A2019 --- MATH II PC
Cm
Concours commun
Mines-Ponts
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.
CONCOURS 2019
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Etude d'une série de fonctions
Le sujet est consacré à l'étude de quelques propriétés de dérivabilité de
la fonction R : R -- C définie par
À, sin(n?x)
R(x) = > ro tout x E R.
n=1l
Notations
-- On note |x]| la partie entière d'un réel x.
-- Soit (un )nez une famille de nombres complexes indexée par l'ensemble
Z des entiers relatifs. Dans le cas où les séries > ,>09 Un et D n>1 Un
sont toutes deux convergentes, on pose
OO OO
Du mt ur
n=0 n=1l
nez
I Préliminaires
On établit dans cette partie quelques résultats utiles dans la suite du
problème.
1. Montrer que la fonction À est bien définie et qu'elle est continue sur R.
+® sin(x°)
2
2. Montrer que l'intégrale | dx est convergente.
0 T
Dans la suite du problème, on admet que
+ sin(r? T
| U ) dx = 1) --.
0 x 2
Soit f : R -- C une fonction continue par morceaux et intégrable. On pose
= +00 .
f(x) -- | f(tje-*Y dt pour tout x EUR R.
OO
3. Montrer que la fonction f est bien définie, et continue sur R.
IT Etude de la dérivabilité de À en 0
Dans cette partie, on considère une fonction f : R -- C, continue et telle
qu'il existe un réel C > 0 tel que
LC) < pour toutteR. +1 On pose S(h)=h > f(nh) pour tout h > 0.
n=0
4. Justifier l'existence de S(h) pour tout h > 0.
On fixe À > 0, et on considère la fonction
Oh : R: -- C
er ()
5. Montrer que
6. Montrer que, pour tous h EUR]0,1] et t EUR [1, +, on a
C
7. En déduire que
+00
S(h) -- | f(E) dt quand À -- 0.
8. En déduire un équivalent de R(x) quand x tend vers 0 par valeurs
strictement positives. La fonction R est-elle dérivable en 0 ?
IIT Formule sommatoire de Poisson
Dans cette partie, on note C2, l'espace vectoriel des fonctions continues
et 27-périodiques de R vers C. Si u est un élément de C2, on pose
1 27 |
Cp(u) = | u(t)e-"?? dt pour tout p EUR Z.
2
On admet le résultat suivant, que l'on pourra utiliser sans démonstration
dans toute cette partie : si u et v sont deux éléments de C2, qui vérifient
Cp(u) = C{v) pour tout p EUR Z, alors u = v.
On considère une fonction f : R -- C, continue et telle qu'il existe des
réels strictement positifs C1 et C2 tels que
Ci
< pour tout te R et f(x pour tout x ER, pri 2 < 7 + 1 où la fonction f a été définie à la question 3. On pose également = ÿ f(x+2n7) et G(x = N° f(n) e"® pour x EUR R. nez nez 9. Montrer que la fonction F' est bien définie, 27-périodique et continue sur R. 10. Montrer que la fonction G est bien définie, 27-périodique et continue sur R. 11. Montrer que G = 27F. En particulier, on a G(0) = 27F(0), soit : YÙ f(n) = 27 Y_ f(2nr), nez nez 12. Montrer que, pour tout réel strictement positif a, on à D na) == D F(T) nez d'hez Cette égalité constitue la formule sommatoire de Poisson. IV Etude de la dérivabilité de RÀ en 7 On considère la fonction f : R -- C définie par -12 et --] 12 sit A0 ft) = à Sit = (0. 13. Montrer que f est de classe C'© sur R. On pourra utiliser un dévelop- pement en série entière. 14. Etablir que f'(t) -- 0 quand t --+ +oo, et que f"(t) = --4eït" + O(t72) quand { -- +oo. +o0 15. Montrer que l'intégrale 1 = | er" dx est convergente. OO 16. Montrer que f(x) = O(x?) quand x --+ +oo. On pose à présent CO in?x EUR F(x) = ÿ 5 pourz ER. n n=1l 17. En utilisant la formule sommatoire de Poisson, montrer qu'il existe des nombres complexes a et b tels que F(x) = F(0)+ayx+bx+0O(x°/2) quand x -- 0 par valeurs strictement positives. Préciser la valeur de b, et exprimer a en fonction de IT (l'intégrale I a été définie à la question 15). 18. Exprimer, pour x ER, F(r +x) en fonction de F(4x) et de F(x). 19. Déduire de ce qui précède que la fonction À est dérivable en 7, et préciser la valeur de R'(r). FIN DU PROBLÈME
