Mines Maths 2 PC 2020

A2020 --- MATH II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS. MINES PARISTECH.
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 3 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Approximation par des exponentielles-polynômes

L'objectif du problème est d'établir, par des méthodes euclidiennes, des 
théorèmes d'approximation
par des polynômes ou des exponentielles-polynômes de certaines fonctions 
définies sur [0, +c{ ou sur R.

Les parties I et II sont indépendantes. La partie IIT utilise les résultats des 
parties I et IL.

Étant donné un intervalle Z de R, on appelle fonction polynomiüale sur I toute 
fonction de la forme
nm

f:l--R,xr- Ù Xx", où n est un entier naturel et Ào..... À, des nombres réels.
k=0

|. Résultats préliminaires

l.1. Étude d'une série entière

Pour tout réel x strictement positif, on pose
+00
l(x) - | le tdi.
0

1) Montrer que la fonction l'est bien définie, et à valeurs strictement 
positives.

2) À l'aide d'une intégration par parties que l'on justifiera avec soin, 
montrer que T(x +1) = xT (x) pour
tout x > (0.

Fin+a+1)
n!

Soit à un réel strictement supérieur à --1. Pour tout n EUR N, on pose an --
3) Déterminer le rayon de convergence À de la série entière Ù Ant".

4) Montrer que

T F(a+1)
ant" = 5 pour tout x EUR] -- À, R].
> (1 -- x)a+t

OO oo
On pourra effectuer une permutation des symboles > et | , que l'on justifiera 
soigneusement.
0

n=0

1.2. Projections orthogonales

Dans cette partie, E désigne un R-espace vectoriel, pas nécessairement de 
dimension finie, muni d'un
produit scalaire (:,-). On note || - || la norme associée à ce produit 
scalaire, définie par |x|| -- (x,x)1/2
pour tout x EUR E.

Soit Fun sous-espace vectoriel différent de {0} et de dimension finie de E.
5) Donner la définition de la projection orthogonale Tr sur F.

On fixe (e1,...,e,) une base orthonormale de F, et x un vecteur de E.

nm

6) Montrer que rr(x) -- d (x, e;)e.
i=1
7) Montrer enfin que

nm

le rex) = fl -- > {x ei).

i=1l
Il. Polynômes de Laguerre

Dans toute cette partie, on fixe un réel & > --1, et on note E,, l'ensemble des 
fonctions continues

+00
f:[0,+æ[- R telles que l'intégrale | ae" f(x)*dx est convergente.
0

a? + b?
8) Montrer que, pour tout (a,b) EUR R°, [ab] < 5 -- +00 9) En déduire que, si f et g sont deux éléments de Æ,,, l'intégrale | x°e * f(x)g(x)dx est convergente. 0 10) En déduire que Æ,, est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel C'([0,+],R) des fonctions continues de [0, +! vers R. 11) Montrer que toute fonction polynomiale sur [0, +] est élément de £,,. Pour tout entier naturel n, on définit les fonctions --T On :]0, +o[- R,zrr re et Un 10, +o0[- Rx x er pl (x) où la notation pi) désigne la dérivée d'ordre n de w, (avec la convention pU) = Do). 12) Calculer 0, 1 et Ye. 13) Pour tout n EUR N, montrer que la fonction #, est polynomiale. Préciser son degré et son coefficient dominant. Dans la suite, on identifie #, à son unique prolongement continu à |[0,+c|, qui est une fonction polynomiale sur [0,+æ[. Cela permet de considérer , comme un élément de F,,, ce qu'on fera désormais. Pour tout (f,g) EUR EZ, on pose +00 PER 07 0 0 14) Montrer que (-,-) est un produit scalaire sur E,,. Dans la suite, on note || - |, la norme associée à ce produit scalaire, définie par 1/2 +00 lle = (| ea" (ad) pour tout f EUR E,. 15) Soit n un entier > 1. Pour tout entier k EUR [0,n -- 1], établir que
ER) (x) -- 0 quand x tend vers 0 par valeurs strictement positives,

et que
EU) (x) = 0 (e7?) quand x --+ +00.

16) Soit m et n deux entiers naturels. Montrer que
+00
(msn) = (D [VE (men (dr
0

En déduire que la famille (#,),eN est orthogonale pour le produit scalaire (:, 
-).

17) Montrer que, pour tout n EUR N, [#2 = n!T(n+a+1) (la fonction la été 
définie dans la partie I).
IT. Approximation
On conserve les hypothèses et notations de la partie IT. Pour tout entier 
naturel k, on définit la fonction
fr :[0,+o0[- R,rr er,

qui est élément de FE, (on ne demande pas de le vérifier).

Pour tout N EUR N, on note Vx le sous-espace vectoriel de Æ,, engendré par la 
famille finie (d,)0:,2n: EURt
on note mn la projection orthogonale de E,, sur Vx.

co 2
18) Soit k EUR N. Montrer l'existence de la somme > he Un} , et calculer sa 
valeur.

4 lé
19) En déduire que, pour tout kE N, | fx -- mn(fx)lla -- 0 quand N -- +co.
Dans la suite, on note P le sous-espace vectoriel de E,, constitué des 
fonctions polynomiales.

20) Montrer que, pour tout k EUR N et tout EUR > 0, il existe p EUR P telle que 
|| fr -- plla < EUR. Soit f : [0,+oo[-- R une fonction continue tendant vers 0 en +ce. Il est facile de vérifier (ce n'est pas demandé) que f EUR E,. 21) Montrer que, pour tout EUR > O, il existe un entier naturel n ainsi que des 
réels 10,..., À, tels que
nm
L D Xl]  0, il existe
une fonction polynomiale p : [0,1] -- R telle que [p(t) -- p(t)| < EUR pour tout t EUR [0,1]. 22) Montrer que, pour tout EUR > 0, il existe p EUR P telle que | f -- pl, < EUR. 23) Soit h : R -- R une fonction continue, paire et nulle en dehors d'un segment [--A, À] (A > O).
Montrer que, pour tout EUR > O, il existe une fonction polynomiale p : R -- R 
telle que

[7 (n(x) pe). dx < EUR. -- OO On pourra appliquer le résultat de la question 22) à la fonction f : [0,+oo[-- Rx h(/x)e? et à un a bien choisi. On peut montrer que le résultat de la question 23) est en réalité valable pour toute fonction h:R = R continue et de carré intégrable sur R. FIN DU PROBLÈME