Mines Maths 2 PC 2014

A 2014 MATH II PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initia-
tives qu'il est amené à prendre.

Opérateur de moyenne

Notations

On note C l'ensemble des nombres complexes, R l'ensemble des réels, R* 
l'ensemble
des réels non nuls, Rî l'ensemble des réels strictement positifs et R*_ 
l'ensemble des
réels strictement négatifs. On note N l'ensemble des entiers naturels, N* 
l'ensemble des
entiers naturels non nuls, Z l'ensemble des entiers relatifs et Z* l'ensemble 
des entiers
relatifs non nuls.

On note (60 l'ensemble des fonctions continues sur R, à valeurs dans R, (61? 
l'en-
semble des fonctions bornées appartenant à (6° et 0 g0oe (x) .

On notera encore g0oe ce prolongement.

On note AO, l'application qui à f fait correspondre go,,.

Question 2 Montrer que Aoe définit un endomorphisme de (6° ; est-ce également 
un en-
domorphisme de (61? ?

Question 3 Démontrer que Aoe est injectif.

On dit que  est une valeur propre de A,, sur (6°, s'il existe u EUR (61? non 
identique-
ment nulle telle que A,, (u) = Âu. La fonction u est alors un vecteur propre 
associé à la
valeur propre Â.

Questi0n4 Déterminer l'équation difiérentielle satisfaite par la restrictions à 
Rî d'un
vecteur propre u de Aa).

Question 5 Résoudre cette équation difiérentielle dans Rî. Montrer que sa 
solution ne
peut se prolonger par continuité en O que si  EUR ]0, 1] .

Question 6 Dans le cas ou ca est intégrable sur R+ déterminer l'ensemble des 
valeurs
propres de Aoe et les sous--espaces propres associés (on pourra distinguer le 
cas  = 1).

2 Le cas périodique

On suppose désormais que ca est T-périodique et que f est T -périodique, où T
et T sont des réels strictement positifs.

Question 7 Montrer que f; oe (t)dt tend vers +oo quand x --> +00.

Question 8 Montrer que ca admet un maximum et un minimum strictement positifs
Périodes commensurables
On suppose dans ce paragraphe que T/ T est rationnel.

Question 9 Déterminer 6 > 0 tel que pour tout x,

oe(x+6)=oe(x) etf(x+6)=f(x).

On note E l'application partie entière de R dans Z, et pour 6 EUR Rî,
EQ (x) = 6E(x/6), où x E R.

Question 10 Représenter graphiquement la fonction EQ pour --26 S JC S 36.
Question 11 Déterminer Aoe ( f ) 0 EG sur [k6, (k + 1) 6[ où k EUR Z*. 
Démontrer que

(Aoe(f)oE9)(x)=As(f)oe)
pourx EUR [0,6[.

Question 12 Montrer que

LÏQ(X)f (t)w(t)dr| s @ ||f|| lloell.

Question 13 Démontrer que, pour x E Rî

|(Aoe(f)_Aoe(f)oE9)(x)| S @ ||f|l ||oe||( ||w|| +1)_

x min oe min oe

Question 14 En déduire que Aoe ( f ) EUR (60 et possède une limite lorsque x 
tend vers +00
et en donner une expression. Qu'en est-il lorsque x tend vers --00 ?

3

Périodes incommensurables

On suppose dans ce paragraphe que T/ T est irrationnel.

PourNEURN*,onnoteZN={neZl--NSnSN}.

Question 15 Pour n EUR ZN \ {O} , on pose S,, (T, T) = {lmT + HT| où m EUR Z} . 
Démontrer
que S,, (T, T) admet un minimum non nul.

Question 16 On pose 5 (N,T, T) = {lmT + HT| où m EUR Z, n EUR ZN \ {O)}. 
Démontrer
que S (N, T, T) admet un minimum non nul.

On suppose à présent que ca est non seulement continue, mais de classe '61 par
morceaux

Question 17 Démontrer qu'il existe des nombres complexes ym, où m EUR Z, tels 
que Emez |ym|
converge et tels que pour tout n EUR Z,

x x
J (1) (É) eZi7tnt/Tdt : 2 Y J eZint(n/T+m/T)dt
m .

0 0

mEURZ

. . N - . . . ,.
Quest10n 18 Sozt p (t) = Z+ c e2mnt/T, ou les en appartiennent a C, montrer qu 
ll

n=--N n

existe K > 0 tel que Vx EUR Rî

T

1
A..(p)(x)-- ÎJ mm

0

S--.
fxoe(t)dt

0

On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction f
continue, T périodique et tout s > 0, il existe un polynôme trigonométrique p, 
soit

p (t) = z c,,e2imt/T où en E C,

nEURZN

tel que "f --p|l S 8/3.

Question 19 En déduire que Aoe (f)(x) tend vers une limite lorsque x --> +00, 
et en
donner une expression.

Fin de l'épreuve