Mines Maths 2 PC 2018

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IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines--Télécom, Concours Commun TPE / EIVP.

CONCOURS 2018
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES n - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d 'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonctions harmoniques

Soit U un ouvert du plan R2, soit f : U --> C une fonction de classe C2.
Son laplacien A f est alors défini sur U par

32 ô2f
V(w,y) e U Af<æ,y> = Ô--;;<æ,y> + Ô--y2<æ, y). La fonction f : U --> C est dite harmonique sur U si elle est de classe C2
et de laplacien nul sur U, i.e. Af : O.

I Noyau de Dirichlet

Pour n entier naturel et t réel, on pose

'I'L TL 'I'L

Dn(t) : z eikt : Zeikt + ze--ikt_

k=--n k=0 k=1

1. Vérifier la relation fÎÎ Dn(t) dt : 277 pour tout n entier naturel.
2. Pour H E N et t réel non multiple entier de 277, prouver que
_ 1
s1n ((n + 5) L')
.--É'
5111 (5)

3. Soit h : [--7r, 7r] --> C une fonction de classe C1. Montrer que l'intégrale

Dn(t) =

Ia = /_1 h(u) sin(au) du

tend vers 0 lorsque le réel oz tend vers +00.

On considère maintenant une fonction g : R --> C, de classe C2 et 277--
périodique. Pour tout k: entier relatif, on pose

1 7r --ioe
Ck(9)=Ë/_ 9(äï)EUR k dl"-

4. Pour n entier naturel et t réel, prouver la relation

î ck(g)eikt-- 1 /7r g(t--u)Dn(u)du.

k=_n 277 _7r

5. En déduire que

î ck(g) eikt _ g(t) = % /_î ht(u) sin ((n + %) u) du ,

k=--n
où ht est une fonction continue sur [--7T, 77] que l'on explicitera.

On admettra que cette fonction ht est de classe C1 sur le segment [--7T, 77].

6. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que

1
...) = 0(3) et c_n = O(fi)
lorsque n tend vers +00.
7. Prouver la relation
+oo _ +oo _
g(t) = z cn(g) em + z c_n(g) e_Z"t .
n=0 n=1

II Coordonnées polaires

Le plan R2 est muni de sa norme euclidienne canonique. Soit f : U --> C
harmonique sur U , où U est un ouvert de R2. Soit mg = (:roeyg) un point
de U , soit 5 > 0 tel que la boule ouverte B (mo, 6) soit incluse dans U. Pour
(mt) 6] -- ô, ô[> R une fonction harmonique à valeurs réelles sur un ouvert
U de R2. On suppose que la fonction f admet un extremum global en un
point mo de U.

11. En utilisant les résultats de la partie II, montrer que f est constante
sur toute boule ouverte centrée en m0 et incluse dans U.

Soit f : K = [O, 277] >< [O, 277] --> R une fonction à valeurs réelles, continue

sur le carré fermé K = [O, 277] >< [O, 277], harmonique sur son intérieur U = 0 K =]0, 27T[><[0, 27r[, et nulle sur la frontière Fr(K) = K \ K de ce carré. 12. Montrer que f est nulle sur K. Dans la fin de cette section 111, on cherche à construire une fonction f : K --> R, avec K = [O, 27r]2, satisfaisant aux conditions suivantes :

1 f est continue sur le carré fermé K ;

O
2 f est harmonique sur le carré ouvert K =]0, 27T[2,

3 V3: 5 [0,277], f(æ,O) =sin(æ);

4 Va: EUR [0,27r], f(æ,27r) = O;

5 Vy EUR [0,277], f(0,y) = f(277,y) = 0-

13.

IV

Construire une fonction fo vérifiant ces conditions et qui soit de la
forme fg(æ,g) = cp(æ) 1/J(y), où 30 et 1/J sont deux fonctions continues
de l'intervalle [O, 277] vers R. Montrer ensuite que cette fonction fo est
l'unique solution du problème posé.

Développement en série

Soit f : D(0, R) --> C harmonique, où D(O, R) est le disque ouvert de
centre O et de rayon R, avec R EUR]0, +00]. On posera D(0, +00) = R2. Pour
T E [O, R[ et n entier relatif, on pose

14.

15.

16.

1 " .
"un(r) = % /_ f(r cos t,rsin t) e_..." dt .

En utilisant les calculs faits dans la question 8, montrer que la fonction
Un est solution sur [D, R[ de l'équation différentielle

(En) : r2 vä(r) + 7" vÇ,(r) -- n2 v,,(r) = 0 .

Résoudre l'équation (E...) sur ]0, R[ en utilisant le changement de va--
riable ?" = es.

En déduire, pour tout n entier relatif, l'existence d'un coefficient com--
plexe an tel que l'on ait vn(r) = an r'"' sur [O, R[.

17.

18.

V

Montrer que pour tout 7" E [O, R[ et tout t E R,

+00 _ +oo .
f(rcos t,rsint) : 2 an (r gli)" + 2 a_n (r e--zt)n_
n=0 n=1

Soit f : R2 --> C une fonction harmonique bornée sur R2. Montrer
que f est constante.

Théorème de D'AIembert-Gauss

Dans cette dernière partie, on considère un polynôme P E C[X], supposé
non constant. Pour (:D, y) EUR R2, on pose

19.

20.

21.

22.

f(æay) = P(OE+iy)-

. ( 2 2 \ 7 .
Expr1mer %(oe,y), Ê--£(oe,y), Ê%(æ,y) et gîä(oe,y) a la1de des poly-

nômes dérivés P' et P" . Montrer que la fonction f est harmonique sur
R2.

Soit U un ouvert du plan sur lequel f ne s'annule pas. Montrer que la
fonction 9 = 1 /f est harmonique sur U.

Montrer qu'il existe un réel positif A tel que, pour tout nombre com-
plexe z vérifiant |z| 2 A, on ait lP(z)| Z 1.

En déduire une preuve du théorème de d'Alembert--Gauss dont on
rappellera l'énoncé précis.

FIN DU PROBLÈME