 
que
pour tout k  N et pour tout n  {-k, · · · , k}, on ait l'inégalité
|ak,n | 6 C5 k -1/3 .
On admet dorénavant l'existence d'une constante C6 > 0 telle que, pour tout 
entier k
non nul,
Z 
|a(x)|2k dx > C6 k -1/4 .
-

19. Montrer qu'il existe C7 > 0 tel que, pour tout entier k,
kak k > C7 k 1/12 ,
c'est-à-dire que a n'est pas stable !

Fin du problème

6