A 2016 - MATH II PC.
École des PONTS ParisTech,
ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech,
TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech,
MINES Saint-Étienne, MINES Nancy,
TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).
CONCOURS 2016
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours
Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
Mathématiques II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Wronskien et problème de Waring
En 1770 Edward Waring, se basant sur des calculs empiriques, pose la conjecture
suivante : pour un entier n naturel fixé, on peut exprimer tout entier naturel
comme somme d'au plus g(n) puissances n-ièmes d'entiers naturels, g(n) ne
dépendant que de n. Le cas n = 2 avait déjà été formulé par Fermat en 1640,
Euler et
Lagrange ont traité des cas particuliers et finalement en 1909 Hilbert a pu
établir
ce résultat (appelé parfois théorème de Hilbert-Waring).
On se propose ici de résoudre un problème analogue dans le cadre (algébrique)
des
polynômes à coefficients complexes. Plus précisément, on fixe un entier naturel
n
et on étudie les équations
X = f1n (X) + ... + fkn (X),
les inconnues (f1 , ..., fk ) étant dans C[X]. On s'intéresse particulièrement
au plus
petit entier k = k(n) pour lequel cette équation possède des solutions.
L'objectif
de ce problème est de prouver que k(2) = 2 et que pour n 3, on a l'inégalité
n < k 2 (n) - k(n). On considère dorénavant que n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soient d1 , · · · , dn des nombres réels. On note V (d1 , · · · , dn ) = - 1 d1 .. . 1 d2 .. . ··· ··· dn-1 ··· dn-1 1 2 1 dn .. . n-1 d n le déterminant de Vandermonde de (d1 , · · · , dn ). On rappelle que Ù V (d1 , · · · , dn ) = (dj - di ) 1i
